黃清鈿

（大田縣第五中學(xué)，福建 大田 366100）

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對某一章節(jié)的知識點掌握較好，但離開這一章節(jié)，換一種知識“環(huán)境”后，卻不能很好地運用這一章節(jié)的知識點。究其原因，是學(xué)生把所學(xué)的知識變成了惰性知識。惰性知識是指儲存在學(xué)生腦中的那些知識，學(xué)生只是知道它，并且頑固地在某個單元或者某節(jié)課里待著，不能深刻地理解運用這些知識，難以在不同單元，不同學(xué)科里進行知識遷移。［1］當(dāng)這些知識離開學(xué)生當(dāng)時學(xué)習(xí)的“環(huán)境”時，就顯得更加“懶惰”而停留在那個“環(huán)境”里，甚至被學(xué)生遺忘。學(xué)生的惰性知識極大地影響了數(shù)學(xué)解題能力的提高。于此，教師需用大概念思維指導(dǎo)學(xué)生閱讀，進行關(guān)聯(lián)導(dǎo)學(xué)、變式教學(xué)和單元教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生的專家思維，并基于專家思維激活學(xué)生數(shù)學(xué)惰性知識，從而提高學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)用好數(shù)學(xué)的能力。

一、惰性知識形成原因分析

（一）因?qū)W生的惰性閱讀而形成

惰性閱讀是指瀏覽性、了解性地閱讀。教師布置學(xué)生閱讀課文，一些學(xué)生便走馬觀花似地閱讀一遍課文，既沒有做筆記，也沒有提問題和對閱讀內(nèi)容進行思考，更沒有做相應(yīng)的練習(xí)題。通過這種惰性閱讀所獲取的知識就是惰性知識。高中數(shù)學(xué)是一門抽象性、邏輯性、思維性很強的學(xué)科，學(xué)生若采用惰性閱讀的方式進行學(xué)習(xí)，則數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較難獲得提升，這也是許多學(xué)生對高中數(shù)學(xué)難以自學(xué)成功的原因。學(xué)生在閱讀高中數(shù)學(xué)課本時，知道課本里講什么，有什么，但是卻不懂得怎么應(yīng)用所閱讀的內(nèi)容，這說明學(xué)生的閱讀是惰性閱讀。

（二）因教師的“教教材”而形成

教材是教師教學(xué)的重要資源，需要教師創(chuàng)造性地使用，而不是一味地教教材。事實上許多教師唯教材至上，認為教材里有的內(nèi)容就應(yīng)該不折不扣地傳授給學(xué)生，而成為“教教材”的忠實執(zhí)行者，教師的教學(xué)方法近似于“照本宣科”。

1.機械地照搬教材的內(nèi)容

這類教師課堂所教的內(nèi)容完全按教材編寫的內(nèi)容傳授給學(xué)生，沒有整合，沒有聯(lián)系，沒有變式，學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容是“死”的，自然成為惰性知識，一旦情境改變或表達方式改變了，就無法將所學(xué)內(nèi)容提取出來應(yīng)用。

例如，教余弦定理，有教師只是將余弦定理的內(nèi)容全盤托出：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。

教師講解完余弦定理，學(xué)生可能會理解，甚至能背誦這個定理，但是不能靈活應(yīng)用。如果已知兩邊及其夾角求第三邊，學(xué)生可以直接用這個定理解決問題；如果已知兩邊和其中一邊所對的角，求第三邊，學(xué)生可能不懂得同樣可用這個定理解決問題。這是因為學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容一旦成為惰性知識，就很難靈活地應(yīng)用。

2.孤立地施教知識點內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)每個知識點都不是孤立的，它必與其他知識相關(guān)聯(lián)，但在教學(xué)實踐中將所教知識點孤立地施教的現(xiàn)象并不少見。教師將課本中的知識點獨立地進行教學(xué)，按課本的引例介紹這個知識點的來源，然后講解這個知識點的內(nèi)容，最后按課本的例題進行舉例應(yīng)用。這樣的教學(xué)，學(xué)生對所學(xué)的知識點可以理解，對課后練習(xí)也可模仿例題解法而完成。但是，如果離開了本章本節(jié)內(nèi)容，在期末考或其他綜合考試中，考查這個知識點時，一些學(xué)生就“傻眼”了，不知道要用這個知識點，甚至已經(jīng)將這個知識點遺忘。這是因為教師孤立地教某一知識點，學(xué)生所學(xué)的知識就成了惰性知識，這些知識一旦離開它當(dāng)時出現(xiàn)的“環(huán)境”，就很難被調(diào)出來應(yīng)用。

例如，冪函數(shù)一節(jié)的教學(xué)，孤立知識點的教法是按課本的內(nèi)容進行施教：先引入五個實例，列出五種函數(shù)關(guān)系式，然后講解冪函數(shù)y=xα的概念和α＝1，2，3，，-1 時冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，最后講解課本中的例題。這種教法學(xué)生所學(xué)的冪函數(shù)知識很容易形成惰性知識，學(xué)生對冪函數(shù)的理解可能只局限在α＝1，2，3-1 這五種情況，當(dāng)α等于其他值時可能就不知所措，如比較的大小就時不會解。

二、用大概念思維激活學(xué)生惰性知識的有效途徑探析

浙江大學(xué)劉徽教授認為，惰性知識的產(chǎn)生常常因為學(xué)生記住的僅僅是書本上所寫的“專家結(jié)論”，而沒有通過這種“專家結(jié)論”掌握背后的專家思維。因此，要激活學(xué)生惰性知識就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會專家思維。專家思維就是能對所學(xué)的知識進行管理，把所學(xué)的定義、定理、法則、公式等知識圍繞若干大概念彼此聯(lián)系形成一個網(wǎng)絡(luò)，在具體運用到某一知識點時自然會關(guān)聯(lián)到相關(guān)的知識點，使每個知識點活起來。其中大概念是指“能反映學(xué)科本質(zhì)，能夠聯(lián)結(jié)和統(tǒng)領(lǐng)零散知識點，處于更高層次、居于中心地位、藏于更深層次，能長久保留和廣泛遷移的原理、思想、方法等”。［1］

（一）以大概念思維指導(dǎo)學(xué)生閱讀

高中數(shù)學(xué)新教材第一冊（人教版2019 年6 月第1版）的主編寄語對學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)建議“采取閱讀自學(xué)、獨立思考、實踐探究、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式”。其中閱讀教材是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的重要方式，但是，如果閱讀方法不當(dāng)就容易將閱讀內(nèi)容轉(zhuǎn)化為惰性知識，學(xué)生很難學(xué)好高中數(shù)學(xué)。要讓學(xué)生的閱讀內(nèi)容不至于形成惰性知識，可用大概念思維指導(dǎo)學(xué)生閱讀。一是教師在布置閱讀任務(wù)時要引導(dǎo)學(xué)生尋找閱讀內(nèi)容中的大概念，通過這個大概念組織所要閱讀的內(nèi)容，模仿專家思維，從整體、關(guān)聯(lián)角度將所學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，促使學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行思考分析，形成活性知識。二是要指導(dǎo)學(xué)生做筆記，在大概念導(dǎo)向下，能將學(xué)習(xí)內(nèi)容畫成知識結(jié)構(gòu)圖，提出思考性問題，并通過閱讀教材內(nèi)容進行解決。三是嘗試完成教材中的例題、課后練習(xí)題，通過練習(xí)進一步激活所獲取的知識。

例如，等差數(shù)列一節(jié)，課本陳述了等差數(shù)列的概念及其通項公式、等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列應(yīng)用舉例。如果沒有指導(dǎo)學(xué)生怎么閱讀，學(xué)生將教材內(nèi)容閱讀一兩遍后，可能懂得什么叫等差數(shù)列，它的通項公式是什么，是特殊的一次函數(shù)，會解決基本的等差數(shù)列通項公式問題。顯然這樣學(xué)習(xí)的深度是不夠的，所學(xué)的內(nèi)容容易形成惰性知識。如果用大概念思維指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，則能促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。本節(jié)的大概念便是一次函數(shù)，可將一次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法遷移到本節(jié)內(nèi)容，讓學(xué)生站在更高的站位來學(xué)習(xí)等差數(shù)列。學(xué)習(xí)一次函數(shù)主要內(nèi)容是定義、解析式、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。為此可為學(xué)生提供以下閱讀提綱：

1.如何定義等差數(shù)列？如果等差數(shù)列的第n項用f(n)表示，那么f(n+1) -f(n)的結(jié)果是什么？

2.怎樣表示等差數(shù)列的通項公式？等項數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)如何對應(yīng)？

3.一次函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)可用待定系數(shù)法求k、b的值，如何用待定系數(shù)法思想求等差數(shù)列通項公式中相關(guān)的量an、a1、n、d？

在一次函數(shù)這個大概念的導(dǎo)向下，學(xué)生用一次函數(shù)的觀點來閱讀教材，把等差數(shù)列看成是特殊的一次函數(shù)，有熟悉的“背景”，又有特殊的內(nèi)容，讓學(xué)生閱讀時感到熟悉又不得不思考，使“死”的知識“活”起來。

（二）以大概念思維“用教材教”

1.“用教材教”要關(guān)注知識的整體性和關(guān)聯(lián)性

在教學(xué)中聽到一些教師說學(xué)生“上課聽得懂，但作業(yè)難完成”。究其原因是教師的教學(xué)缺乏整體性和關(guān)聯(lián)性，就教學(xué)內(nèi)容進行“教教材”而不是“用教材教”，所教的內(nèi)容是孤立的，學(xué)生聽得懂，但容易形成惰性知識，不能很好地用所學(xué)的內(nèi)容解決問題。大概念思維的“用教材教”則充分運用知識的整體性、關(guān)聯(lián)性。［2］即在教學(xué)某一知識點時，尋找該知識點更大的整體背景，提取相應(yīng)的大概念，然后聯(lián)系本知識點相關(guān)、相似、相異的內(nèi)容進行融合教學(xué)，讓這個知識點成為“知識線”或“知識面”，以便更好地記憶和運用。

例如，對數(shù)函數(shù)一節(jié)，如果按課本編寫順序教學(xué)，教完對數(shù)函數(shù)的概念后，講對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再講相應(yīng)的例題，最后講不同函數(shù)增長的差異。這樣，學(xué)生或許能聽得懂，但因為被動接受知識，缺少經(jīng)過大腦的思考加工，所獲取的知識是幾個“點”，是“死的”，而課后的作業(yè)往往需要相關(guān)的“知識線”或“知識面”方可解決，學(xué)生所獲得的知識“點”難以解決作業(yè)中所需要的“知識線”或“知識面”，于是便出現(xiàn)了“上課聽得懂，作業(yè)難完成”的現(xiàn)象。用大概念思維教學(xué)，則可將所要學(xué)的“知識點”與相關(guān)的“知識線”或“知識面”有機地聯(lián)系起來，使“知識點”轉(zhuǎn)化為“知識線”或“知識面”。對數(shù)函數(shù)一節(jié)的大概念是函數(shù)及其關(guān)聯(lián)函數(shù)。研究函數(shù)常從八大方面研究：解析式、定義域、值域、圖象、奇偶性、單調(diào)性、特殊點、最值，對數(shù)函數(shù)也可從這八個方面研究；對數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)。因此，本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)可以設(shè)計以下學(xué)習(xí)提綱引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。

（1）閱讀教材，列表分別寫出以下四個函數(shù)的定義域、值域、圖象、奇偶性、單調(diào)性、特殊點、最值，并比較這些函數(shù)的增長速度：y=2x，y=x2，y=2x，y=log2x。

（2）對比函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象及定義域、值域，說明什么是反函數(shù)。

（3）觀察函數(shù)y=log2x與y=圖象，說明兩函數(shù)的關(guān)系及實際運用。

（4）對數(shù)函數(shù)y=logax，當(dāng)a＝4，3，2 時，在同一直角坐標(biāo)系上分別畫出它們的圖象，觀察這些圖象的變化情況，你可得出什么結(jié)論？

（5）利用函數(shù)圖象求下列不等式中實數(shù)a的取值范圖

學(xué)習(xí)提綱立足于函數(shù)大概念，將相近相似相異的函數(shù)聯(lián)系在一起學(xué)習(xí)，使本節(jié)“知識點”轉(zhuǎn)化為“知識面”，促進學(xué)生思考探究，體驗深度學(xué)習(xí)的快樂，較大地提高學(xué)習(xí)效率。

2.“用教材教”要重視變式教學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，“用教材教”離不開變式教學(xué)。［3］就題講題很容易把學(xué)生“教死”，一題多變，一題多解能讓學(xué)生開拓思維，舉一反三，做到“學(xué)一題，會一類”。如果變式教學(xué)只是換換題目中的數(shù)字或沒有目的地換一個相近的題目，則得不到“變式”的效果。用大概念思維進行變式教學(xué)，則是從學(xué)生的思維廣度和深度出發(fā)對題目進行變式，它帶有目的性。為了擴大復(fù)習(xí)面可以以點帶面進行變式；為了鞏固解題方法，可以從思想方法上進行變式；為了加大深度，可以從綜合上進行變式。

例如，求函數(shù)y=的定義域。這是新教材人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第四章4.2 指數(shù)函數(shù)一節(jié)的課后習(xí)題。教師在講評此題時如果只是講解如何求其定義域，那么學(xué)生所復(fù)習(xí)的知識就局限在指數(shù)函數(shù)，題目變化后可能就無從下手了。這種就題講題的習(xí)題教學(xué)方法，很難激活學(xué)生的惰性知識，解題能力得不到較好的提高。用大概念思維的習(xí)題教學(xué)則站在知識整體的高度，用變式聯(lián)系相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生活學(xué)活用所學(xué)的知識點。本題雖然是指數(shù)函數(shù)中的一個小題，但指數(shù)函數(shù)的大概念是函數(shù)，教學(xué)時可將指數(shù)函數(shù)與函數(shù)有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來進行變式教學(xué)，讓學(xué)生腦中的“指數(shù)函數(shù)”活起來。課堂上在講解本題后，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試完成如下變式題后進行教學(xué)，以復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其知識點的關(guān)聯(lián)應(yīng)用。

第一組：為擴大復(fù)習(xí)面進行變式

（1）求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，并判斷它的奇偶性。

（2）求函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間，并求出其值域。

（3）已知定義在區(qū)間［-1，1］上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)=，求f(x)在區(qū)間［-1，1］上的解析式。

第二組：為鞏固思想方法進行變式

第三組：為加大深度進行變式

以上三組變式題，第一組復(fù)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)聯(lián)的函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、值域等內(nèi)容；第二組運用了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，強化學(xué)生的解題技能；第三組每題均引入?yún)?shù)，增加題目難度，綜合性更強，可促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

（三）以大概念思維貫通離散的知識點

單元教學(xué)是當(dāng)前倍受歡迎的一種教學(xué)方式，它能加強學(xué)生對章節(jié)內(nèi)容的宏觀把握和整體認識，厘清知識的形成過程，形成知識結(jié)構(gòu)，梳理知識關(guān)系，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。［4］但實際教學(xué)中一些教師將單元教學(xué)理解成“先總后分，知識點相加”的教學(xué)。即先對整個單元的內(nèi)容作總體介紹，然后分別對每個知識點進行施教。這種單元教學(xué)實際是一種化整為零的教學(xué)方法，難以建立知識間的聯(lián)系，是知識點的累加，容易導(dǎo)致學(xué)生認知的碎片化，形成惰性知識。用大概念思維的單元教學(xué)則是先提取單元大概念并以該大概念為錨點組織單元教學(xué)。［5］即首先用所提取的單元大概念統(tǒng)攝與組織教學(xué)內(nèi)容，將離散的知識點聯(lián)系起來，建立邏輯知識結(jié)構(gòu)；其次圍繞大概念搭建核心觀點框架并將大概念細化為幾個次級概念，用這些次級概念聯(lián)系以前所學(xué)的知識點進行教與學(xué)的活動；最后是教師以專家的身份指導(dǎo)學(xué)生完成教師所設(shè)計的導(dǎo)學(xué)問題并進行答疑解惑。

例如，數(shù)列單元用大概念思維進行單元教學(xué)，首先是提取本單元的大概念“函數(shù)”。數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以借助函數(shù)的研究路徑來學(xué)習(xí)數(shù)列，即引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)角度看數(shù)列，類比函數(shù)的“定義-表示法-性質(zhì)”的研究路徑學(xué)習(xí)數(shù)列的三種表示法；類比從一般函數(shù)到特殊函數(shù)的研究順序并沿用函數(shù)“事實-概念-性質(zhì)-應(yīng)用”的研究路徑學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列。其次，將大概念“函數(shù)”細化為幾個次級概念，例如用函數(shù)的表示法對應(yīng)數(shù)列的表示法，用一次函數(shù)對應(yīng)等差數(shù)列的通項公式，用二次函數(shù)對應(yīng)等差數(shù)列前n 項和，用指數(shù)函數(shù)對應(yīng)等比數(shù)列的通項公式。這些次級概念既聯(lián)系數(shù)列相關(guān)知識點又聯(lián)系函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容和方法，讓本單元內(nèi)容融入更大范圍的一個整體之中。最后，教師設(shè)計單元教學(xué)的導(dǎo)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生先學(xué)，之后教師根據(jù)學(xué)生存在的問題進行施教。數(shù)列這一單元可以設(shè)置以下導(dǎo)學(xué)問題：

1.回顧函數(shù)的概念、三種表示法、性質(zhì)的研究過程，閱讀課本類比學(xué)習(xí)數(shù)列的概念、三種表示法、性質(zhì)。畫出函數(shù)f(x)=x2+2x圖象和數(shù)列an=n2+2n的圖象，并說明數(shù)列是特殊的函數(shù)；f(x1)+f(x2)+… +f(xn)與a1+a2+…an有何區(qū)別，并說明an與前n項和Sn的關(guān)系。

2.如何定義等差數(shù)列？一次函數(shù)f(x)=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)，與等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d如何對應(yīng)？數(shù)列{nk+b}是等差數(shù)列嗎？若是，其首項、公差分別是什么？

3.畫出等差數(shù)列通項公式f(x)=dx+(a-d)的圖象，當(dāng)x=p、q、s、t（均為正整數(shù)），且p+q=s+t時，根據(jù)梯形中位線定理說明ap、aq、as、at之間的關(guān)系。

4.等差數(shù)列的前n 項和公式如何與二次函數(shù)對應(yīng)？課本例題9（2020 年5 月人教版選擇性必修第二冊第23 頁）如何利用二次函數(shù)求最值的方法求解？

5.如何定義等比數(shù)列？等比數(shù)列如何與指數(shù)函數(shù)對應(yīng)？參照學(xué)習(xí)等差數(shù)列的方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列。

數(shù)列的單元教學(xué)始終貫穿著函數(shù)的思想，以上導(dǎo)學(xué)問題用以引領(lǐng)學(xué)生用函數(shù)的思想進行學(xué)習(xí)，具體到某一節(jié)課的學(xué)習(xí)還需分解出相應(yīng)的子問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系前后內(nèi)容，將數(shù)列相關(guān)知識點與函數(shù)相關(guān)知識點類比學(xué)習(xí)，教師以專家身份進行指導(dǎo)解惑，從而逐步完成單元教學(xué)任務(wù)。