無錫市太湖格致中學(xué) 陳 鋒 江陰市夏港中學(xué) 劉 玉

初中數(shù)學(xué)核心概念主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)研究，倡導(dǎo)以學(xué)生為本，自主探究、合作交流、師生互動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂，以概念形成、概念辨析、概念強(qiáng)化、概念應(yīng)用和概念發(fā)展為基本流程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建概念，體會(huì)“核心概念”.其目的就是從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面改進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)教育在“立德樹人”的根本任務(wù)中“不可替代”的作用.

1 核心概念主動(dòng)建構(gòu)的設(shè)計(jì)原則

(1)情智交融.教師正確運(yùn)用“情意原理”,激發(fā)學(xué)生的情感，加強(qiáng)執(zhí)教者和學(xué)習(xí)者之間的情感交流，放大學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，激活學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的好奇心和求知欲，用良好的情意狀態(tài)促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展，變學(xué)生的消極被動(dòng)狀態(tài)為積極主動(dòng)狀態(tài).

(2)引導(dǎo)參與.教師正確設(shè)計(jì)“認(rèn)知支架”，為學(xué)生搭建開放思考和積極探索的平臺(tái)，通過學(xué)習(xí)單設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)的主動(dòng)建構(gòu)，在支架性問題的探索中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，掌握概念、獲取知識(shí)、發(fā)展能力.

(3)學(xué)法指導(dǎo).教師正確設(shè)計(jì)“單元教學(xué)”，圍繞單元“核心概念”積極挖掘、補(bǔ)充、整合、重組教材，以基本問題引導(dǎo)學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ归_學(xué)習(xí)，在過程中適時(shí)揭示學(xué)習(xí)展開的路徑和知識(shí)生長(zhǎng)的脈絡(luò)，在活動(dòng)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的方法，不斷提高學(xué)習(xí)能力.

(4)元認(rèn)知.學(xué)生在建構(gòu)具體知識(shí)的過程中，通過對(duì)建構(gòu)過程的再認(rèn)識(shí)，感悟其中所蘊(yùn)含的基本思想方法.這個(gè)過程中教師通過適時(shí)的點(diǎn)撥和學(xué)生及時(shí)的反思、總結(jié)、分享、串聯(lián)，讓學(xué)生把自己的認(rèn)知過程展示出來，幫助學(xué)生體悟到概念性知識(shí)中所蘊(yùn)含的核心概念.

2 核心概念主動(dòng)建構(gòu)的設(shè)計(jì)策略

根據(jù)課堂教學(xué)實(shí)踐，核心概念的教學(xué)策略從三個(gè)方面展開.第一，根據(jù)核心概念的特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容分析，即從備課、學(xué)生預(yù)習(xí)、課堂生成內(nèi)容等方面進(jìn)行分析.在此基礎(chǔ)上，認(rèn)真思考哪些教學(xué)內(nèi)容和方法是學(xué)生建構(gòu)核心概念最感興趣的，哪些核心概念是學(xué)生已經(jīng)知道的，哪些核心概念是學(xué)生經(jīng)過自主學(xué)習(xí)可以主動(dòng)建構(gòu)的，哪些核心概念是需要教師引導(dǎo)點(diǎn)撥才能建構(gòu)的，哪些核心概念是學(xué)生目前無法認(rèn)知的.在備課時(shí)要盡可能考慮周全，在上課時(shí)作出準(zhǔn)確的判斷，進(jìn)而采取正確的對(duì)策.第二，教學(xué)內(nèi)容的選擇和整合.根據(jù)不同的核心概念，在課堂教學(xué)中圍繞核心概念主動(dòng)建構(gòu)應(yīng)該選擇什么教學(xué)內(nèi)容，怎樣選擇教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)內(nèi)容可以作怎樣的整合.第三，根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)和核心概念的特征確定教學(xué)方法.不同的學(xué)生、不同的班級(jí)具有不同的特點(diǎn)，不同的內(nèi)容領(lǐng)域體現(xiàn)不同的核心概念，有相應(yīng)的教學(xué)方法和不同的設(shè)計(jì)策略.如何通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)策略，讓更多的學(xué)生徹底理解學(xué)科中真正重要的“核心概念”，這正是策略研究要重點(diǎn)解決的問題.用明確的核心概念來引領(lǐng)教學(xué)，清晰界定預(yù)期結(jié)果，預(yù)設(shè)結(jié)果達(dá)成的證據(jù)集合，指導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法選擇.

3 核心概念主動(dòng)建構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)案例

下面分別在初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”“綜合與實(shí)踐”四大領(lǐng)域各擷取一例說明核心概念主動(dòng)構(gòu)建的設(shè)計(jì)原則與策略的具體應(yīng)用.

3.1 案例1 因式分解

(1)對(duì)核心概念的簡(jiǎn)要說明

“因式分解”是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算，是一種重要的計(jì)算方法，是初、高中化簡(jiǎn)運(yùn)算的基礎(chǔ).“因式分解”的概念不難理解，但為什么要因式分解？對(duì)這個(gè)綜合“數(shù)感”“符號(hào)意識(shí)”“運(yùn)算能力”的問題，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)建構(gòu)的學(xué)習(xí)過程來達(dá)成.

(2)主動(dòng)探究的建構(gòu)流程

1)嘗試性計(jì)算——直觀感受

問題1 你能用幾種不同的方法計(jì)算1002-992？

請(qǐng)幾位學(xué)生回答，得出如下3種方法.

法1：直接計(jì)算.1002-992=10 000-9801=199.

法2：轉(zhuǎn)化法.1002-992=1002-(100-1)2=1002-1002+2×100-1=199.

法3：逆用公式法.少數(shù)思維靈活的學(xué)生能聯(lián)想到平方差公式，即1002-992=(100+99)(100-99)=199×1=199.

2)對(duì)比式感知——算法比較

問題2 你認(rèn)為哪種計(jì)算方法更簡(jiǎn)單呢？(學(xué)生對(duì)比后普遍感到法3更簡(jiǎn)單.)

問題3 哪位同學(xué)能把法3用含有字母a,b的算式表示出來呢？

學(xué)生根據(jù)以上例子，得出a2-b2=(a+b)(a-b).

3)一般化定義——建構(gòu)認(rèn)知

(教師記上式為①，記a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)為②，記x2-2xy+y2=(x-y)(x-y)為③.)

問題4 仔細(xì)觀察等式①②③，左右兩邊有什么共同特征？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出“左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積式”的結(jié)論.

教師順勢(shì)提出了“因式分解”的概念.

…………

(3)主動(dòng)探究的建構(gòu)評(píng)說

上述教學(xué)過程是用一組問題對(duì)“因式分解”定義的由來進(jìn)行的一次主動(dòng)建構(gòu).問題1是一個(gè)開放性問題，有利于激起學(xué)生探究的興趣.問題2引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中獲得對(duì)核心概念的初步認(rèn)識(shí)，激發(fā)認(rèn)知需求，從而促使學(xué)生主動(dòng)同化和順應(yīng).問題3是通過經(jīng)歷“從特殊到一般”的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.問題4是引導(dǎo)學(xué)生全面掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，從而自然地提出“因式分解”的概念.這一建構(gòu)過程，不僅能深化對(duì)“因式分解”概念的理解，而且體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性、主動(dòng)性.

3.2 案例2 三角形的三條重要線段

(1)對(duì)核心概念的簡(jiǎn)要說明

關(guān)于教材中的中線、角平分線、高等概念，如果只進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，那么學(xué)生對(duì)概念的理解是淺顯、不深刻的.同時(shí)，對(duì)學(xué)生“幾何直觀”“空間觀念”“推理能力”等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也是不利的.為此，我們考慮設(shè)置一個(gè)主動(dòng)探究建構(gòu)的過程.

(2)主動(dòng)探究的建構(gòu)流程

1)畫圖探究——促直觀

上課伊始，教師請(qǐng)學(xué)生拿出紙尺和筆，與學(xué)生一道回顧已學(xué)過的“角平分線” “垂線”的畫法，讓學(xué)生在操作中體會(huì)、喚醒.

再提問：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的邊BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置，會(huì)有一些“特殊”的線段？(學(xué)生畫圖探究.)

圖1

2)類比定義——建互聯(lián)

師：類比學(xué)過的角平分線、垂線、中點(diǎn)等定義，嘗試給這些“特殊”線段下定義.

學(xué)生經(jīng)過片刻思考后，喚起回憶，陸續(xù)表述三角形的角平分線、垂線、中線的特征，但敘述不完整.

3)完善定義——助推理

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生相互補(bǔ)充、完善，得到三條重要線段的概念，引導(dǎo)學(xué)生將概念轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，以幫助學(xué)生真正理解概念的本質(zhì)，從而更好地運(yùn)用概念……

(3)主動(dòng)探究的建構(gòu)評(píng)說

這一環(huán)節(jié)的主動(dòng)建構(gòu)側(cè)重于核心概念的發(fā)生過程，讓學(xué)生先復(fù)習(xí)舊知，帶著問題，在操作中去探究、去發(fā)現(xiàn).這樣，激活了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，再用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu).第一步通過學(xué)生在圖形上自主嘗試、探究，給予他們感受、體驗(yàn)的時(shí)間；第二步通過類比舊知，初步感悟核心概念，引導(dǎo)學(xué)生感悟類比是探究發(fā)現(xiàn)的重要途徑；第三步借助圖形，通過交流反思，補(bǔ)充完善概念，幫助學(xué)生把新的問題“同化”到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.通過主動(dòng)建構(gòu)讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中理解核心概念、把握核心概念的本質(zhì).

3.3 案例3 七年級(jí)“統(tǒng)計(jì)圖表”

(1) 對(duì)核心概念的簡(jiǎn)要說明

統(tǒng)計(jì)圖是數(shù)據(jù)分析、描述的核心概念，同樣的數(shù)據(jù)可以用不同的方法進(jìn)行分析，不同的統(tǒng)計(jì)圖也各有優(yōu)勢(shì).這些都需要在全面細(xì)致的讀圖過程中讓學(xué)生體悟到.如果教師不重視，那么學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”就得不到有效培養(yǎng)，“應(yīng)用意識(shí)”“創(chuàng)新意識(shí)”的培養(yǎng)也會(huì)落空.

(2)主動(dòng)探究的建構(gòu)流程

1)激活探究欲望——直觀感知

小王應(yīng)聘時(shí)，經(jīng)理說：“我們公司股東和員工‘有福共享、有難同當(dāng)’，從2010年到2012年員工的工資總額增加了5萬(wàn)元，股東工資總額也只增加了5萬(wàn)元.”經(jīng)理拿出了三年的工資總額統(tǒng)計(jì)圖(圖2)給他看.

師：如果你是小王，你會(huì)怎樣判斷？

2)引導(dǎo)整體觀察——深化分析

圖2

師：圖2中兩條折線告訴我們什么?

師：從圖2中2010年、2011年、2012年的數(shù)據(jù)你發(fā)現(xiàn)了什么？

3)逐漸深入細(xì)節(jié)——重構(gòu)認(rèn)知

師：看統(tǒng)計(jì)圖是先要觀察什么？

生3：看它的橫軸表示什么，縱軸表示什么.

師：那圖中橫軸和縱軸分別表示什么呢？

生4：橫軸表示年份，縱軸表示工資總額.

師：那統(tǒng)計(jì)圖中的橫軸、縱軸給你提供了哪些信息？

生5：觀察上面的統(tǒng)計(jì)圖，我發(fā)現(xiàn)員工工資總額2011年比2010年多了2.5，2012年比2011年也多了2.5，所以畫出來按橫坐標(biāo)是年份，縱坐標(biāo)是總額的話它是一條直線.那么股東的總利潤(rùn)也是每年增加2.5，也是一條直線.那么這兩條直線顯然傾斜程度是一樣的，是兩條平行線.

師：很好，觀察得很仔細(xì)，有沒有同學(xué)發(fā)現(xiàn)這兩條線的起點(diǎn)是不同的.那他們的增長(zhǎng)率一樣嗎？你知道他們的增長(zhǎng)率分別是多少嗎？

(3)主動(dòng)探究的建構(gòu)評(píng)說

教師利用上述一系列遞進(jìn)式的“元認(rèn)識(shí)的提示語(yǔ)”，引導(dǎo)學(xué)生在自己的認(rèn)知沖突中一步一步地去主動(dòng)建構(gòu)核心概念，并針對(duì)學(xué)生可能遇到的困難進(jìn)行預(yù)設(shè)—教師對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的讀法進(jìn)行方法指導(dǎo).這些都體現(xiàn)了教師心中學(xué)生的教學(xué)價(jià)值取向.教學(xué)中，教師不斷滲透讀統(tǒng)計(jì)圖的方法，使得學(xué)生的感知、操作、對(duì)比等能力在活動(dòng)中得到發(fā)展，“數(shù)據(jù)分析”這一核心概念就會(huì)潛移默化地在學(xué)生心中滋生.這樣主動(dòng)建構(gòu)既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，也使學(xué)生體會(huì)到統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用于生活，進(jìn)而建立“數(shù)據(jù)分析觀念”.

3.4 案例4 設(shè)計(jì)包裝紙箱

(1)對(duì)核心概念的簡(jiǎn)要說明

綜合與實(shí)踐課存在教學(xué)內(nèi)容難以把握、教學(xué)目標(biāo)難以確定、活動(dòng)程度難以控制、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)難以掌握等問題，導(dǎo)致了學(xué)生“應(yīng)用意識(shí)”“模型思想”等核心概念的培養(yǎng)成效甚微.為此，對(duì)于“設(shè)計(jì)包裝紙箱”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課我們?cè)O(shè)置一個(gè)主動(dòng)探究建構(gòu)的過程.

(2)主動(dòng)探究的建構(gòu)流程

1)動(dòng)手操作——初步感知

師：同學(xué)們，動(dòng)動(dòng)手，看看兩個(gè)相同的包裝箱可以怎樣擺放，你有幾種擺放方法.

學(xué)生分組進(jìn)行探究，隨后給出3種擺放方式，如圖3：

圖3

師：哪一種設(shè)計(jì)方案最佳呢？并說明理由.

生2：我選第1種，因?yàn)檫@一種方法將兩個(gè)最大的面放在一起，所以整體的表面積就最小.

師：你是怎樣得到這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的？

生2：小學(xué)里做手工時(shí)知道的.

2)數(shù)據(jù)驗(yàn)證——理性求證

師：怎么說明這種擺放方案是最佳的呢？

生4：用數(shù)據(jù)來說話，計(jì)算它們的表面積.

師生共同完成下列表格：

紙箱外觀尺寸長(zhǎng)/cm寬/cm高/cm表面積/cm2方案11054220方案22052300方案310102280

師：現(xiàn)在老師相信第一種方案是最佳的設(shè)計(jì)方案.我們?cè)僬?qǐng)生2來說一說他的經(jīng)驗(yàn).

生2：當(dāng)其較大面積重疊時(shí)，包裝箱的表面積較小.

師：如果三盒呢？這時(shí)其重疊面積大了，包裝箱比2盒時(shí)表面積是否小了呢？

生3：要使得長(zhǎng)方體的數(shù)量一定時(shí)，才成立.

3)合作交流——積淀經(jīng)驗(yàn)

師：剛才我們操作了2個(gè)、3個(gè)，那6個(gè)呢？又該如何設(shè)計(jì)使包裝箱的材料最??？動(dòng)手?jǐn)[一擺.

合作要求：①前后4個(gè)同學(xué)為一組，設(shè)計(jì)出本組認(rèn)為材料最省的設(shè)計(jì)方案.②設(shè)計(jì)好的小組由組長(zhǎng)展示.③組長(zhǎng)匯報(bào)各組設(shè)計(jì)的包裝箱的表面積.

學(xué)生合作探究，教師巡視.

師：我發(fā)現(xiàn)個(gè)人的智慧和集體的智慧不一樣哦！還有沒有不同的方案？

小組成果展示6種(如圖4).

圖4

學(xué)生根據(jù)上面的探究，初步排除了方案4和5.

師：為什么？

生5：方案4和5的設(shè)計(jì)雖然可以，但是這些方案太不節(jié)省材料了.

師：我們就采用方案1，2，3，6.

組長(zhǎng)匯報(bào)這些方案的包裝箱表面積，如下表：

紙箱外觀尺寸長(zhǎng)/cm寬/cm高/cm表面積/cm2方案110512460方案210106440方案310512460方案615104460

師：從節(jié)省材料的角度，大家會(huì)選擇哪種方案？

眾生：方案2.

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察前后2張表格中的長(zhǎng)、寬、高和表面積的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：當(dāng)長(zhǎng)、寬、高的和較小時(shí)，包裝箱的表面積較小.

教師板書：當(dāng)包裝箱是長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)、寬、高的和較小時(shí)，包裝箱的表面積較小.

(3)主動(dòng)探究的建構(gòu)評(píng)說

在上述教學(xué)中，首先，教師讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[放小長(zhǎng)方體并進(jìn)行直觀感知判斷，形成初步的感性認(rèn)識(shí)；其次，讓學(xué)生計(jì)算各種可行性方案的表面積，進(jìn)行理性數(shù)據(jù)的求證，從而形成理性認(rèn)知；再次，學(xué)生經(jīng)過小組合作交流，得到了6種可能的方案并進(jìn)行合理篩選；最后，借助數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，形成一般性的理性規(guī)律.在這一主動(dòng)建構(gòu)過程中學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象、概括、判斷等綜合能力以及“應(yīng)用意識(shí)”.