時統(tǒng)業(yè)

(海軍指揮學(xué)院,江蘇 南京 211800)

0 引言

著名的Ostrowski不等式[1]是

其中f是[a,b]上的可微函數(shù),對任意x∈[a,b]有|f′(x)|≤M。

有關(guān)Ostrowski不等式的變式、推廣和加強(qiáng),可見文獻(xiàn)[2-9]及其引證文獻(xiàn)。針對二階導(dǎo)數(shù)有界的二次可微函數(shù),CERONE P等[3]利用恒等式

建立了帶有擾動的Ostrowski型不等式,

(1)

DRAGOMIR S S等[4]利用恒等式

證明了帶有擾動的Ostrowski型不等式,

(2)

其中f′在[a,b]上絕對連續(xù)且f″在(a,b)上有界。

TARIBOON J等[10]引入了q導(dǎo)數(shù)和q積分的概念,BERMUDO S等[11]引入qb導(dǎo)數(shù)和qb積分的概念。

定義1[10,15]設(shè)f在[a,b]上連續(xù),q∈(0,1),則定義f在點(diǎn)x∈(a,b]處的q導(dǎo)數(shù)為

如果f在[a,b]上每個點(diǎn)處的q導(dǎo)數(shù)都存在,則稱f是[a,b]上的q可微函數(shù)。

定義2[10,15]設(shè)f在[a,b]上連續(xù),t∈[a,b],q∈(0,1),則定義f在[a,t]上的q積分為

定義1和定義2分別是[0,b]上的q-Jackson導(dǎo)數(shù)和q-Jackson積分[20]概念的推廣。

定義3[10]設(shè)f在[a,b]上連續(xù),q∈(0,1),對于任意x∈(a,b],稱

設(shè)f,g在[a,b]上q可微,x∈[a,b],則有q積分的分部積分公式[10]

定義4[11]設(shè)f在[a,b]上函數(shù),q∈(0,1),則定義f在點(diǎn)x∈[a,b)處的qb導(dǎo)數(shù)為

如果f在[a,b]上每個點(diǎn)處的qb導(dǎo)數(shù)都存在,則稱f是[a,b]上的qb可微函數(shù)。

定義5設(shè)f在[a,b]上函數(shù),q∈(0,1),對于任意x∈[a,b),稱

定義6[11]設(shè)f在[a,b]上函數(shù),t∈[a,b],q∈(0,1),則定義f在[t,b]上的qb積分為

設(shè)f和g是[a,b]上兩個qb可微函數(shù),x∈[a,b],則有qb積分的分部積分公式

為方便起見,記

引理1設(shè)f在[a,b]上q可微,則對任意x∈[a,b]有

(3)

證明由q積分的分部積分公式得

(4)

綜合式(4)和式(5)得

(6)

類似地,利用qb積分的分部積分法可得

(7)

將式(6)與式(7)相加,則式(3)得證。

引理2設(shè)f在[a,b]上二階q可微,則對任意x∈[a,b]有

證明利用q積分的分部積分公式和qb積分的分部積分公式可證(略)。

1 主要結(jié)果

(8)

證明令

由引理1有

|I|≤MK。

(9)

先估計K1。由q積分的定義有

其中

下面估計K2。由q積分和qb積分的定義有

所以,對任意x∈[a,b],有

(10)

最后,綜合式(9)和式(10)證得式(8)成立。

注1在定理1中令q→1,則由式(8)得到式(2)。

(11)

其中U=(x-a)2(aDqf(x)-aDqf(a))+(b-x)2(bDqf(b)-bDqf(x))。

證明對任意的常數(shù)ε∈[0,1],有

(12)

為求ψ(ε)的最小值,求導(dǎo)得ψ′(ε)=3ε(ε-ε1),因為

再利用引理2,則式(11)的右邊不等式得證。對(-f)使用已證結(jié)果,則(11)的左邊不等式得證。

推論1設(shè)條件同定理2,則對任意x∈[a,b],有

推論2設(shè)f在[a,b]上二次可微,且f″在(a,b)上有界,則對任意x∈[a,b]有

證明在推論1中令q→1,即可得證。

(13)

其中

證明對任意常數(shù)ε∈[0,1],有

(14)

其中

所以有

再利用引理2,則式(13)的右邊不等式得證。對(-f)使用已證結(jié)果,則式(13)的左邊不等式得證。

推論3設(shè)條件同定理3,則對任意x∈[a,b]有

推論4設(shè)f在[a,b]上二次可微,且f″在(a,b)上有界,則對任意x∈[a,b]有

證明在推論3中令q→1即可得證。