劉 泉， 李 賀， 賈媚媚， 于 凱， 張新剛

(1.南陽師范學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院； 河南省數(shù)字圖像大數(shù)據(jù)智能處理工程研究中心，河南 南陽 473061；2.新疆財經(jīng)大學(xué) 公共管理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830012)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)的暴發(fā)和蔓延給人類社會造成了極大危害，對人民的生命財產(chǎn)和社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了重大損失.世界衛(wèi)生組織公布，截至2022年11月6日，全球新冠肺炎確診病例超過6.29億例[1].對于新冠肺炎的傳播和演化機(jī)理的研究具有非常重要的意義，引起了學(xué)界的極大關(guān)注.

目前，針對新冠肺炎的傳播不少研究者進(jìn)行了深入研究.ZHOU等[2]使用SEIR模型對新型冠狀病毒肺炎的基本再生數(shù)進(jìn)行了預(yù)測研究.YANG等[3]根據(jù)優(yōu)化的SEIR模型，使用深度學(xué)習(xí)的方法，預(yù)測中國新冠肺炎疫情將在二月下旬達(dá)到高峰，四月底趨于緩和.SUN等[4]構(gòu)建了SEIQR模型，用來研究COVID-19在武漢的傳播，并考慮了封鎖和醫(yī)療資源對COVID-19傳播的影響.LIN等[5]考慮個人行為反應(yīng)和政府行為，基于SEIR模型提出了一個新冠肺炎傳播的概念模型.GUO等[6]構(gòu)建了一個具有非局部時滯和邏輯增長的流行病模型，其研究結(jié)果表明非局地時滯項在傳染病傳播過程中起著非常重要的作用.尹楠[7]對有限區(qū)域內(nèi)新型冠狀病毒肺炎疫情仿真模擬，并提出了相關(guān)建議.汪婧等[8]把感染人群進(jìn)行細(xì)分，通過構(gòu)建的SEIiRD模型，仿真分析了不同感染人群的傳播率對疫情發(fā)展的影響.JIA等[9]使用擴(kuò)展的SIR模型，考慮干預(yù)措施的影響，用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法估計意大利的新冠肺炎基本再生數(shù).許小可等[10]根據(jù)學(xué)生和老師的接觸網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，模擬了新冠肺炎在校園內(nèi)的傳播.ZHAO等[11]利用MH參數(shù)估計方法和優(yōu)化的SEIR模型，對疫情嚴(yán)重的南非、埃及和阿爾及利亞三種干預(yù)情景(抑制、緩解、溫和)下的疫情傳播進(jìn)行了模擬和預(yù)測.LIU等[12]考慮異質(zhì)接觸網(wǎng)絡(luò)，模擬了2019冠狀病毒病在“鉆石公主”游輪上的兩階段爆發(fā).這些研究，大多使用微分方程進(jìn)行建模，假定個體之間的交互是等概率的，忽略了其所處的接觸環(huán)境等的差異，而使用元胞自動機(jī)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等方法可以彌補這些缺陷[13-14].目前，一些研究使用元胞自動機(jī)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法對傳染病的傳播進(jìn)行了研究，主要集中在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對傳染病傳播的影響[15]、接種等免疫措施的影響[16]以及基于信息或行為構(gòu)建多重網(wǎng)絡(luò)對傳染病傳播的研究[17-19].

傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，每條邊只能連接兩個節(jié)點，對多個節(jié)點之間的交互作用表達(dá)能力較弱.基于此，不少學(xué)者使用超網(wǎng)絡(luò)來描述更為復(fù)雜的節(jié)點關(guān)系.超網(wǎng)絡(luò)包括基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)[20]和基于網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)[21].在本文描述中，超網(wǎng)絡(luò)主要是指基于超圖的超網(wǎng)絡(luò).例如，在科研合作網(wǎng)絡(luò)中，一篇論文對應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)中的一條超邊，論文中的一個作者對應(yīng)于超邊中的一個節(jié)點.通常一篇論文中包含多個作者，對應(yīng)于一條超邊包含多個節(jié)點.基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)目前已經(jīng)得到不少學(xué)者的關(guān)注，在信息傳播[22-24]、輿論演化[25]、知識傳播[26]等多個領(lǐng)域都得到了廣泛研究，但是超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下針對密切接觸傳染病傳播的研究還較為少見.

現(xiàn)實世界中人們往往存在于多個密切接觸的聯(lián)系之中，這些密切接觸將會導(dǎo)致傳染病的傳播.例如，工作在同一個辦公室、生活在同一套房屋之中、乘坐同一趟航班或參加同一個聚會，這些都會形成密切接觸關(guān)系.一旦某個個體患上傳染病，那這些密切接觸的人員都有很大可能被傳染.超網(wǎng)絡(luò)中的一條超邊可以包含任意多個節(jié)點，一條超邊可以對應(yīng)于一次親密接觸的聯(lián)系，超邊內(nèi)的節(jié)點有更大的概率被相互感染.相較于傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，超網(wǎng)絡(luò)的這種特性更加適合用來描述密切接觸關(guān)系，也更適用于密切接觸傳染病的聚集傳播研究之中.

基于上述分析，本文使用超網(wǎng)絡(luò)來表示社會接觸網(wǎng)絡(luò).基于SCEIR模型，并考慮潛伏期的持續(xù)時間，構(gòu)建了超網(wǎng)絡(luò)的新冠肺炎傳播模型.使用超網(wǎng)絡(luò)中的超邊來表示有一次密切接觸的人群，使模型能夠較好地模擬密切接觸的范圍，由此來研究新冠肺炎的演化過程和傳播規(guī)律，以期為傳染病的防控提供可行性建議.

1 局部區(qū)域傳染病聚集傳播特征分析

在本文中，局部區(qū)域是指某一特定的封閉區(qū)域，如一個城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)、社區(qū)或校園.在傳染病暴發(fā)的特定時間段，為阻止傳染病的跨區(qū)域傳播，政府部門采取遠(yuǎn)距離交通出行限制，實行封城措施.例如中國武漢和意大利米蘭為應(yīng)對新冠疫情采取的封城措施、某些高校在開學(xué)之后采取的封閉式管理措施，這些措施將使城市和校園成為一個相對封閉的區(qū)域.

新冠肺炎具有典型的聚集傳播特征.新冠肺炎感染者以家庭、同事或朋友關(guān)系圈集聚的現(xiàn)象被多次報道，這些都說明新冠肺炎傳播有很強的聚集特點.2020年2月2日，山東省報告發(fā)生多起典型家庭聚集性疫情，截至當(dāng)日，全省已發(fā)現(xiàn)聚集性疫情60起，其中49起為家庭聚集性、6起同事間聚集性、5起集體暴露[27].天津動車客車段聚集性發(fā)病是一起非常典型的同事、親屬和密切接觸者之間聚集傳播的案例.天津動車客車段首位確診病例楊某某(該市第2例患者)，出現(xiàn)在1月21日.該市確診的第5例患者、6例患者與第2例患者系同事；第8例病例，系天津動車客車段職工；第11例患者為第6例病例家屬；第12例和13例患者為第5例病例家屬；第16例病例為第5例病例親屬；第17例病例為第5例病例同事；第20例病例為天津動車客車段職工，曾與第6例病例有密切接觸史[28].

根據(jù)上述傳播過程，可以抽象出傳播超網(wǎng)絡(luò)如圖1所示.為方便理解，圖1中節(jié)點編號采用天津市衛(wèi)健委公布的患者病例編號.e1、e2、e3、e4、e5、e6、e7為超邊編號.超邊e1包含節(jié)點2、5、6、22、28、47，即e1={2、5、6、22、28、47}.

通過對上述的案例傳播過程的歸納，可以發(fā)現(xiàn)密切接觸傳染病傳播過程具有如下特征：(1)患病個體能夠同時將疾病傳播給某次密切接觸的整個人群；(2)個體存在多個密切聯(lián)系的關(guān)系中，有可能進(jìn)行多次的密切接觸.

傳統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的邊僅可以聯(lián)系兩個節(jié)點，只能描述節(jié)點之間的二維關(guān)系，因而很難將傳染病傳播中的群體接觸描述清楚.然而，超網(wǎng)絡(luò)中的一條超邊可以包含任意一個節(jié)點，適合描述多個節(jié)點之間的關(guān)系，可以更直接地反映密切接觸所導(dǎo)致的傳染病在人群中的傳播過程.超邊還可以用于判斷節(jié)點的密切接觸范圍，適宜進(jìn)行傳播追蹤溯源工作.因此，本文選擇超網(wǎng)絡(luò)來描述個體之間復(fù)雜的接觸關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建模型來描述傳染病在超網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程.

圖1 超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的天津動車客車段職工新冠肺炎傳播過程示意圖

2 超網(wǎng)絡(luò)中的新冠肺炎傳播模型構(gòu)建

2.1 超網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造

現(xiàn)實中每條超邊包含的節(jié)點數(shù)量(超邊基數(shù))往往不是一個固定值[20]，如一個家庭關(guān)系超網(wǎng)絡(luò)中，每個家庭的成員數(shù)量可能是不相同的.因此，超邊基數(shù)服從某一分布，更具有現(xiàn)實意義[20].故本文構(gòu)建的超網(wǎng)絡(luò)模型為隨機(jī)超網(wǎng)絡(luò)，而非均勻超網(wǎng)絡(luò).一條超邊可以對應(yīng)于現(xiàn)實社會中的一戶家庭，可能是一次同學(xué)聚會，也可能是乘坐同一趟航班或同一趟拼車，那么，這趟同乘中的所有乘客就構(gòu)成了一條超邊.

借鑒文獻(xiàn)[29]中的構(gòu)建方法，本文的超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造步驟如下：

(1) 初始時，網(wǎng)絡(luò)中有m0個節(jié)點和包含這些節(jié)點的一條超邊.

2.2 傳播模型描述

根據(jù)新冠肺炎傳播和防治過程，可以將人群分為五種：易感者、密切接觸者、潛伏者、感染者、免疫者.易感者為可以被感染的健康人群；密切接觸者為同染病者(包含潛伏者和感染者)有過密切接觸的人群；潛伏者為已經(jīng)染病但是尚未表現(xiàn)出癥狀的人群；感染者為已經(jīng)染病并且表現(xiàn)出癥狀的人群；免疫者為表示已經(jīng)因為治愈并獲得免疫、被有效隔離、因病死亡等原因已經(jīng)不對流行病傳播產(chǎn)生影響的人群.將人群抽取為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，根據(jù)上述五類人群，節(jié)點具有對應(yīng)的五種狀態(tài)：易感態(tài)(S態(tài))、密切接觸態(tài)(C態(tài))、潛伏態(tài)(E態(tài))、感染態(tài)(I態(tài))、免疫態(tài)(R態(tài)).人們之間的關(guān)系就構(gòu)成了節(jié)點的連邊，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)采用2.1小節(jié)方法生成.

節(jié)點狀態(tài)的演化過程具體如下：

(1) 初始時，存在N0個處于I態(tài)的節(jié)點，N1個處于E態(tài)的節(jié)點，作為初始傳播節(jié)點，其余節(jié)點處于S態(tài).

(2) 在每一個時間步t，對于所有E態(tài)節(jié)點，當(dāng)Ti≥1時，選擇g條包含該節(jié)點的超邊，所選擇超邊包含的所有S態(tài)節(jié)點將轉(zhuǎn)變?yōu)镃態(tài)，其中有α的概率轉(zhuǎn)變?yōu)镋態(tài).E態(tài)節(jié)點隨著染病時間Ti的增加，有μ的概率發(fā)病，轉(zhuǎn)化為I態(tài)；否則，繼續(xù)處在E態(tài).其中，Ti表示節(jié)點i在E態(tài)的持續(xù)時間，即當(dāng)節(jié)點i從S態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镋態(tài)時，設(shè)置Ti=1；在下一個時間步，設(shè)置Ti=2，以此類推；當(dāng)節(jié)點從E態(tài)變?yōu)镮態(tài)時，將置Ti=0.

(3)I態(tài)節(jié)點有β的概率被隔離或治療，轉(zhuǎn)化為R態(tài)；否則繼續(xù)處于I態(tài)，隨機(jī)選擇一條包含該節(jié)點的超邊，所選擇超邊包含的所有S態(tài)節(jié)點將轉(zhuǎn)變?yōu)镃態(tài)，其中有α的概率轉(zhuǎn)變?yōu)镋態(tài).當(dāng)I態(tài)節(jié)點被隔離或治療時，其之前的密切接觸者有γ的概率將被隔離，進(jìn)入R態(tài).

(4)R態(tài)節(jié)點在以后的時間步中一直處于免疫態(tài)，不再對其余節(jié)點有影響，退出演化過程.

(5) 當(dāng)系統(tǒng)中不再存在E態(tài)和I態(tài)節(jié)點時，整個傳播過程結(jié)束.

由此，可以得到動力學(xué)模型如下：

(1)

Sk(t),Ck(t),Ek(t),Ik(t),Rk(t)分別表示t時步超度為k的易感態(tài)節(jié)點、密切接觸態(tài)節(jié)點、潛伏態(tài)節(jié)點、感染態(tài)節(jié)點、免疫態(tài)節(jié)點的相對密度，滿足歸一化條件Sk(t)+Ck(t)+Ek(t)+Ik(t)+Rk(t) = 1；ΘI(t)表示一個超度為k的易感節(jié)點通過一條超邊與一個感染態(tài)節(jié)點相連的概率；ΘE(t)表示一個超度為k的易感節(jié)點通過一條超邊與一個潛伏態(tài)節(jié)點相連的概率.對于度不相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，ΘI(t)的表達(dá)式[24]為

(2)

通過類似的計算方法，可得ΘE(t)的表達(dá)式為

(3)

圖2 SCEIR模型傳播機(jī)理圖

3 仿真分析

使用2.1小節(jié)中的構(gòu)造方法生成超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真實驗.為了去除仿真過程中的隨機(jī)性影響各參數(shù)下的仿真實驗均獨立重復(fù)運行500次.在某地區(qū)新冠肺炎暴發(fā)的初始時刻，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中有1個I態(tài)節(jié)點和4個E態(tài)節(jié)點，其余為S態(tài)節(jié)點.參數(shù)μ取值參照文獻(xiàn)[30]中潛伏期分布數(shù)據(jù).

3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)《中國家庭發(fā)展報告》，2012年居民家庭戶的平均規(guī)模為3.02人，1人戶數(shù)量和2人戶數(shù)量占全部家庭戶的40%[31].借鑒上述的統(tǒng)計信息，本文設(shè)置q1=0.34，q2=0.25，q3=0.15，q4=0.1，q5=0.08，q6=0.05，q7=0.02，q8=0.01.構(gòu)建超網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點為8，包含在一條超邊中.生成網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點規(guī)模為N= 10000，參數(shù)設(shè)置為h=2，m=1，計算得到節(jié)點超度的均值為7.34.所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)雙對數(shù)坐標(biāo)下的節(jié)點超度分布如圖3所示.所生成的網(wǎng)絡(luò)中，大部分節(jié)點的接觸次數(shù)較少，僅僅少部分的節(jié)點具有較多的接觸次數(shù).真實世界中人類接觸網(wǎng)絡(luò)具有小世界和無標(biāo)度特性[32]，從圖3中可以看出本文構(gòu)建超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點超度符合冪律分布，本文構(gòu)建的超網(wǎng)絡(luò)可以較好地描述人類的接觸模式.

3.2 傳染率α對傳播范圍的影響

傳染率α對終態(tài)時累計感染人數(shù)的影響作用，如圖4所示.從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，隨著傳染率的增大，最終感染的總?cè)藬?shù)也逐漸增大.網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點超度的均值為7.34，代表著每個節(jié)點平均可能有7.34次的接觸次數(shù).參數(shù)d對應(yīng)含義為實際產(chǎn)生的密切接觸次數(shù)，當(dāng)d的取值越大時，說明出行管控越松散，反之則出行管控越嚴(yán)格.從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，終態(tài)感染總?cè)藬?shù)隨著d值的增大而增多，說明出行管控力度對最終的感染人數(shù)具有重要的影響作用，出行管控越嚴(yán)格，最終的感染人數(shù)越少.這與文獻(xiàn)[33]的結(jié)果相吻合，文獻(xiàn)[33]的研究表明暫停城市內(nèi)公共交通，關(guān)閉娛樂場所和禁止公共聚會與總體控制該流行病有關(guān).在其他參數(shù)相同的情況下，對比γ= 0.5和0.8，隨著γ的增加，終態(tài)感染總?cè)藬?shù)逐漸減少，即加大密切接觸者的隔離力度時，累計感染總?cè)藬?shù)逐漸減少.

圖3 節(jié)點超度分布圖

圖4 傳播率α對累計感染人數(shù)的影響(β=0.5)

3.3 參數(shù)β對傳播范圍的影響

參數(shù)β表示傳染態(tài)節(jié)點被治療或隔離的概率，其對累計感染人數(shù)的影響作用，如圖5所示.為簡化起見，在本文中傳染態(tài)節(jié)點一旦被治療或隔離，將其設(shè)置為免疫態(tài)，其將不能再傳染其他人.從圖5可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)β的增大，累計感染人數(shù)逐漸減少.當(dāng)β值較小時，累計感染人數(shù)下降幅度較大.特別值得注意的是，隨著β值增大到一定程度，即當(dāng)β> 0.7時，終態(tài)的累計感染人數(shù)下降幅度不再顯著.這說明在醫(yī)療資源有限的情況下，可以選擇將部分輕癥患者居家隔離.當(dāng)參數(shù)取值β= 0.95，α= 0.8，γ= 0.9時，最終累計感染人數(shù)值為57，占總?cè)藬?shù)的比例為5.7‰，說明即使病毒有很強的傳染能力，對感染病人和其密切接觸者的隔離控制力度較強時，最終的傳播范圍也是較小的.

3.4 密切接觸者被隔離概率γ對傳播范圍的影響

密切接觸者被隔離概率γ表示密切接觸者被隔離力度，其值越大，表示隔離力度越強.密切接觸者被隔離概率γ對累計感染人數(shù)的影響曲線，如圖6所示.隨著密切接觸者被隔離概率γ的增大，累計感染人數(shù)逐漸減少.當(dāng)參數(shù)α，β有不同的取值時，曲線展現(xiàn)出相同的變化趨勢.對比參數(shù)α= 0.5，β= 0.2和α= 0.8，β= 0.6取值時的曲線可以發(fā)現(xiàn)，兩條曲線幾乎重合，說明當(dāng)病毒的傳染性較弱時，對密切接觸者采取的隔離力度可以相應(yīng)地降低.圖6的結(jié)果表明，感染態(tài)節(jié)點的密切接觸者更有可能被感染態(tài)節(jié)點傳染，其進(jìn)而傳染給其他節(jié)點，故密切接觸者的追溯和隔離對傳染病的傳播具有重要的影響.

圖5 參數(shù)β對累計感染人數(shù)的影響(d=1)

圖6 隔離概率γ對累計感染人數(shù)的影響(d=1)

3.5 隔離措施對傳播時間的影響

圖7 參數(shù)傳播β和γ對持續(xù)時間的影響(α=0.8，d=1)

傳染態(tài)節(jié)點被治療或隔離的概率β和密切接觸者被隔離概率γ對傳播持續(xù)時間的影響，如圖7所示(傳播時間的單位為2.2小節(jié)模型中的時步).隨著β和γ的不斷增大，傳播持續(xù)時間逐漸減小.說明對感染者和其密切接觸者的隔離措施，可以減小疾病的最終傳播持續(xù)時間.當(dāng)參數(shù)取值為α=0.5，β=0.1，γ=0.05時，傳播持續(xù)時間有最大值，為56個時步.說明對于傳播性極強的傳染病，如果隔離管控措施極弱時，預(yù)計將有兩個月的傳播期(這里假設(shè)每個時步為一天).當(dāng)參數(shù)取值為β=0.9，γ=0.05時，傳播持續(xù)時間為17.67個時步；當(dāng)參數(shù)取值為β= 0.9，γ= 0.95時，傳播持續(xù)時間有最小值，為7.43個時步.值得注意的是，傳播持續(xù)時間最小值取值情況，對應(yīng)于傳染病在某地暴發(fā)的初期即采取最高等級的防疫措施，這種情況一般出現(xiàn)在某地尚未暴發(fā)，而其他地方已經(jīng)暴發(fā)一段時間，已經(jīng)得到人們的廣泛重視.

4 結(jié)論

針對新冠肺炎傳播和控制問題，本文使用超網(wǎng)絡(luò)來構(gòu)建社會接觸網(wǎng)絡(luò)，采用SCEIR模型并考慮潛伏期的持續(xù)時間和密切接觸者的隔離，構(gòu)建了一種基于超網(wǎng)絡(luò)的新冠肺炎傳播模型，研究影響傳染病傳播的主要因素.仿真結(jié)果表明：出行管控措施越嚴(yán)格，最終的感染人數(shù)越少；隨著傳染態(tài)節(jié)點被治療或隔離的概率增大，累計感染人數(shù)逐漸減少，但當(dāng)其增大到一定程度時，累計感染人數(shù)下降幅度不再顯著，說明醫(yī)療資源有限的情況下，可以選擇將部分輕癥患者居家隔離；對感染者和其密切接觸者的隔離措施，可以減少疾病的最終傳播持續(xù)時間.

本文模型可以較好地模擬局部地區(qū)的新冠肺炎傳播情形.當(dāng)病毒的傳染性較強時，對密切接觸者的隔離力度需要較大；當(dāng)病毒的傳染性較弱時，對密切接觸者采取的隔離力度可以相應(yīng)地降低.本文的工作有助于深入理解新冠肺炎的傳播規(guī)律，構(gòu)建的超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是靜態(tài)結(jié)構(gòu)，相對于實際情況還有一定的局限性，在未來的研究中將構(gòu)建更加符合實際情況的社會接觸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來模擬傳染病的傳播情況.同時，在傳染病實際救治過程中，可能會由于病人過多，存在醫(yī)療資源嚴(yán)重匱乏等問題，這也需要在未來研究中優(yōu)化.

說明：本文研究針對2022年11月之前的數(shù)據(jù)，故在文字描述上仍采用新型冠狀病毒肺炎(新冠肺炎)，未采用國家衛(wèi)健委2022年12月26日的更名——新型冠狀病毒感染.