劉鐔鎂 ,陳省江

（1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 福州 350117；2.寧德師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,福建 寧德 352100）

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)f為在復(fù)平面上的亞純函數(shù).對(duì)于亞純函數(shù)f,假定讀者能夠熟練運(yùn)用Nevanlinna 值分布理論的基本記號(hào)和結(jié)論,如m(r,f),N(r,f),T(r,f),S(r,f),以及函數(shù)f的增長(zhǎng)級(jí)ρ(f)等[1-2].許多專(zhuān)家探討了有關(guān)復(fù)微分-差分方程的有限級(jí)超越整函數(shù)解的問(wèn)題,并獲得了很多非常重要的結(jié)果.

2012年,Liu等[3]考慮了如下復(fù)微分-差分方程的有限級(jí)超越整函數(shù)解的問(wèn)題,證明了下述定理.

定理A[3]設(shè)f(z)是復(fù)微分-差分方程

的有限級(jí)超越整函數(shù)解,則f(z)=sin(z±Bi),其中B為常數(shù),c=2kπ 或c=(2k+1)π,k是整數(shù).

2013年,Liu等[4]將定理A 中的一階導(dǎo)進(jìn)一步推廣到了n階導(dǎo)數(shù)的情形,證明了下述定理.

定理B[4]設(shè)f(z)是復(fù)微分-差分方程

的有限級(jí)超越整函數(shù)解,則當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),f(z)=±sin(aiz+bi),其中an=±i,c=kπia,k是整數(shù),b為常數(shù);當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，f(z)=±cos(aiz+bi),其中an=±1,c=,k是整數(shù),b是常數(shù).

2019年,劉曼莉等[5]推廣了劉凱的上述結(jié)果,并得到下述定理.

定理C[5]設(shè)f(z)是復(fù)微分-差分方程

的有限級(jí)超越整函數(shù)解,其中：Q(z)為多項(xiàng)式,c(≠0) ∈.則Q(z)=c1c2為常數(shù),且f(z)一定滿(mǎn)足

其中a和b為常數(shù),a4=1,c=,k是一個(gè)整數(shù).

推廣了上述定理,得到如下結(jié)果.

由表1及表2可知,所測(cè)CO2濃度誤差百分比控制在2%以?xún)?nèi),溫度的誤差百分比在4%以?xún)?nèi),可以滿(mǎn)足航站樓環(huán)境參數(shù)采集要求。

定理1設(shè)w(z)是復(fù)微分-差分方程

的有限級(jí)超越整函數(shù)解,其中：Q(z)為非零多項(xiàng)式,則

(i)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),

(ii)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),

2 引理

3 定理1的證明

方程(w(n)(z)2+w(z+c)2=Q(z))可改為

其中：Q(z)=Q1(z)Q2(z),Q1(z),Q2(z)為非零多項(xiàng)式,p(z)為非常數(shù)多項(xiàng)式.

由式(1)可得

對(duì)式(2)的第2式求n階導(dǎo),有

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知

其中，NnMn是關(guān)于p′,???,p(n)的次數(shù)為n-1的微分多項(xiàng)式.

又由式(2)的第1式,有

結(jié)合式(3～4),可得