吳英杰，李宏生

(1.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 210096；2.微慣性?xún)x表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，東南大學(xué)，江蘇南京 210096)

0 引言

半球諧振陀螺與傳統(tǒng)機(jī)械陀螺和光學(xué)陀螺相比具有體積小、抗過(guò)載能力強(qiáng)、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)[1-2]。這些特性使半球諧振陀螺在航空航天、衛(wèi)星導(dǎo)航等環(huán)境適應(yīng)性要求較為苛刻的領(lǐng)域有著廣闊的發(fā)展前景[3-4]。

在力平衡模式下，諧振子振型波腹方位角被固定于0°，依據(jù)反饋控制力的大小解算出施加于陀螺的角速度。相比于力平衡模式，全角模式下半球諧振陀螺諧振子在科氏力的作用下自由進(jìn)動(dòng)，由科氏力引起的諧振子振型方位角進(jìn)動(dòng)速率與外界輸入角速度成正比，通過(guò)檢測(cè)振型的進(jìn)動(dòng)角可直接解算出載體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。全角模式下的高帶寬與大量程使其在高動(dòng)態(tài)范圍場(chǎng)景下的應(yīng)用有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但諧振子的自由進(jìn)動(dòng)也使得全角模式下半球諧振陀螺的控制更加復(fù)雜。

平均法[5]是半球諧振陀螺全角模式控制中廣泛采用的方案，對(duì)振動(dòng)信號(hào)使用時(shí)間尺度下平均的方法來(lái)獲取緩變量計(jì)算軌道參數(shù)，并根據(jù)這些參數(shù)實(shí)現(xiàn)反饋控制。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]提出了一種表征和補(bǔ)償全角模式下阻尼與頻率失配的控制方案，對(duì)輸出角度中的隨機(jī)漂移進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。文獻(xiàn)[7]提出了一種雙模振動(dòng)控制回路設(shè)計(jì)，使用順序模式轉(zhuǎn)換的方法，采用粗諧振控制模式提供快速啟動(dòng)和跟蹤，精密控制模式實(shí)現(xiàn)精密跟蹤性能。文獻(xiàn)[8]在基于PI控制的傳統(tǒng)反饋回路的基礎(chǔ)上提出了一種使用反饋線(xiàn)性化的半球形諧振陀螺控制方法，消除了由于剛度不均和阻尼不對(duì)稱(chēng)引起的動(dòng)力學(xué)誤差。

針對(duì)全角模式下半球諧振陀螺的控制回路優(yōu)化問(wèn)題，本文從半球諧振諧振子理想條件下二維振動(dòng)模型出發(fā)，對(duì)橢圓軌道參數(shù)控制方程進(jìn)行分析，對(duì)控制系統(tǒng)中檢測(cè)端增益不對(duì)稱(chēng)性與控制系統(tǒng)延遲對(duì)角度估計(jì)準(zhǔn)確性的影響進(jìn)行了研究，對(duì)振動(dòng)能量控制回路以及角度解算方法進(jìn)行了理論推導(dǎo)，基于上述研究基礎(chǔ)，提出了控制回路的優(yōu)化方法。

1 半球陀螺全角模式理論分析

在理想條件下，半球諧振陀螺可近似建模為由線(xiàn)性彈簧阻尼質(zhì)量組成的二維振動(dòng)系統(tǒng)，模型如圖1所示。

圖1 二維振動(dòng)系統(tǒng)示意圖

集總質(zhì)量受到軸對(duì)稱(chēng)的彈簧組與阻尼組的約束，在平面內(nèi)圍繞原點(diǎn)振動(dòng)，由于諧振子頻率裂解與阻尼軸向不對(duì)稱(chēng)造成了剛度主軸與阻尼主軸相對(duì)于振動(dòng)主軸偏移。

在外力的作用下，該振動(dòng)模型的振動(dòng)方程可表示為[9]：

(1)

(2)

式中：ω1,ω2為剛度軸向的諧振頻率；τ1，τ2為阻尼軸向衰減系數(shù)；fx，fy為施加于x、y振動(dòng)方向上的驅(qū)動(dòng)力；Ω為施加于載體的輸入角速度;k為陀螺的角度增益。

如圖2所示，基于lynch平均法分析，將二維振動(dòng)簡(jiǎn)化為橢圓軌道參數(shù)表示[5]：

圖2 橢圓振型原理圖

(3)

在全角模式下使用驅(qū)動(dòng)力維持振動(dòng)能量，橢圓振型將在科氏力的作用下以與輸入角速度成比例的速率進(jìn)動(dòng)，通過(guò)提取xy方向的振動(dòng)信號(hào)即可對(duì)角速度進(jìn)行解算。

將x、y軸的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行提取和分解，采用獲得的同向與正交信號(hào)計(jì)算出表征振動(dòng)能量、正交、振型傾角以及振動(dòng)相位的控制量[5]：

(4)

式中：cx,sx,cy,sy分別為x、y方向位移信號(hào)的cos和sin分量。

為了維持振動(dòng)幅度、抑制正交和保持鎖相環(huán)鎖定振動(dòng)信號(hào)的頻率和相位，通過(guò)相應(yīng)的控制力對(duì)振動(dòng)能量控制量、正交誤差控制量Q進(jìn)行控制，將作為鎖相環(huán)的相位差參考輸入：

(5)

綜上所述，半球陀螺全角模式閉環(huán)控制需要補(bǔ)償振動(dòng)中的能量損耗維持振型振幅，抑制剛度、阻尼不均造成的正交誤差、通過(guò)鎖相環(huán)鎖定振動(dòng)信號(hào)頻率和相位，對(duì)科氏效應(yīng)引起的振型進(jìn)動(dòng)進(jìn)行信號(hào)提取與解算，控制回路如圖3所示[10-11]。

圖3 半球陀螺全角模式閉環(huán)控制回路

2 檢測(cè)回路誤差分析

首先，在信號(hào)采集前端的誤差大小對(duì)振動(dòng)信號(hào)測(cè)量精度至關(guān)重要，而信號(hào)檢測(cè)端的增益失配將直接影響振動(dòng)信號(hào)測(cè)量的準(zhǔn)確性，檢測(cè)信號(hào)的誤差會(huì)對(duì)橢圓振型參數(shù)的估計(jì)造成負(fù)面影響，從而為閉環(huán)控制與角度解算引入額外誤差。將增益失配誤差量引入至檢測(cè)信號(hào)與軸向振動(dòng)信號(hào)關(guān)系中[12-15]，可以得到關(guān)于增益失配的檢測(cè)信號(hào)表達(dá)式：

(6)

式中：Gx、Gy分別為方向的信號(hào)檢測(cè)增益。

將式(6)代入式(4)可得增益失配對(duì)于各控制量控制規(guī)律的影響：

(7)

進(jìn)而導(dǎo)致增益失配對(duì)角度解算的影響如式(8)所示：

(8)

在增益失配的影響下，對(duì)正交量Q的估計(jì)量依然與真實(shí)值成比例，由于對(duì)正交量的控制目標(biāo)為將其置零，所以增益失配對(duì)其的控制無(wú)影響；而由于控制量的估計(jì)中增益失配的影響，能量估計(jì)值與其真實(shí)值的比例因子是角度θ的函數(shù)。

如圖4所示，隨著增益失配的增大，控制量到達(dá)穩(wěn)態(tài)后的波動(dòng)隨之增大，這表明增益失配誤差將造成振動(dòng)幅度的振蕩。

圖4 增益失配與控制量關(guān)系曲線(xiàn)

同理，增益失配將引起控制量的波動(dòng)進(jìn)而造成解算振型角度的波動(dòng)，且角度估計(jì)與真實(shí)值間的比例為振型方位角的函數(shù)。當(dāng)增益失配增大時(shí)，波動(dòng)的幅值也將增大，在增益失配比Gy∶Gx=1.1∶1的條件下，角度誤差峰值為2.74°，如圖5所示。

圖5 增益失配與輸出角度誤差關(guān)系

閉環(huán)控制回路中振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)前端提取解調(diào)濾波后進(jìn)行振幅、正交等控制量的計(jì)算，再對(duì)控制量進(jìn)行PID控制，施加控制力至陀螺驅(qū)動(dòng)端完成閉環(huán)控制，此控制過(guò)程中的信號(hào)傳輸、過(guò)程量計(jì)算等原因使得控制系統(tǒng)存在信號(hào)延遲，在延遲時(shí)間較大時(shí)，被控參數(shù)響應(yīng)滯后，以至系統(tǒng)無(wú)法準(zhǔn)確跟蹤控制量并及時(shí)調(diào)整輸出，控制系統(tǒng)延遲將造成施加控制信號(hào)的方向?qū)τ趯?shí)際振型角度的滯后：

θapply=θreal-θe

θe=τdΩ

(9)

式中：θreal為施力方向角；θapply為實(shí)際振型傾角；θe為滯后角度；τd為延時(shí)量。

該滯后角將造成作用于橢圓振型的控制力耦合，將振幅控制力耦合至角度控制回路：

(10)

式中fqs為角度控制回路的角度控制力[5]。

理想條件下，振型傾角進(jìn)動(dòng)速率與外加輸入角速度有如下關(guān)系：

(11)

式中k為角度增益。

考慮控制力耦合對(duì)角速度輸出的影響，振幅控制力的耦合將振幅量E的波動(dòng)導(dǎo)致的振幅控制力fas的誤差引入角度增益：

(12)

隨著延遲的增大，角度增益k′的波動(dòng)也隨之增大，不同延遲條件下角度增益的波動(dòng)曲線(xiàn)圖如圖6所示。

圖6 歸一化角度增益與延遲關(guān)系圖

3 控制算法優(yōu)化

由于增益誤差與延時(shí)的存在，造成原控制算法中角度解算存在標(biāo)度誤差與零偏誤差。原振型角度解算方法如式(4)所示，為了抑制振型角解算過(guò)程中的誤差，基于式(3)可對(duì)角度解算方法進(jìn)行優(yōu)化，將振動(dòng)信號(hào)中的余弦分量進(jìn)行提取，可得到如下振動(dòng)角度解算方法：

(13)

依據(jù)式(13)可將角度解算方法簡(jiǎn)化為

(14)

如式(14)所示，在優(yōu)化后的解算方法下檢測(cè)角與真實(shí)振型角兩者的正切值比值即為兩軸增益之比，在增益為定值時(shí)兩者成正比。

為了減小控制系統(tǒng)延遲造成的誤差，對(duì)原控制量計(jì)算方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，基于對(duì)角度解算方法的優(yōu)化，可以略去控制量S、R的計(jì)算。

原控制方案式(4)中通過(guò)對(duì)控制量E進(jìn)行PID控制對(duì)諧振子振幅進(jìn)行控制并維持穩(wěn)定,由于控制量為表征諧振子振動(dòng)能量的控制量，將其作為控制諧振子振幅的參照無(wú)法避免其中橢圓振型半短軸振動(dòng)量q對(duì)振幅控制的干擾,因此考慮對(duì)振幅控制量進(jìn)行簡(jiǎn)化，僅采用橢圓振型長(zhǎng)軸振動(dòng)量進(jìn)行振幅控制量的計(jì)算，綜上所述優(yōu)化后的控制量表達(dá)式為

(15)

控制方法優(yōu)化前后控制量E對(duì)比圖如圖7所示。由圖7可知，在輸入角速度為100(°)/s的條件下，采用優(yōu)化后的控制量計(jì)算與角度解算方法使得振幅控制上升時(shí)間減少了82.1%，最大動(dòng)態(tài)偏差降低了73.8%，可以看出相比于原控制算法，本方法有更優(yōu)良的響應(yīng)速度與控制精度。

圖7 控制方法優(yōu)化前后控制量對(duì)比圖

控制算法優(yōu)化前后的陀螺角度輸出誤差對(duì)比曲線(xiàn)如圖8所示，在外加輸入角速度100(°)/s下，原控制算法下輸出角度波動(dòng)峰峰值為7.03°，實(shí)線(xiàn)為優(yōu)化后的角度輸出曲線(xiàn)，輸出角度波動(dòng)的峰峰值降低至5.46°，較原方法降低了22.3%。

圖8 陀螺角度輸出誤差對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)半球諧振陀螺檢測(cè)回路中檢測(cè)電極檢測(cè)增益不匹配和控制系統(tǒng)延遲造成的振幅控制誤差以及輸出角度估計(jì)誤差，本文基于半球陀螺工作原理，建立動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)原始公式中振動(dòng)能量控制量計(jì)算方法和角度解算方法進(jìn)行優(yōu)化，仿真結(jié)果表明：優(yōu)化后的控制算法能夠降低角度估計(jì)誤差，提高振動(dòng)能量控制回路的跟隨精度。