李自成，熊 軒，王后能，熊 濤

（武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北 武漢 430205）

1 引言

由于具有響應(yīng)快、定位精度高、分辨率高等優(yōu)勢，壓電陶瓷驅(qū)動器［1］被廣泛應(yīng)用在微型機械制造、超精密加工、半導(dǎo)體技術(shù)、顯微鏡技術(shù)等領(lǐng)域。然而由于其輸入電壓同輸出位移之間存在嚴(yán)重的遲滯非線性，影響了運動控制精度和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為了減少遲滯非線性對高精度定位［2］系統(tǒng)的影響，實現(xiàn)對系統(tǒng)的精確控制，需要建立遲滯非線性的數(shù)學(xué)模型并加以控制。目前遲滯模型主要分為兩大類：一類是基于物理機制的模型，通過對遲滯材料的微觀機理深入理解的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的表達(dá)式來描述遲滯特性，存在著很大局限性，所建立遲滯模型往往只適用于某種遲滯材料，不利于推廣；另一類是基于現(xiàn)象的模型，不需要考慮復(fù)雜的物理成因，模型結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，以Preisach 模型、Krasnoselskii-Pokrovskii（KP）模型、Prandtl-Ishilinskii（PI）模型［3-4］等為代表，因此成為遲滯非線性建模研究的重點。針對壓電陶瓷驅(qū)動器遲滯非線性的控制方案，主要分為兩種：逆模型補償［5］和閉環(huán)控制［6］。逆模型補償方法屬于開環(huán)控制，通過對遲滯特性建立逆模型，串聯(lián)在系統(tǒng)前進行補償，具有系統(tǒng)簡單，響應(yīng)快的特點，然而，該方法容易受到擾動影響，控制精度取決于模型精度，無法進行實時補償。第二種是閉環(huán)控制方法，主要包括PID 控制、滑模控制、魯棒控制［7］和自適應(yīng)控制［8］等方法。此類方法將遲滯看作擾動，直接通過系統(tǒng)的輸入、輸出及誤差進行補償控制，不需要建立遲滯模型，控制精度高，系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)［9］采用前饋結(jié)合魯棒控制，對智能微定位系統(tǒng)進行補償，有效提高了跟蹤精度。文獻(xiàn)［10］針對壓電驅(qū)動定位系統(tǒng)的精密運動控制，設(shè)計一種數(shù)字積分終端滑模預(yù)測控制方案，實驗證明具有良好的魯棒性。然而此類方法控制器設(shè)計較復(fù)雜，加大控制器的負(fù)擔(dān)，不易實現(xiàn)。

這里選用PI逆模型作為前饋控制器，并與滑?？刂葡嘟Y(jié)合構(gòu)成復(fù)合控制器對壓電陶瓷進行遲滯補償控制。首先采用非等間隔閾值法建立壓電陶瓷平臺PI遲滯模型，利用差分進化算法對其系統(tǒng)辨識，求出逆模型進行前饋控制。由于前饋控制沒有反饋項，不能進行實時反饋，故設(shè)計滑?？刂破鹘Y(jié)合逆模型前饋控制器構(gòu)成閉環(huán)控制，最后與逆模型結(jié)合PID 控制的復(fù)合控制相比，這里提出的復(fù)合控制方法精度更高。

2 PI遲滯模型

PI模型主要是用來描述彈塑性變性的一類模型。它主要是利用若干個不同閾值的Play算子或者Stop算子進行加權(quán)疊加來表達(dá)遲滯性，其表達(dá)式為：

式中：T—采樣周期，t∈[t0，tN]，t0≤???≤ti≤t≤???≤tN，y0—系統(tǒng)初始狀態(tài)；y(t)—算子輸出；r—算子閾值。

式（1）的初始條件為：

式中：x(t0)、y(t0)—算子初值，一般取為0。

多個閾值不同的Play 算子進行加權(quán)疊加后即可得到PI 模型，其表達(dá)式為：

對于式（3），確定ωi、ri值后就可得到PI模型。

3 參數(shù)辨識與逆模型前饋控制器

3.1 優(yōu)化差分進化算法

通常情況下PI模型參數(shù)采用最小二乘法或者梯度下降法辨識，這里采取一種自適應(yīng)差分進化算法進行參數(shù)識別。差分進化算法主要分為四大步驟：種群初始化、變異、交叉和選擇。

3.1.1 種群初始化

首先給定個體的維數(shù)D，個體數(shù)NP，種群的迭代代數(shù)G以及個體的上下限[Xmax，Xmin]。

3.1.2 變異

進行變異操作開始迭代：對于第G代的第i個個體，即目標(biāo)個體Xi，G，通過隨機選取第G代種群中除第i個個體外的三個不同個體，生成新的變異個體。

通常的變異策略為：

式中：F—縮放因子，F(xiàn)∈[0，2]；ri—當(dāng)前時刻隨機挑選的彼此不同的個體，r1，r2，r3∈[0，???i-1，i，i+1 ???NP]。

3.1.3 交叉

對于目標(biāo)個體Xi，G和變異個體Vi，G+1進行交叉得到交叉?zhèn)€體Ui，G+1。給定交叉概率CR∈[0，1]。

這里隨機取一個固定的Irand∈[0，...，D]，是為了使至少有一堆數(shù)據(jù)與目標(biāo)個體Xi，G不同。

3.1.4 選擇

生成第G+1代的總?cè)簜€體。根據(jù)貪婪策略，在目標(biāo)個體Xi，G和上一步得到的Ui，G+1中根據(jù)評估函數(shù)選擇效果更好的一個作為第G+1代種群的個體Xi，G+1。

3.1.5 變異算子優(yōu)化策略

變異因子和交叉因子的策略選擇是影響差分進化算法性能高低的關(guān)鍵因素，經(jīng)典差分進化算法在搜索過程中變異算子取實常數(shù)，容易造成結(jié)果局部最優(yōu)或者搜索時間過長導(dǎo)致的效率低下。這里采用一種具有自適應(yīng)變異算子的差分進化算法，變異算子策略如下：

式中：F0—變異算子；

Gm—最大進化代數(shù)；

G—當(dāng)前進化代數(shù)。

在算法初期變異率為F=2·F0，較大的變異率保證了總?cè)旱亩鄻有?；隨著算法不斷迭代選擇最優(yōu)解，變異算子逐漸接近于F0，保證全局搜索能力的同時也提高了后期局部搜索的能力。

3.2 逆模型前饋控制器

建立逆模型是前饋控制的關(guān)鍵因素，逆模型的準(zhǔn)確性決定前饋控制性能的好壞，理論上逆模型可以較好補償遲滯對系統(tǒng)輸入信號跟蹤的影響。逆模型前饋控制，如圖1所示。

圖1 逆模型前饋控制Fig.1 Inverse Model Feedforward Control

PI模型具有解析逆的特點，因此PI逆模型表示為：

其中：

目前關(guān)于PI模型閾值取值方式大多采用等間隔法，在保證模型精度的情況下，會使算子數(shù)目過多。根據(jù)文獻(xiàn)［2］，采用非等間隔閾值法，即后半段算子數(shù)目比前半段多，保證模型精度的同時也提高模型的運算速度。

這里的閾值選擇如下：

通過前面的辨識方法得出來的參數(shù)帶入式（8）、式（9）可得到逆模型參數(shù)，則逆模型控制器也可建立。

以頻率為4Hz、幅值逐漸衰減的正弦波作為期望位移進行控制實驗，PI模型采用9個Play算子疊加而成，閾值采用非等間隔法。辨識出來的PI模型參數(shù)，如表1所示。逆模型前饋輸出和驅(qū)動器期望位移，如圖2所示。

表1 PI模型參數(shù)Tab.1 PI Model Parameters

由圖2可知，逆模型前饋控制平均誤差為0.1574μm，均方根誤差為0.1910μm，前饋控制有較好的跟蹤目標(biāo)位移能力。

圖2 逆模型前饋控制位移及誤差波形圖Fig.2 Inverse Model Feedforward Control Displacement and Error Waveform

4 壓電陶瓷復(fù)合控制器設(shè)計

針對逆模型補償控制沒有反饋環(huán)節(jié)，無法根據(jù)輸入信號的變化和外界擾動做出補償，這里提出一種基于逆模型補償控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法。其中，系統(tǒng)的誤差e由期望信號與實際輸出信號做差得到，作為滑?？刂破鞯妮斎耄梆伩刂破鞯妮敵鲭妷簎f與滑?？刂破鞯妮敵鲭妷簎smc共同組成被控對象的控制電壓u，逆模型結(jié)合滑?？刂葡到y(tǒng)框圖，如圖3所示。

圖3 逆模型結(jié)合滑模控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Block Diagram of Inverse Model Combined with Sliding Mode Control System

4.1 滑?？刂破髟O(shè)計

多數(shù)情況下，壓電陶瓷驅(qū)動器輸入信號的頻率在100Hz內(nèi)，所以壓電陶瓷驅(qū)動器在低頻段工作區(qū)間的傳遞函數(shù)可以簡化為一階慣性系統(tǒng)，也能很好的表征壓電微動平臺的實際響應(yīng)。

式中：m、b—系統(tǒng)參數(shù)；

d—控制增益；

Δ—外界擾動，假設(shè)Δ有界，|Δ| ≤D，D>0為擾動上界。

定義系統(tǒng)誤差為：

定義滑模函數(shù)為：

其中，C>0，滿足Hurwitz條件。

則有：

將式（11）帶入式（14）得：

采用指數(shù)趨近律有：

結(jié)合式（15）和式（16）得滑?？刂坡蕿椋?/p>

4.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為；

從而有：

將式（17）帶入式（18）則有：

綜上所述，系統(tǒng)達(dá)到全局穩(wěn)定。

5 實驗結(jié)果及分析

實驗設(shè)備，如圖4所示。利用德國PI公司生產(chǎn)的P563.3CD型壓電陶瓷驅(qū)動器PEA在壓電放大器E-725上進行實驗。壓電放大器由DSP、電壓放大器及18位A/D和24位D/A轉(zhuǎn)換器組成，PEA內(nèi)置電容式位移傳感器，采樣頻率為20kHz，用來測量輸出位移。

圖4 實驗設(shè)備Fig.4 Experimental Equipment

系統(tǒng)參數(shù)為m=1，b=0.2，d=20。為驗證控制器的有效性，采用前饋結(jié)合PID控制的復(fù)合控制方法與這里提出的前饋結(jié)合滑?？刂品椒ㄟM行對比。兩種符合控制方法均以頻率為4Hz、幅值遞減三角波作為輸入，所得到的跟蹤波形對比圖和誤差對比圖，如圖5、圖6所示。

圖5 兩種復(fù)合控制方法跟蹤波形對比圖Fig.5 Comparison of Tracking Waveforms of Two Composite Control Methods

圖6 兩種復(fù)合控制方法跟蹤誤差對比圖Fig.6 Comparison of Tracking Errors Between Two Composite Control Methods

由圖5、圖6可知，在正弦波輸入下，采用這里提出的前饋結(jié)合滑模的復(fù)合控制方法的平均誤差和均方根誤差分別為0.018μm 和0.0226μm，而前饋結(jié)合PID 的復(fù)合控制方法的平均誤差和均方根誤差分別為0.0480μm 和0.0572μm，兩者方法相比較，這里提出的方法比前饋結(jié)合PID 的復(fù)合控制方法的平均誤差減小了0.0300μm，均方根誤差減小了0.0346μm。實驗結(jié)果表明，前饋結(jié)合滑模的復(fù)合控制方法精度更高，定位效果更好。

6 結(jié)束語

這里采用非等間隔閾值法，建立PI遲滯模型，利用自適應(yīng)差分進化算法進行模型參數(shù)辨識并且求出逆模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了逆模型前饋控制結(jié)合滑?？刂频膹?fù)合控制控制器。實驗結(jié)果表明，與前饋結(jié)合PID的復(fù)合控制相比，前饋結(jié)合滑模的復(fù)合控制平均誤差下降了62.5%，均方根誤差下降了60.4%。由此可見這里所提出的控制方法有效，具有更好的系統(tǒng)跟蹤性能。