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磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)混合磁懸浮建模與控制研究

2023-02-14 00:59李博文李得天習(xí)振華郭美如周明旭
真空與低溫 2023年1期
關(guān)鍵詞:磁懸浮永磁體頻域

李博文,李得天,*,習(xí)振華,郭美如,周明旭

(1.蘭州空間技術(shù)物理研究所 真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730000;2.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,沈陽 110819)

0 引言

磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)(Spinning Rotor Gauge,SRG)具有優(yōu)異的長期穩(wěn)定性和重復(fù)性,在真空計(jì)量領(lǐng)域作為傳遞標(biāo)準(zhǔn)使用[1-2]。但是,受殘余阻尼、溫度、外部振動(dòng)等因素影響,磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)的量限拓展、準(zhǔn)確度提高以及使用范圍受到了嚴(yán)重制約。混合磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)利用永磁-電磁合力使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮在真空中,轉(zhuǎn)子與支撐件之間沒有任何機(jī)械接觸,僅憑借測量氣體分子對轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)阻尼作用的大小來測量真空壓力[3]。

混合磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)是基于Beams等的純電磁磁懸浮真空計(jì)發(fā)展而來的[4]。上世紀(jì)80年代,F(xiàn)remery等[5]完善了真空計(jì)的混合磁懸浮結(jié)構(gòu),解決了純電磁磁懸浮真空計(jì)的功耗大、發(fā)熱大、懸浮不穩(wěn)定導(dǎo)致的測量失真等問題[6]。至今為止,鮮有人對于這種獨(dú)特的混合磁懸浮系統(tǒng)中永磁力與電磁力在磁懸浮過程中的影響與配比關(guān)系作出報(bào)道。為進(jìn)一步探索提高磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)的測量精度,本文將推導(dǎo)磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)的混合磁懸浮的磁場關(guān)系,得到頻域模型;并將電磁線圈參數(shù)與永磁體參數(shù)引入模型,研究SRG獨(dú)特的混合磁懸浮系統(tǒng)物理模型的建立及其控制;最后利用數(shù)學(xué)模型中引入的參數(shù)指導(dǎo)實(shí)際磁懸浮系統(tǒng)的搭建,并進(jìn)行壓力測量實(shí)驗(yàn)。為磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)懸浮穩(wěn)定性的進(jìn)一步提高和測量上下限的擴(kuò)展提供理論基礎(chǔ)[7-13]。

1 永磁-電磁混合磁懸浮模型

1.1 純電磁懸浮模型

要實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的無摩擦懸浮,通常首先考慮采用電磁懸浮系統(tǒng)。這是一種較為成熟的技術(shù),在各個(gè)領(lǐng)域都有較為成熟的模型可以參考。在本文所研究的問題上,純電磁磁懸?。磧H僅使用電磁線圈使球形轉(zhuǎn)子懸?。┮彩且环N值得考慮的選擇。模型示意如圖1所示。

圖1 球形轉(zhuǎn)子電磁懸浮示意圖Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic levitation of rotor

實(shí)際工作中,要求真空計(jì)長期不停機(jī)工作,磁懸浮系統(tǒng)盡可能功耗低,因此會(huì)增加一個(gè)外力承載一部分轉(zhuǎn)子的質(zhì)量,減輕電磁線圈的負(fù)載。為此,引入永磁體,形成電磁-永磁混合磁懸浮結(jié)構(gòu)。

1.2 混合磁懸浮模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)的混合磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示,球形轉(zhuǎn)子位于中間位置,上下各有一塊極性同向的永磁體,兩個(gè)串聯(lián)的電磁線圈在轉(zhuǎn)子上下對稱布置。在實(shí)際應(yīng)用中,在這一對串聯(lián)的電磁線圈上加載直流信號用以產(chǎn)生電磁力。為準(zhǔn)確估計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)的固有特性,必須對轉(zhuǎn)子懸浮系統(tǒng)進(jìn)行精準(zhǔn)的建模,盡可能地考慮到影響軸向懸浮系統(tǒng)中的所有因素。為研究方便,在不影響模型建立與實(shí)驗(yàn)的前提下,做如下假設(shè):

圖2 混合磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of hybrid magnetic levitation system

(1)永磁體均勻磁化,且軸向磁場的磁勢不隨時(shí)間或溫度發(fā)生衰減;

(2)鐵磁材料(即球形轉(zhuǎn)子與永磁體材料)的磁導(dǎo)率無限大;

(3)忽略線圈與永磁體在氣隙中的漏磁;

(4)假定球形轉(zhuǎn)子、線圈、永磁體剛度無限大,不發(fā)生任何彈性形變;

(5)忽略測量氣體對轉(zhuǎn)子的作用;

(6)忽略法蘭管對電磁場的影響。

圖2中紅框?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)中的法蘭管,連接至真空系統(tǒng)并限制轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)。Fm與Fup(x,i)和Fdown(x,i)作用,轉(zhuǎn)子懸浮的動(dòng)力學(xué)方程為:

首先對永磁體在中心軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行分析,建立如圖3所示的圓柱形永磁體中心軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度模型。

由假設(shè)(1),永磁體均勻磁化,磁化強(qiáng)度M為常矢量,因此體電流密度為零。由安培分子環(huán)流定律,可將圓柱形永磁體等效為一個(gè)沿圓柱側(cè)面切線方向流動(dòng)的,電流大小為M且上下頂面無電流的圓筒形環(huán)流。取如圖3所示的圓柱面微分長度為dz0,圓柱面到底面距離為z0,a為永磁體半徑,θ0為環(huán)流電流通過的角度,在dz0上流動(dòng)的面電流為Mdz0θ,則此面電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的dBm為[14]:

圖3 圓柱形永磁體軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度模型Fig.3 Model of axial magnetic field strength of a cylindrical permanent magnet

沿圓柱高度積分,可以得到圓柱形永磁體在中心軸線上P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bm為:

即在P點(diǎn)處有:

式中:μ0為空氣磁導(dǎo)率;為由原點(diǎn)指向坐標(biāo)軸z方向的單位矢量。

由式(3)可以看出,若兩塊永磁體以中心位置對稱,則永磁體在軸線中心位置產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度會(huì)相互抵消,不能起到平衡轉(zhuǎn)子的部分重力的作用。在實(shí)際設(shè)計(jì)中也考慮到了這個(gè)問題,因此上下永磁體為非對稱布置,如圖2所示,上下永磁體與線圈距離不同,上方永磁體更靠近線圈,提供更強(qiáng)的磁力。

根據(jù)以上推導(dǎo),得到永磁體在中心軸線方向上產(chǎn)生的永磁力與磁感應(yīng)強(qiáng)度方程組為:

式中:Bmup為下永磁體在轉(zhuǎn)子徑向平面處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度;Bmdown來自上永磁體;S為轉(zhuǎn)子截面積。綜合上述方程組,可以得到在空間中某位置永磁體對轉(zhuǎn)子的磁力為:

由式(6)可知,永磁體對轉(zhuǎn)子的作用力僅與轉(zhuǎn)子軸向懸浮位置x有關(guān)。因此,一旦通過電磁線圈控制回路的設(shè)計(jì)確定了轉(zhuǎn)子軸向懸浮位置x,轉(zhuǎn)子所受永磁力就僅受永磁體的安裝位置sdown與sup制約。因此在混合磁懸浮系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中可以根據(jù)轉(zhuǎn)子質(zhì)量調(diào)整永磁體的相對安裝位置。

由磁路的基爾霍夫定律與畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)電磁線圈產(chǎn)生的電磁力,線圈對轉(zhuǎn)子的吸引力可以表示為:

式中:N為線圈匝數(shù);0.01為上下線圈距離,單位為m,為簡化計(jì)算,令常數(shù)項(xiàng):

綜合式(1)~(9),可得轉(zhuǎn)子懸浮的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

當(dāng)工作在平衡點(diǎn)時(shí)(即兩線圈間幾何中心點(diǎn),距下線圈5 mm處),由式(10)知,此時(shí)上下線圈的電磁力大小相同、方向相反,力學(xué)平衡中電磁力項(xiàng)為零,永磁體的磁力與球形轉(zhuǎn)子所受重力相互抵消。物理意義為:當(dāng)球形轉(zhuǎn)子到達(dá)這一理想位置,即形成力學(xué)平衡,線圈上將不加載電流。而這是不符合實(shí)際工況的,由恩紹定理可知,單一永磁體的磁力不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的磁懸浮,因此在計(jì)算時(shí),結(jié)合實(shí)際情況,選擇一微小偏差量作為修正,即取x0=0.005 1 m。工作電流為i0,為盡可能達(dá)到小功率甚至零功率控制,此處設(shè)置期望電流為0.01 A。

由式(10)可以看出轉(zhuǎn)子的磁懸浮控制是一個(gè)非線性系統(tǒng),在平衡位置附近進(jìn)行線性化處理,得到線性化后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

其中:

式中:Kx與Ki為永磁懸浮位移剛度系數(shù)和永磁懸浮電流剛度系數(shù)。

將式(11)進(jìn)行拉普拉斯變換,可得:

移項(xiàng)化簡得到:

由式(15)可知,混合磁懸浮系統(tǒng)頻域模型與電磁懸浮系統(tǒng)相似[15],均由“電流剛度系數(shù)”與“位移剛度系數(shù)”來表征線圈電流變化與懸浮轉(zhuǎn)子位移變化對系統(tǒng)影響的系數(shù),但從式(12)可以看出,推導(dǎo)出的位移剛度系數(shù)中含有與永磁體磁化強(qiáng)度、尺寸、安裝位置等參數(shù)相關(guān)的變量。具體參數(shù)如表1所列。

表1 混合磁懸浮系統(tǒng)部分參數(shù)表Tab.1 Partial parameters of hybrid magnetic suspension system

代入表中參數(shù)得到混合磁懸浮系統(tǒng)的傳遞函數(shù),這是一個(gè)二階系統(tǒng):

由勞斯判據(jù)可知,系統(tǒng)不穩(wěn)定,必須增加控制器來保證轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

表1中,模型采用空心線圈實(shí)現(xiàn)電磁懸浮部分,且球形轉(zhuǎn)子直徑小于線圈內(nèi)徑,因此可以認(rèn)為轉(zhuǎn)子僅受穿過其徑向截面的磁通作用,因此在計(jì)算電磁力時(shí)均采用轉(zhuǎn)子的截面積S。

2 仿真分析

使用PID控制器對推導(dǎo)出的二階系統(tǒng)進(jìn)行控制,選取較為快速的懸浮控制參數(shù)。參照第一章搭建磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)的混合懸浮模型,為更接近實(shí)際工況,采用離散模式,采樣周期T=0.001,系統(tǒng)的仿真模型框圖如圖4所示。

圖4 二階系統(tǒng)的仿真模型框圖Fig.4 Simulation model block diagram of second-order system

2.1 階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

通常的外來噪聲,如抽氣系統(tǒng)產(chǎn)生的噪聲信號、實(shí)驗(yàn)環(huán)境中其他噪聲等干擾會(huì)引發(fā)振動(dòng),為此,在階躍信號的基礎(chǔ)上,加入幅值為0.000 01的白噪聲信號以模擬環(huán)境噪聲,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出,由于式(16)表示的混合磁懸浮系統(tǒng)在頻域表達(dá)式上為二階系統(tǒng),其固有特性類似“低通濾波器”的作用,系統(tǒng)響應(yīng)受白噪聲信號的高頻分量影響較小,低頻噪聲保留較多,因此可知此混合磁懸浮系統(tǒng)易受低頻噪聲的干擾。

圖5 模擬噪聲下混合磁懸浮系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of hybrid magnetic levitation system under simulated noise

2.2 頻域分析

為定量檢驗(yàn)對高頻噪聲的抑制效果,對圖5中的懸浮響應(yīng)信號進(jìn)行傅里葉變換,觀察其頻域特征,結(jié)果如圖6所示。

圖6 加入白噪聲的混合磁懸浮系統(tǒng)響應(yīng)信號與白噪聲信號頻譜對比圖Fig.6 Spectral comparison plot of the response signal of the hybrid magnetic levitation system and the white noise signal

從圖6可以看出,懸浮信號的低頻振動(dòng)集中在150 Hz以內(nèi),遠(yuǎn)離磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)的工作頻率350~550 Hz,對測量系統(tǒng)獲得較優(yōu)質(zhì)的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)信號影響較小。

3 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)模擬比例-積分-微分控制電路??刂破髟砜驁D與實(shí)物圖如圖7所示。

圖7 PID混合磁懸浮系統(tǒng)控制器原理框圖與實(shí)際電路圖Fig.7 Hybrid magnetic levitation system controller block diagram and actual circuit diagram

4 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證混合磁懸浮模型的正確性,以蘭州空間技術(shù)物理研究所自研的磁懸浮轉(zhuǎn)子真空計(jì)為對象進(jìn)行試驗(yàn)。利用頻率計(jì)數(shù)器對磁懸浮控制系統(tǒng)的懸浮位移響應(yīng)進(jìn)行頻域分析。

通過前一章節(jié)搭建的磁懸浮PID控制電路實(shí)現(xiàn)懸浮轉(zhuǎn)子懸浮,并采集其懸浮信號,以便對其懸浮響應(yīng)進(jìn)行時(shí)域與頻域研究。

調(diào)整PID參數(shù)至穩(wěn)定懸浮后記錄懸浮位移響應(yīng)曲線,如圖8所示。

圖8 混合磁懸浮系統(tǒng)中球形轉(zhuǎn)子的懸浮響應(yīng)信號Fig.8 The suspension response signal of a spherical rotor in a hybrid magnetic levitation system

由圖8可以看出,懸浮較為穩(wěn)定,軸向位置波動(dòng)量在±0.06 mm以內(nèi)。

懸浮實(shí)物圖如圖9所示。設(shè)空間中心位置為參考位移點(diǎn),調(diào)整PID參數(shù),將位移信號引至頻率計(jì)數(shù)器,進(jìn)行12 000個(gè)頻率點(diǎn)的采樣,結(jié)果如圖10所示。

圖9 混合磁懸浮系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.9 Physical drawing of hybrid magnetic levitation system

圖10 混合磁懸浮系統(tǒng)中球形轉(zhuǎn)子懸浮信號的頻率直方圖Fig.10 Histogram of the frequency of the levitation signal of a spherical rotor in a hybrid magnetic levitation system

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,圖8與圖10顯示的懸浮過程中的低頻振動(dòng)現(xiàn)象與圖5、圖6的仿真結(jié)果吻合。通過頻譜計(jì)數(shù)結(jié)果(圖10)可以看出,在PID控制器的控制下,懸浮信號頻域顯示150 Hz以內(nèi)存在低頻振動(dòng),振動(dòng)頻率譜峰值處位于59.5 Hz處。與仿真結(jié)果(圖6)基本一致。

5 壓力測量實(shí)驗(yàn)

將磁懸浮控制模塊電路接入到磁懸浮系統(tǒng)中進(jìn)行壓力測量實(shí)驗(yàn),一個(gè)月內(nèi)進(jìn)行4次9×10-5~1 Pa的壓力測試,將得到的壓力結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)壓力進(jìn)行對比,如圖11所示。

圖11 壓力測量實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比Fig.11 Comparison of pressure measurement experiment results

由圖中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出,混合磁懸浮系統(tǒng)可以長期穩(wěn)定工作,保證了混合磁懸浮真空計(jì)對壓力的準(zhǔn)確測量?;旌洗艖腋∞D(zhuǎn)子頻域數(shù)學(xué)模型的建立,量化了永磁體與線圈在磁懸浮過程中的影響,為穩(wěn)定、低功耗、長期工作的磁懸浮系統(tǒng)搭建打好了基礎(chǔ)。

6 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了永磁-電磁混合磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)并建立了該系統(tǒng)的頻域模型,根據(jù)勞斯判據(jù)分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性。最后通過搭建模擬PID電路,進(jìn)行了閉環(huán)PID控制的實(shí)驗(yàn),對信號進(jìn)行頻域分析,驗(yàn)證了頻域模型的正確性。通過以上的研究得到了以下結(jié)論:

(1)通過數(shù)學(xué)模型仿真與實(shí)驗(yàn)對比,發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的低頻振動(dòng)來自混合磁懸浮控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制固有頻域特性與白噪聲的激發(fā),印證了混合磁懸浮二階模型的正確性;

(2)經(jīng)過近30天的壓力測試實(shí)驗(yàn),磁懸浮測量頭持續(xù)準(zhǔn)確地測量出壓力,證明未發(fā)生轉(zhuǎn)子懸浮的不穩(wěn)定帶來的本底變化,磁懸浮系統(tǒng)維持低功耗懸浮運(yùn)行。驗(yàn)證了由數(shù)學(xué)模型得到的線圈參數(shù)、永磁體參數(shù)與安裝位置的合理性。

仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的細(xì)微差別和實(shí)際懸浮中的低頻抖動(dòng)表明,磁懸浮系統(tǒng)中仍有部分因素在建立模型時(shí)未被考慮到。有待進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)研究,細(xì)化模型。

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