張志勇， 易 柯， 謝尚平， 周 峰， 郭一豪， 程 三

（1.核資源與環(huán)境國家重點實驗室，江西 南昌 330013；2.東華理工大學 地球物理與測控技術(shù)學院，江西 南昌 330013）

直流電阻率（direct current resistivity， DCR）與射頻大地電磁（radio-magnetotelluric， RMT）是兩種淺層地球物理勘探方法。DCR是較早應用的地球物理方法之一，具有較好的淺層勘探效果，理論與應用的發(fā)展均較為成熟［1-8］。RMT是近年發(fā)展起來的頻域電磁方法，其工作頻段為10 kHz～1 MHz，適用于地下水［9-11］、環(huán)境與工程［12-14］、地質(zhì)災害［15-17］等淺地表勘探任務。

研究表明，聯(lián)合反演相比單一方法可得到更準確的地下模型［18-21］。由于DCR和RMT勘探深度存在重疊，兩種方法的聯(lián)合反演，適用于實測數(shù)據(jù)處理［22-24］。RMT采用與大地電磁相似的觀測方式，易受近地表小尺度異常影響而產(chǎn)生靜態(tài)位移，通過與DCR數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演能有效減小該效應影響［25］。此外，在高阻、高頻條件下RMT需考慮位移電流，且受地形影響嚴重［26］，采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進行RMT與DCR數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演有效提高了反演精度與計算效率［27］。相較于單一的DCR或RMT反演，聯(lián)合反演結(jié)合了DCR與RMT對低阻體和高阻體的分辨能力、淺部分辨能力和勘探深度方面的優(yōu)勢，可得到更可靠的地下電阻率模型［28］。

當前DCR與RMT的聯(lián)合反演研究均采用平滑模型約束，本文為進一步改善電阻率反演效果，將模糊C均值（fuzzy C-means， FCM）聚類方法引入到反演模型約束中。FCM聚類是一種機器學習算法，其原理是根據(jù)樣本點對所有類的隸屬度進行樣本的自動分類［29-30］。將具有樣本分類能力的FCM聚類應用于模型約束，利用地下地質(zhì)單元有限分類的實質(zhì)，將大大提高反演結(jié)果與實際地質(zhì)模型的對應程度?；贔CM聚類的正則化反演，是為了利用不同數(shù)據(jù)集中得到的模型信息開展地震與重力數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演［31-32］；另外，在可取得有效地球物理先驗信息的情況下，進一步發(fā)展了帶引導項的FCM聚類聯(lián)合反演算法［33］，并應用于地震與重力數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演［34］。此外，F(xiàn)CM聚類算法在磁法［35］、海洋直流電阻率［36］、激發(fā)極化［37］、重力［38］、大地電磁［39］等數(shù)據(jù)反演中的應用均取得了良好效果。然而，在目標函數(shù)中引入FCM聚類項勢必引起反演目標函數(shù)中待確定權(quán)重系數(shù)的增多，而這些參數(shù)的選擇對于反演又非常關(guān)鍵［40-41］。

為提高DCR與RMT聯(lián)合反演在淺層勘探中的應用效果，在經(jīng)典最小結(jié)構(gòu)模型正則化約束［42］的基礎(chǔ)上，引入FCM聚類進行電阻率模型約束，以取得與實際地質(zhì)模型更接近的反演結(jié)果。分別對DCR、RMT單一方法以及聯(lián)合反演進行了模型試算，檢驗了算法與程序的正確性，討論了聯(lián)合反演的優(yōu)勢；最后分析了FCM聚類約束對提高DCR與RMT聯(lián)合反演效果的作用。結(jié)果表明，聯(lián)合反演結(jié)合了DCR與RMT法的優(yōu)勢，對低、高阻體均實現(xiàn)了高精度反演；FCM聚類約束的應用使得反演的異常體物性值更準確，邊界更清晰。

1 DCR與RMT聯(lián)合反演優(yōu)勢分析

1.1 DCR與RMT正則化反演

DCR與RMT單獨反演的正則化目標函數(shù)［43］可表示為

式中：m為待解參數(shù)；φd(m)為數(shù)據(jù)擬合項，可統(tǒng)一表示為為數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，A(m)為正演響應，dobs為反演數(shù)據(jù)；φm(m)為模型穩(wěn)定項，可統(tǒng)一表示為為模型加權(quán)矩陣，mapr為參考模型；λ為模型穩(wěn)定項的正則化因子。

本文研究中，DCR與RMT的反演數(shù)據(jù)分別為視電阻率和阻抗。

Wd的標準形式可表示為

式中：χi為第i個數(shù)據(jù)的方差；e為極小正數(shù)，確保式（2）有效；n為觀測數(shù)據(jù)總個數(shù)。

本文采用最小結(jié)構(gòu)模型約束，φm(m)可表示為

采用最小二乘法計算非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格模型粗糙度［44］，取參考模型與模型粗糙度之比為1‰（α0=0.001）。模型粗糙度可表示為

式中：αx、αz為比例系數(shù)，通常取αx=αz=1。

1.2 理論反演分析

為討論DCR與RMT的單獨反演能力，設(shè)計了圖1所示的地下模型。在電阻率為1 000 Ω·m，相對介電常數(shù)為40的背景模型中設(shè)置編號為（1）、（2）、（3）、（4）的電阻率異常體塊，異常體塊屬性見表1。DCR法采用二極裝置，共布設(shè)電極124根，電極距為5 m，數(shù)據(jù)點總數(shù)為2 080。RMT法的計算頻段為16 384～506 429 Hz，按2的對數(shù)等間距取16個頻點，測點個數(shù)為60，測點距為5 m，參與反演的數(shù)據(jù)個數(shù)為3 840，其中包含阻抗實部與虛部。DCR與RMT測線均位于水平地表，測點位置均關(guān)于原點（0，0）對稱布設(shè)。

表1 異常體塊屬性Tab.1 Properties of four blocks

圖1 設(shè)計的計算模型Fig.1 Diagram of synthetic model

采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限單元法進行了DCR與RMT的正演模擬，兩種正演數(shù)據(jù)中各自加入5%的隨機噪聲，對DCR和RMT數(shù)據(jù)分別采用高斯-牛頓法［45-46］進行反演，兩種方法的正則化因子λ初始值均取1 000，隨后每一次迭代的正則化因子為上一次的95%，兩種方法均迭代36次，初始模型均為背景電阻率，反演的電阻率模型見圖2。其中圖2a為DCR數(shù)據(jù)反演結(jié)果，圖2b為RMT法橫電場（TE）模式數(shù)據(jù)反演結(jié)果，圖2c為RMT法橫磁場（TM）模式數(shù)據(jù)反演結(jié)果，圖2d為RMT法TE、TM模式數(shù)據(jù)共同反演結(jié)果。

圖2 DCR和RMT數(shù)據(jù)單獨反演的電阻率模型對比Fig.2 Comparison of resistivity models for DCR and RMT inversions

DCR數(shù)據(jù)反演（圖2a）結(jié)果表明，（1）號低阻體對應位置處物性值恢復較好，接近真值，但規(guī)模小于實際情況；（2）號高阻體與（3）號低阻體對應位置處物性值與邊界均有一定恢復，但（3）號低阻體下邊界過于發(fā)散，分析是由于當前數(shù)據(jù)反演深度不足造成；（4）號高阻體對應位置處物性值與邊界恢復接近真實模型。RMT法TE模式數(shù)據(jù)反演（圖2b）表明，（1）、（3）號低阻體對應位置處物性值與邊界均恢復較好，而（2）、（4）號高阻體對應位置處物性值與邊界無明顯恢復。RMT法TM模式數(shù)據(jù)反演（圖2c）結(jié)果表明，（1）、（3）號低阻體對應位置處物性值與邊界均有一定恢復，較TE模式反演得到異常體規(guī)模略?。唬?）、（4）號高阻體對應位置處恢復仍不理想，但略優(yōu)于TE模式。RMT法TE與TM模式數(shù)據(jù)共同反演（圖2d）結(jié)果表明，（1）、（3）低阻體對應位置處物性值與邊界均較單獨的TE、TM模式數(shù)據(jù)反演結(jié)果好，（2）、（4）號高阻體對應位置處物性值與邊界恢復均略優(yōu)于單獨的TE、TM模式。圖3為4次單獨反演對應的正則化因子、均方根誤差RMS以及模型誤差變化曲線，RMS=，兩種方法的RMS均呈下降趨勢，模型誤差均呈上升趨勢，反演過程穩(wěn)定，驗證了本文程序設(shè)計的正確性。

圖3 DCR和RMT數(shù)據(jù)單獨反演的正則化因子、數(shù)據(jù)均方根誤差（RMS）、模型誤差變化曲線Fig.3 Curves of regularization factor, RMS, and model object function in single inversions of DCR and RMT data

DCR與RMT單獨反演結(jié)果表明，DCR反演對高、低阻體均有較好恢復能力；而RMT對低阻體具有高靈敏度，高阻體反演能力則較差。開展DCR與RMT聯(lián)合反演，一方面加強DCR對低阻體的分辨率；另一方面可避免RMT反演結(jié)果遺漏高阻體的風險，實現(xiàn)更精確的淺地表勘探。

2 DCR與RMT的聯(lián)合反演

2.1 數(shù)據(jù)比重對聯(lián)合反演的影響

聯(lián)合反演的目標函數(shù)形式及其優(yōu)化求解與1.1節(jié)單獨反演一致，φd中反演數(shù)據(jù)dobs和正演響應A(m)均由DCR與RMT共同組成，dobs=(ρs，Zyx，Zxy)T，ρs為DCR法視電阻率數(shù)據(jù)，Zyx、Zxy分別為RMT法的TE、TM模式阻抗數(shù)據(jù)；A(m)=[ADCR(m)，ARMT(m)]T，ADCR(m)、ARMT(m)分別為DCR與RMT正演響應。對于聯(lián)合反演，可在標準數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣Wd中引入平衡算子調(diào)節(jié)數(shù)據(jù)比重［28］，本文采用的形式為

式中：x代表DCR與RMT方法；Wdx代表各類型數(shù)據(jù)的加權(quán)矩陣包含代表各類型數(shù)據(jù)的平衡算子，δx用于表征數(shù)據(jù)集對反演模型參數(shù)的貢獻比例，由于DCR與RMT數(shù)據(jù)均只反演電阻率，因此取δRMT=δDCR=1.0；Nx代表各類型數(shù)據(jù)個數(shù)，NRMT與NDCR分別代表RMT與DCR數(shù)據(jù)個數(shù)。

對圖1所示模型數(shù)據(jù)，在正則化因子、迭代次數(shù)等參數(shù)與1.2節(jié)單獨反演一致的條件下，對基于標準數(shù)據(jù)加權(quán)的Wd以及引入平衡算子且δDCR=δRMT=1.0的Wd分別進行聯(lián)合反演試算，結(jié)果分別見圖4a、4b；圖5為對應的RMSDCR、RMSRMT變化曲線，圖5a對應圖4a，圖5b對應圖4b，虛線表示RMSDCR或RMSRMT的值為1.0。

對比圖4a與圖2d可知，圖4a聯(lián)合反演結(jié)果中高、低阻體對應位置處物性值與邊界恢復情況較圖2d RMT反演結(jié)果均較好，其中（4）號高阻體的物性值由圖2d的3 005 Ω·m上升至3 965 Ω·m；對比圖4a與圖2a可知，圖4a聯(lián)合反演的結(jié)果中高阻體對應位置處物性值與邊界恢復較圖2a DCR反演稍差，但低阻體對應位置處的恢復明顯好于圖2a DCR反演結(jié)果，圖4a對應的RMSDCR=1.05，RMSRMT=0.88；當在數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣Wd中引入平衡算子后（圖4b），（4）號高阻體對應位置的物性值與邊界恢復明顯提升，接近圖2a DCR反演結(jié)果，對應的RMSDCR=0.99，RMSRMT=0.90。分析圖5的RMS曲線可知，圖4a中高阻體反演不理想與DCR數(shù)據(jù)擬合不足有關(guān)，在第20次迭代后圖5b中RMSDCR較圖5a更好收斂。

圖5 聯(lián)合反演的RMSDCR、RMSRMT變化曲線Fig.5 RMSDCR versus RMSRMT in joint inversions

對比圖2與圖4，DCR與RMT的聯(lián)合反演結(jié)合了兩種方法的優(yōu)勢，對高、低阻體均有較好的反演能力，相較單一方法得到了更準確的地下電阻率模型。在實際反演中對不同數(shù)據(jù)的方差假設(shè)往往不一致，可能導致不同數(shù)據(jù)的權(quán)重差距過大，可通過引入平衡算子，改變式（5）中的δx以調(diào)節(jié)不同數(shù)據(jù)的比重，進而改善聯(lián)合反演效果。

圖4 基于不同數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣的聯(lián)合反演電阻率模型對比Fig.4 Comparison of resistivity models for joint inversions based on different data weightings

2.2 基于FCM聚類的聯(lián)合反演

2.2.1 基于FCM聚類模型約束的DCR與RMT聯(lián)合反演

研究表明，在反演中引入FCM聚類約束可得到更好的地質(zhì)分異信息［31，34］，有利于提高地質(zhì)解釋的精度。為進一步提高DCR與RMT數(shù)據(jù)聯(lián)合反演效果，引入FCM聚類進行電阻率模型約束。

基于FCM聚類的DCR與RMT聯(lián)合反演目標函數(shù)可表示為

式中：φFCM(m)為FCM聚類項［34］；β為聚類項的權(quán)重因子。

聚類項可表示為

式中：M為總模型單元個數(shù)；C為聚類中心個數(shù)；mj為第j個模型單元的物性值；vk為反演的第k個聚類中心；uqjk為第j個模型單元物性值對第k個聚類中心的隸屬度，其中q為模糊化參數(shù)，本文取q=2；在獲得巖石物理先驗信息時，可引入?yún)⒖季垲愔行膖k；ηk為第k個參考聚類中心tk的權(quán)重因子，表示第k個參考聚類中心的置信度。

基于FCM聚類的DCR與RMT聯(lián)合反演目標函數(shù)可進一步表示為

聚類項中第一項可表示為

采用高斯-牛頓法優(yōu)化求解式（8）目標函數(shù)的最小值，第n次迭代的高斯-牛頓方程為

式中：J為雅可比矩陣。根據(jù)式（10）可得新的模型參數(shù)為

式中：γ為沿改進量Δm的搜索步長［43］。

2.2.2 FCM聚類模型約束權(quán)重的自動選擇

聚類項在目標函數(shù)中的權(quán)重可直接影響聚類反演效果。理論上，在反演初期，當采用均勻模型反演時，無法施行有效的聚類，φFCM(m)的權(quán)重β過大將影響反演的正常進行；而隨反演的進行，異常信息將逐漸清晰，分類特征將越來越明顯，應當有較大的聚類權(quán)重。根據(jù)以上分析，設(shè)計隨迭代過程自動調(diào)整β值的方法為

2.2.3 理論模型反演分析

為了分析聚類約束對聯(lián)合反演效果的改進，進行了聯(lián)合反演與基于FCM聚類的聯(lián)合反演試算。正則化因子初始值均為10 000，后期根據(jù)數(shù)據(jù)誤差以及模型誤差等信息進行經(jīng)驗選取，迭代次數(shù)均為60次，數(shù)據(jù)加權(quán)方式均采取2.1節(jié)引入平衡因子的形式。對于聚類聯(lián)合反演，取L=10、100、500、 1 000，根據(jù)式（12）的方法選取β值；為簡化參數(shù)討論，文本根據(jù)真實模型的物性值設(shè)置3個參考聚類中心，t1=100、t2=1 000、t3=10 000，并將其置信度η均設(shè)置為50；將RMS=1.0或達到最大迭代次數(shù)作為反演終止條件，確保2.2.2節(jié)中β自動選擇方案有效?；谝陨蠗l件進行模型反演試算，結(jié)果見圖6與圖7。圖6為不帶聚類約束得到的聯(lián)合反演結(jié)果，圖7為FCM聚類聯(lián)合反演結(jié)果，圖7a、7b、7c、7d分別對應L=10、100、500、1000。圖8為FCM聚類聯(lián)合反演對應的迭代曲線，圖8a為RMS變化情況以及根據(jù)RMS計算的β值，RMS值均呈下降趨勢并趨于穩(wěn)定。圖8b為FCM聚類項的模型穩(wěn)定函數(shù)φFCM變化值，隨著FCM聚類項權(quán)重β的增大而增大。

圖6 不帶聚類約束的聯(lián)合反演電阻率模型Fig.6 Resistivity model of joint inversion without FCM clustering

圖8 不同L取值時聚類聯(lián)合反演的RMS、β、φFCM的變化曲線Fig.8 Curves of RMS,β,φFCM at iteration of different L values based on FCM

對比圖6與圖7，隨著L的增大即聚類約束的增強，聯(lián)合反演得到的4個異常體的物性值均更接近真實模型，邊界均更清晰，但并不是L值越大異常體邊界與實際模型越吻合，反而L=500、1 000時邊界差異更大；L=100時反演的電阻率模型物性值與邊界最接近真實模型。當前，尚未開展β與L的自適應選擇方案研究，L值表征聚類約束強弱，通過試算選擇。

圖7 不同L取值的FCM聚類聯(lián)合反演電阻率模型對比Fig.7 Resistivity models for joint inversion based on FCM at different L values

為分析反演早期聚類約束過強對聯(lián)合反演的影響，對β取固定值與自動選取β兩種情況的反演過程進行對比。L=100時反演結(jié)果最好，將該反演最后一次迭代的β值5.817作為β的固定值，將其反演結(jié)果與L=100自動選擇β時的反演結(jié)果進行對比，見圖9。其中，圖9a、9b、9c為β取固定值5.817時的反演結(jié)果，圖9d、9e、9f為L=100自動選擇β時的反演結(jié)果，9a、9d，9b、9e，9c、9f對應的迭代次數(shù)分別為第18次，第36次與第60次。

對比圖9a、9b、9c與圖9d、9e、9f可以看出，當β取固定值5.817時，反演初期過大的聚類約束減小了反演向真實模型改進的動力，導致反演的電阻率模型較差，進而影響最終的反演結(jié)果，特別是高阻體；而當采取自動選擇聚類權(quán)重β的策略時，隨著迭代次數(shù)的增大，反演的電阻率模型越來越接近真實模型。

圖9 β取定值5.817時的FCM聚類聯(lián)合反演與L=100自動選擇β的反演結(jié)果對比Fig.9 Resistivity models for joint inversions based on FCM at two different β values (one being a fixed β value of 5.817, the other being an automatic selection value of β), and an L of 100

對比圖6、7、9可以看出，F(xiàn)CM聚類約束可一定程度上提高DCR與RMT的聯(lián)合反演效果，對于聚類項權(quán)重因子β的選擇，可根據(jù)數(shù)據(jù)均方根誤差在反演初期較大、后期較小的性質(zhì)，通過數(shù)據(jù)均方根誤差自動計算得到β值，以避免反演初期聚類約束過強對反演結(jié)果造成的不良影響。

3 結(jié)論與展望

通過對二維DCR、RMT數(shù)據(jù)的正則化反演與基于FCM聚類模型約束的聯(lián)合反演研究，取得以下成果：

（1） 對于二維DCR與RMT數(shù)據(jù)的單獨反演，DCR方法在其勘探深度內(nèi)對高、低阻體均較敏感，而RMT方法對低阻體分辨能力明顯優(yōu)于高阻體。

（2） DCR與RMT方法的聯(lián)合反演較單一方法可以得到更準確的地下電阻率模型；聯(lián)合反演中，DCR與RMT數(shù)據(jù)在反演中的權(quán)重對反演結(jié)果影響較大，通過平衡兩個數(shù)據(jù)集在反演中的比例，可有效提高聯(lián)合反演效果。

（3） FCM聚類約束可改善聯(lián)合反演效果；反演初期聚類項權(quán)重過大將影響反演目標函數(shù)優(yōu)化過程中的下降動力，導致最終的反演結(jié)果較差；以數(shù)據(jù)均方根誤差為依據(jù)的聚類項權(quán)重因子自動選取算法適用于DCR與RMT數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演。

RMT數(shù)據(jù)受位移電流的影響，可對介電常數(shù)進行反演，后續(xù)將進行DCR與RMT數(shù)據(jù)的電阻率、介電常數(shù)聯(lián)合反演研究。鑒于我國RMT方法研究處于理論研究階段，課題組正與國外團隊合作，進行RMT實測數(shù)據(jù)反演研究。

作者貢獻聲明：

張志勇：方法提出，算法設(shè)計與代碼撰寫，論文撰寫與修改。

易 柯：算法改進，論文撰寫與修改。

謝尚平：試算，論文修改。

周 峰：方法討論，論文修改。

郭一豪：程序改進，論文修改。

程 三：數(shù)值模擬，論文修改。