馬敬武 謝建明 王 偉 謝紅太

（1.華設(shè)設(shè)計集團(tuán)股份有限公司， 南京 210014；2.四川大學(xué)， 成都 610065）

既有鐵路曲線整正是鐵路工務(wù)部門維修作業(yè)中的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容。曲線整正可使軌道結(jié)構(gòu)保持標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，但列車運(yùn)行中不可避免的輪軌碰撞使得軌道結(jié)構(gòu)位置發(fā)生了變化，尤其線路曲線段的變化嚴(yán)重威脅著列車的運(yùn)行安全。鐵路運(yùn)營維護(hù)中，曲線整正方法主要包括繩正法、偏角法和坐標(biāo)法［1-2］。繩正法用于鐵路日常維修，但易出現(xiàn)鵝頭問題；偏角法用于鐵路大中修，行車干擾較大；坐標(biāo)法用于提速鐵路大中修，精度高，不受行車干擾［3-4］。

近些年，很多學(xué)者對既有鐵路曲線整正做了諸多研究，主要包括：劉鑫提出既有鐵路曲線線性約束和非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化曲線整正研究，使得曲線整正約束條件和目標(biāo)函數(shù)更精確、合理和科學(xué)［5-6］；丁克良等利用最小二乘平差法，根據(jù)鐵路線路特征及曲線整正要求，提出基于曲線平差法的數(shù)學(xué)模型計算曲線撥道量［7］；王保成等根據(jù)既有無縫線路提速后曲線整正的實(shí)際要求以及保證撥正前后軌道長度不變，提出利用測點(diǎn)坐標(biāo)直接進(jìn)行無縫線路曲線整正的方法［8］；楊輝等考慮了規(guī)范約束和控制點(diǎn)約束，基于罰函數(shù)的思想將曲線整正非線性約束轉(zhuǎn)化為無約束問題，建立曲線整正最優(yōu)化模型［9］；秦方方等分析了擬合既有鐵路平面線形時產(chǎn)生的主要誤差，依據(jù)逆向重構(gòu)理論，提出基于三次樣條曲線的鐵路既有曲線整正方法；劉永孝等基于坐標(biāo)法的漸伸線誤差分析研究提出，曲線任意點(diǎn)撥距可通過對曲線測點(diǎn)沿徑向到撥后設(shè)計曲線的距離來計算，該方法能夠修正控制點(diǎn)的約束條件以達(dá)到約束條件對控制點(diǎn)撥距的限制；劉文濤等利用最小二乘法求得初始半徑及緩和曲線長，但計算數(shù)據(jù)較大且圓曲線長度較難確定［10-11］；繆鹍等針對鐵路既有曲線整正，提出基于PSO的既有線曲線整正方法，解決了現(xiàn)有計算中曲線線形參數(shù)初始值識別過程復(fù)雜的問題［12］。

本文在分析了傳統(tǒng)曲線整正組成約束條件不足和曲線整正改變軌道幾何長度造成的無縫線路鎖定軌溫變化［13］等基礎(chǔ)上，提出了一種鐵路既有曲線混合約束非線性最優(yōu)化整正的研究方法。

1 鐵路線形概略分段

鐵路標(biāo)準(zhǔn)線形由直線、緩和曲線和圓曲線組成。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，鐵路檢測維修和養(yǎng)護(hù)技術(shù)也隨之提高。軌檢車作為重要的檢測手段，成為判斷軌道質(zhì)量狀態(tài)的重要工具。合理利用軌檢車數(shù)據(jù)，并依此指導(dǎo)現(xiàn)場作業(yè)，對保持軌道良好狀態(tài)水平十分重要。姚連璧等利用三次樣條函數(shù)，將所有測點(diǎn)擬合成一條曲線，并計算各測點(diǎn)的曲率，通過穩(wěn)健估計法在曲率圖上進(jìn)行鐵路線形的識別［14］；石培澤采用十一點(diǎn)曲率法得到測點(diǎn)近似曲率，按照設(shè)定閾值識別主點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)主點(diǎn)坐標(biāo)位置劃分既有線路各點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)線形的粗略分段［15］。

分析軌檢車數(shù)據(jù)，為進(jìn)一步探究測點(diǎn)的準(zhǔn)確性和適用性，用曲率變化率進(jìn)行定量說明。曲率變化率示意如圖1所示，對其中超過管理限值的點(diǎn)進(jìn)行處理［16］，可獲得符合線形要求的曲率圖。由曲率圖概略反應(yīng)直線、緩和曲線和圓曲線等鐵路線形參數(shù)，如圖2所示，oa和de段為直線段，ab和cd段為緩和曲線，bc段為圓曲線段。

圖1 曲率變化率示意圖

圖2 曲率示意圖

2 計算初始值

2.1 計算初始圓心和半徑

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，按照3點(diǎn)定圓，在曲率梯形圖bc段取n + 2個點(diǎn)，可以確定n個圓心，再把圓心依次連接，組成1個n邊形，n邊形的幾何重心就是要求的初始圓心。選取n邊形某一點(diǎn)為頂點(diǎn)，將其分成n - 2個不交叉重疊的三角形，如圖3所示。設(shè)圓心o1，o2，…，on的坐標(biāo)分別為（p1，q1），（p2，q2），…，（pn，qn），o1為頂點(diǎn)，則n邊形幾何重心坐標(biāo)（也即為初始圓心坐標(biāo)）為：

圖3 n邊形幾何重心示意圖

初始半徑R為：

2.2 計算初始緩和曲線長度

單曲線線形要素示意如圖4所示，p1，p2是內(nèi)移距，當(dāng)圓心和半徑確定，內(nèi)移距即可確定。

圖4 單曲線線形要素示意圖

3 曲線整正優(yōu)化方法

3.1 設(shè)計變量

參照圖4 在前直線段上選取 A（xA，yA）、B（xB，yB）兩點(diǎn)，后直線段上選取 C（xC，yC）、D（xD，yD）兩點(diǎn)，則偏角對于特定的曲線，前后直線不變，則偏角α不變。經(jīng)分析研究，不同的緩和曲線長度和半徑，對應(yīng)的撥道量不同，所以本次設(shè)計l01、R、l02為變量，即X→= （l01，R，l02）T。

3.2 約束條件

在保證曲線偏角α不變的基礎(chǔ)上，綜合考慮的約束條件有：

（1）起、終點(diǎn)撥道量為0。

（2）軌道幾何長度保持不變。

（3）橋、隧等大型構(gòu)筑物控制點(diǎn)位置撥道量小于規(guī)定的限值。

（4）曲線半徑和緩和曲線長度滿足TB 10098 -2017《鐵路線路設(shè)計規(guī)范》和TG／GW102 - 2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》的規(guī)定，曲線半徑取整，緩和曲線長度為10 m整倍數(shù)。

針對上述約束條件，設(shè)約束方程表達(dá)式為：

式中：H、G——基本約束矩陣，H→=（h1，h2，…，hm）、

→G→=（g1，g2，…，gn）；

→m和n——基本約束個數(shù)；

→X——設(shè)計變量；

→W——基本約束矩陣中的設(shè)計允許值，W→=（w1，w2，… wm）T；

→L——曲線長度。

式中：w1、w2、w3——規(guī)范中對應(yīng) l01、R、l02的最小允許值；

w4、w5、w6——規(guī)范中對應(yīng) l01、R、l02的最大允許值的負(fù)值；

w7——規(guī)范中圓曲線長度的最小允許值。

3.3 目標(biāo)方程

以撥道量的平方和最小為目標(biāo)，即

式中：D——N個分量的向量函數(shù)，其分量di（X）是分片函數(shù)的子式。

綜上，可得曲線整正優(yōu)化計算模型：

由式（9）可得，該計算模型為含有不等式和等式混合線性約束的非線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化模型。

3.4 目標(biāo)方程求解

利用可行方向法求解本文計算模型。如果式（9）存在非零向量dk同時滿足Gdk= 0，則dk是X處的可行下降方向。設(shè)Xk為可行域中的可行點(diǎn)，從Xk出發(fā)，沿dk作一維搜索，得后繼迭代點(diǎn)Xk+1= Xk+λkdk，為保證Xk+1的可行性，進(jìn)而求解式（10）帶約束的一維最優(yōu)化問題。

本節(jié)課的讀中活動，教師有意識地指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用閱讀技能分析特定段落，提高學(xué)生解讀英語篇章組織結(jié)構(gòu)的能力，將其遷移到寫作中，做到了“讀中有寫”。

具體計算步驟如下：

（1）初始值 X0，令 k→= 0，允許誤差ε＞ 0。

（2）根據(jù)Xk處的起作用約束，把H分解為H1和H2，W分解為W1和W2，使得 H1TXk=W1，H2TXk=W1，計算

（3）求解式（11）最優(yōu)解 dk：

按式（12）求出λmax；求解最優(yōu)解λk，令 Xk+1= Xk+λkdk， k→= k + 1，返回步驟（2）。

3.5 計算流程

本文模型計算流程如圖5所示。

圖5 計算流程示意圖

4 實(shí)例驗(yàn)證

本文模型在蘭新鐵路大中修中得以應(yīng)用驗(yàn)證。蘭新鐵路，東起甘肅省蘭州市，途經(jīng)萬里長城西端嘉峪關(guān)，西至新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，全長2 423 km。其中蘭州至嘉峪關(guān)段全線為雙線電氣化鐵路，嘉峪關(guān)至烏魯木齊段為單線電氣化鐵路。

以蘭新鐵路K 109 + 280～K 109 + 820段為例，曲線偏角α= 10.6°（左偏），半徑R = 2 000 m，緩和曲線長度L0= 160 m，沿線經(jīng)過1座小橋和1座中橋，橋頭橋尾可作為撥道量控制點(diǎn)位置。首先利用軌檢車采集坐標(biāo)數(shù)據(jù)，軌檢車數(shù)據(jù)里程相對于現(xiàn)場實(shí)際里程會有一定的飄移，但在計算中，每次迭代計算都是某一點(diǎn)或者一小段的計算，對計算結(jié)果影響不大［18］。隨后利用計算機(jī)程序設(shè)計語言Python進(jìn)行自主編程計算最優(yōu)撥道量。

4.1 計算交點(diǎn)坐標(biāo)和偏角

計算交點(diǎn)坐標(biāo)和偏角如表1所示。

表1 交點(diǎn)坐標(biāo)和偏角表

4.2 計算初始圓心坐標(biāo)、半徑和緩長

計算初始圓心坐標(biāo)、曲線半徑和緩和曲線長度如表2所示。

表2 初始圓心坐標(biāo)、半徑和緩長表

4.3 計算撥道量并優(yōu)化

表3 間隔20m測點(diǎn)坐標(biāo)及撥道量表

5 結(jié)論

（1）為了使得軌道幾何長度在撥道前后不變，可以將其長度作為約束條件，可以滿足半徑和緩長取整的要求。

（2）相比于傳統(tǒng)撥道量，優(yōu)化后的撥道量結(jié)果明顯較好，表明該模型具有較好的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性。

（3）本文模型約束條件均來源于TB 10098 - 2017《鐵路線路設(shè)計規(guī)范》、TG／GW 102 - 2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》，所以該方法適用于客貨共線、重載鐵路以及鐵路大提速既有曲線整正。