蔣占軍，劉歡，張華衛(wèi)，李翠然

（蘭州交通大學電子與信息工程學院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

功率放大器（PA,power amplifier）是移動通信系統(tǒng)必不可少的部件，簡稱為功放。本質(zhì)上射頻功放都是非線性的，即射頻輸出信號中不可避免地包含非線性引起的失真分量，且輸入電平越大非線性越嚴重[1]。正交時頻空（OTFS,orthogonal time frequency space）調(diào)制系統(tǒng)存在高帶外（OOB,out of band）發(fā)射功率和峰值平均功率比（PAPR,peak to average power ratio）問題。高OOB 發(fā)射功率需要較寬的保護頻帶，導致頻譜利用率降低。高PAPR 則使發(fā)送端的功率放大器進入飽和區(qū)，產(chǎn)生帶內(nèi)失真和帶外輻射。帶內(nèi)的非線性失真將導致系統(tǒng)誤碼率（BER,bit error rate）性能惡化，帶外輻射又將會干擾相鄰信道的頻譜[2]?，F(xiàn)代通信系統(tǒng)廣泛采用頻譜利用率較高的非恒包絡(luò)調(diào)制方式，這對PA 提出了更高的線性度要求[3]。

針對上述問題，OTFS 移動通信系統(tǒng)可以在上行鏈路發(fā)送端通過多種手段加以解決，例如，根據(jù)一定限幅比對信號進行操作后再采用濾波器濾除限幅噪聲的迭代限幅濾波方案[4]；在發(fā)送端進行逆辛有限傅里葉變換（ISFFT,inverse symplectic finite Fourier transform）之前，添加離散傅里葉變換（DFT,discrete Fourier transform）擴展信號處理模塊以降低PAPR 的預編碼技術(shù)[5]；依據(jù)壓擴因子將小信號振幅增大，而將大信號振幅減小的非線性壓擴技術(shù)[6]等。然而，在高速鐵路車-車通信場景或車載無線局域網(wǎng)應用等低功耗移動終端應用中，由于功率、復雜性或成本限制，這些技術(shù)方案可能難以實現(xiàn)。

另一方面，在移動通信系統(tǒng)上行鏈路傳輸中，由于功耗及硬件算法等的要求，計算復雜度較高的功放識別和非線性失真補償技術(shù)更適用于計算資源豐富的基站側(cè)，故基站側(cè)非線性補償是上行鏈路發(fā)送端處理的有效替代方案。與正交頻分復用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）系統(tǒng)相似，OTFS 系統(tǒng)對發(fā)送端使用PA 引起的非線性失真非常敏感，這種非線性失真會導致OTFS 系統(tǒng)誤碼率迅速惡化。使用功率回退法來避免OTFS信號失真簡單易行，是改善放大器線性度行之有效的方法[7]。但大范圍的回退會導致PA 效率大大降低，故該方法并不適用于線性度要求很高的系統(tǒng)。因此，研究非線性功放并采取失真補償技術(shù)改善OTFS 系統(tǒng)誤碼率性能具有重要意義[8]。

針對以上問題，已有算法在接收端對非線性失真信號進行重構(gòu)[9-11]，將系統(tǒng)的BER 性能提高至接近線性，但這些算法需假設(shè)接收端已知信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）或非線性傳遞函數(shù)，這與PA 引入的實際失真有所差別，因而算法不具備一般性。為此，本文考慮信道估計輔助的無記憶功放非線性失真補償算法。

OTFS 系統(tǒng)可在時延-多普勒（DD,delay Doppler）域?qū)ьl以脈沖信號形式進行發(fā)送，然后通過解卷積的方法從接收導頻中估計出實際CSI。但這種基于脈沖導頻的信道估計算法在多天線場景中會產(chǎn)生較大的導頻開銷[12]。針對該問題，三維結(jié)構(gòu)正交匹配追蹤（3D-SOMP,3D structured orthogonal matching pursuit）算法利用OTFS 系統(tǒng)多輸入多輸出（MIMO,multi-input multi-output）信道的三維結(jié)構(gòu)稀疏性——沿時延維的正常稀疏、沿多普勒維的塊稀疏和沿角度維的突發(fā)稀疏，將下行信道估計問題表述為稀疏信號恢復問題[13]，從而以較低的導頻開銷獲得準確的CSI。

由于導頻開銷影響整個OTFS 系統(tǒng)的容量和傳輸速率，故OTFS 信道估計相關(guān)研究在提升估計性能時應盡可能地降低導頻開銷。壓縮感知（CS,compressed sensing）技術(shù)結(jié)合OTFS 系統(tǒng)等效信道矩陣稀疏性的特點，可在低導頻開銷的情況下有效估計CSI[14]。但CS 算法給出的導頻序列設(shè)計指標比較模糊，感知矩陣的互相關(guān)系數(shù)與OTFS 信道估計的準確度無單調(diào)相關(guān)性。

不同于現(xiàn)有的OTFS導頻設(shè)計，基于疊加導頻（SP,superimposed pilot）的OTFS 信道估計和數(shù)據(jù)檢測算法將低功率導頻疊加在DD 域的數(shù)據(jù)符號上[15]，不需要占用DD 域信號網(wǎng)格，在提高頻譜效率（SE,spectral efficiency）的同時減少了導頻開銷。SP-OTFS 系統(tǒng)可在信道估計和數(shù)據(jù)檢測之間進行迭代來改善系統(tǒng)的BER 性能。算法采用結(jié)合OTFS 系統(tǒng)DD 域信道稀疏性的消息傳遞（MP,message passing）算法來檢測數(shù)據(jù)，因此具有較低的計算復雜度[16]。但SP 的設(shè)計將傳輸數(shù)據(jù)當作干擾來估計信道，這在高信噪比（SNR,signal to noise ratio）時影響了OTFS 系統(tǒng)的傳輸性能。

此外，根據(jù)實際通信系統(tǒng)時延與多普勒頻移有限，且DD 域信道具有稀疏性的特點，可將導頻信號插入DD 域的二維數(shù)據(jù)幀中，通過設(shè)置保護間隔，使信道估計與信號檢測在一個OTFS 數(shù)據(jù)幀中同時進行，并對每個OTFS 數(shù)據(jù)幀進行最小二乘（LS,least squares）信道估計[17]。這種導頻和數(shù)據(jù)聯(lián)合成幀的OTFS 信道估計算法通過閾值比較能準確估計等效CSI，且導頻開銷較低，但對于導頻處的信噪比要求較高，可能導致PAPR 過高。

針對OTFS 系統(tǒng)PAPR 過高的問題，可結(jié)合信道先驗信息或偽噪聲（PN,pseudo noise）序列導頻對其進行處理。一是基于最大似然（ML,maximum likelihood）準則的信道路徑檢測和最小均方誤差（MMSE,minimum mean-squared error）準則的信道估計算法，該算法結(jié)合了信道先驗信息，MMSE 準則也可對信道估計結(jié)果進行校正[18]。該算法對導頻功率要求較低，有利于降低系統(tǒng)PAPR，且允許使用較小的保護間隔。二是基于偽噪聲序列導頻的DD 域信道估計算法，該算法可在較低的信噪比下實現(xiàn)優(yōu)良的信道估計性能[19-20]。得益于PN 序列良好的自相關(guān)特性，該算法在接收端使用二維匹配濾波的方法能分別估計每一路徑的信道增益、時延以及多普勒頻移，且發(fā)送端時域PN 導頻幅度恒定，因此系統(tǒng)PAPR 較低，便于實際應用。

但在多徑信道條件下，由于多普勒頻移在進行離散化時采樣頻率不同，多普勒信道被分為整數(shù)多普勒信道和分數(shù)多普勒信道。為避免分數(shù)多普勒信道給OTFS系統(tǒng)帶來額外的多普勒間干擾（IDI,inter Doppler interference），分數(shù)多普勒CSI 也需要進行估計，此時PN 導頻信道估計算法計算復雜度較高，且對PN 序列的二維相關(guān)性要求更高。

針對分數(shù)多普勒CSI 估計，可利用獨自成幀的脈沖導頻估計等效信道，再通過互相關(guān)匹配濾波得到包含分數(shù)多普勒CSI 在內(nèi)的各徑CSI[21]。該匹配濾波過程使用快速傅里葉變換（FFT,fast Fourier transform），有效降低了信道估計的復雜度。但該算法在估計等效信道時導頻開銷較大，且匹配濾波容易受到同一路徑干擾信號的影響。

為將信道估計算法推廣至真實信道環(huán)境，且對信道估計的準確度進行定量分析，稀疏貝葉斯等概率類信道估計算法也被應用于OTFS 系統(tǒng)[22]。稀疏貝葉斯算法提出在導頻和數(shù)據(jù)之間不設(shè)保護間隔的全新導頻模式，在OTFS 系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系中求解信號的均值和方差，并引入使用拉普拉斯先驗的稀疏貝葉斯學習框架，最后利用最大期望法進行參數(shù)更新。稀疏貝葉斯算法在導頻功率、導頻開銷、PAPR 以及信道估計準確度方面均有明顯優(yōu)勢，也可對分數(shù)多普勒CSI 進行估計，其不足是僅能估計等效CSI。

近年來，深度學習不斷應用于信號檢測與信道估計。基于深度學習的OTFS 系統(tǒng)信道估計可以通過調(diào)整輸入輸出關(guān)系選擇輸出CSI 或檢測信號，當深度學習網(wǎng)絡(luò)輸出檢測信號時，網(wǎng)絡(luò)同時可完成信道估計與信號解調(diào)[23]。該算法導頻開銷較小，對于非線性失真有較強的穩(wěn)健性。但網(wǎng)絡(luò)中信號幀的大小不能任意改變，否則需要重新訓練，且訓練數(shù)據(jù)集較匱乏，導致模型泛化能力不足。

前述幾種OTFS 系統(tǒng)信道估計方法未考慮功放非線性失真對于信號傳輸?shù)挠绊?，為此，本文采用一種適用于OTFS 系統(tǒng)上行鏈路基站側(cè)信道估計輔助的無記憶功放非線性失真補償算法。該算法不需要在接收機處假設(shè)CSI和PA非線性傳遞函數(shù)等先驗信息，并且可以使用如圖1 所示的時-頻域塊狀導頻OTFS 信號結(jié)構(gòu)來估計信道響應并補償PA 非線性。本文算法采用非線性PA 的時頻域表示，簡化無記憶功放非線性失真補償算法的推導，避免反復域變換帶來的多重二維卷積運算，從而減少計算量。

圖1 時-頻域塊狀導頻OTFS 信號結(jié)構(gòu)

1 非線性功放對OTFS 信號的影響

OTFS 系統(tǒng)模型如圖2 所示。OTFS 系統(tǒng)有M×N個信息 符 號 {x[l,k],l=0,…,M-1,k=0,…,N-1}。一般使用正交調(diào)幅（QAM,quadrature amplitude modulation）調(diào)制（調(diào)制字母集大小為Q，即 A={a1,…,a|Q|}）將其排布在時延-多普勒網(wǎng)格上。在OTFS 系統(tǒng)發(fā)送端，通過將ISFFT 作為預處理模塊將時延-多普勒域離散符號x[l,k]映射為時-頻網(wǎng)格 Λ={(nT,mΔf),n=0,…,N-1,m=0,…,M-1}上的N×M個離散符號X[n,m]，即

圖2 OTFS 系統(tǒng)模型

其中，M和N分別為時延-多普勒域中時延維網(wǎng)格數(shù)和多普勒維網(wǎng)格數(shù)。x[l,k] 和X[n,m] 分別由圖3和圖4 所示的數(shù)據(jù)幀圖案劃分。

圖3 時延-多普勒域數(shù)據(jù)幀圖案

圖4 時-頻域數(shù)據(jù)幀圖案

然后，時頻調(diào)制器使用發(fā)送波形gtx(t)將樣值X[n,m]轉(zhuǎn)換為連續(xù)時間波形s(t)，即

式(2)也稱為（離散）海森堡變換，由gtx(t)參數(shù)化。

連續(xù)時間波形s(t) 通過時延-多普勒信道得到時域接收信號r(t)，即時域信號s(t) 與時間獨立的時延-多普勒信道沖激響應h(τ,ν) 進行連續(xù)的海森堡變換，即

其中，τ表示時延分量，ν表示多普勒分量，w(t) 表示時域加性噪聲，h(τ,ν) 表示為

其中，P為傳播路徑總數(shù)，hp為第p條路徑的增益。第p條路徑的時延和多普勒頻移可分別離散化為。lp為第p條路徑的時延離散量，kp為第p條路徑的多普勒頻移離散量。

對時域接收信號r(t) 應用維格納變換，即可得到時頻域信號為

其中，grx(t)表示接收信號脈沖，(·)*表示共軛，表示時域接收信號r(t) 和脈沖grx的交叉模糊函數(shù)。

對Y[n,m] 應用辛有限傅里葉變換（SFFT，symplectic finite Fourier transform），時延-多普勒域的接收信號y[l,k]表示為

無記憶功放的非線性一般可以通過AM/AM失真（幅度非線性）和AM/PM 失真（相位非線性）來表征，其分別描述輸出信號幅度或相位隨輸入信號幅度變化的情況。PA 的放大作用等效于對輸入信號的幅度加權(quán)，非線性附加的頻率成分等效于對輸入信號總相位的改變，則非線性的輸出信號可以描述為

其中，GAM[·] 與GPM[·]分別表示AM/AM 失真和AM/PM失真，其仿真示意如圖5 所示，表達式如式(8)所示。

圖5 AM/AM 和AM/PM 非線性仿真示意

以描述行波管放大器（TWTA,traveling wave tube amplifier）非線性特征的Saleh 模型[24]為例。其非線性特性曲線如圖6 所示。

圖6 Saleh 模型非線性特性曲線

Saleh 模型結(jié)構(gòu)簡潔，用較少的參數(shù)比較準確地同時反映了TWTA 的AM/AM 和AM/PM 失真特性，具有顯著特色。該模型由TWTA 的輸入輸出進行數(shù)學統(tǒng)計而得，針對實測數(shù)據(jù)具有很高的擬合能力。Saleh 模型的參數(shù)辨識過程如下，可將式(8)合并表示為

使用TWTA 的實測數(shù)據(jù)[25]驗證Saleh 模型的擬合優(yōu)勢，擬合AM/AM 和AM/PM 曲線如圖7 所示。

圖7 Saleh 模型擬合AM/AM 和AM/PM 曲線

AM/AM 失真對16QAM-OTFS 信號影響如圖8所示。從頻域的角度來看，AM/AM 失真會引起互調(diào)失真（IMD,inter-modulation distortion），此時帶外雜散信號對帶內(nèi)有用信號產(chǎn)生干擾，從而導致較高的誤碼率。AM/PM 失真則會使接收信號星座圖產(chǎn)生與振幅相關(guān)的不均勻旋轉(zhuǎn)，給信號檢測帶來困難，其對16QAM-OTFS 信號影響如圖9 所示。這些干擾和旋轉(zhuǎn)都可能導致信號無法正確接收，從而大大增加了誤碼率。

圖8 AM/AM 失真對16QAM-OTFS 信號影響

圖9 AM/PM 失真對16QAM-OTFS 信號影響

2 算法分析

2.1 等效信號分析

功率放大器的各種模型基本都體現(xiàn)在GAM[·]和GPM[·] 的不同表達式上。分別用s(t)和y(t)表示基帶PA 等效輸入和輸出，可以用多項式近似無記憶PA的輸入輸出關(guān)系[26]，表示為

用多項式描述PA 的非線性特性，其物理含義比較明確。多項式系數(shù)c2p+1通常為復數(shù)（假設(shè)AM/PM失真可忽略的情況除外）。下標p指明了諧波階次，若增加諧波項數(shù)P可有效提高模型精度。由式(5)建模的非線性PA 輸出端OTFS 信號可表示為

通過雙選信道后，時頻域的OTFS 信號可表示為

其中，t=nT，f=mΔf。w[n,m] 表示時-頻域中的噪聲（獨立同分布的加性高斯白噪聲）。將式(14)代入式(15)，具有三階非線性的多項式模型可表示為

經(jīng)過計算（見附錄1）可得

2.2 信道估計輔助的歸一化系數(shù)更新算法

Bussgang 定理給出了非線性輸出的表達式，即經(jīng)過PA 后被衰減的輸入信號和不相關(guān)的非線性失真之和[27]。故失真OTFS 符號在時頻域可表示為

其中，Ep表示所有p階失真項的平均能量。Ep的值通常與子載波數(shù)量、符號數(shù)量以及調(diào)制方式有關(guān)，并且可以通過分析或數(shù)值計算來評估[29]。

由式(21)得出系數(shù)ξ1為

將式(22)代入式(20)，可將三階失真項表示為

此時，時-頻域接收信號可重新表示為

可使用算法1 來迭代近似PA 模型并求解信道響應估計。

算法1信道估計輔助的歸一化系數(shù)更新

1) 定義歸一化系數(shù)的初始估計值為ξ=0 ；

2) 由ξ=0 和式(26)更新時-頻域信道響應估計值；

4) 重復步驟2)和步驟3)，不斷更新信道響應與歸一化系數(shù)的估計值，直到滿足以下判決及迭代要求。

判決要求。只有當前迭代能夠提供比前一次迭代更好的估計性能時才使用估計得到的信道響應。即如果Li＜Li-1（其中i是來自{1,…,i}的迭代指數(shù)）。

迭代要求。當滿足以下至少一個條件時，算法1停止。

①最小二乘估計誤差的平方

該條件出現(xiàn)在最好的情況下，即在統(tǒng)計平均的意義下，歸一化系數(shù)估計量最接近真值。

②Li＞Li*+ε，i*是來自{1,…,i}的迭代指數(shù)，其中Li*最小，若當前迭代提供的決策比前幾次迭代提供的決策更差，即誤差函數(shù)L不再減小，則該條件可以用于停止算法。

③達到最大迭代次數(shù)iiter。

算法1 復雜度分析如表1 所示。

表1 算法1 復雜度分析

2.3 非線性失真自適應補償算法

迭代判決非線性失真補償算法如算法2 所示。

算法2迭代判決非線性失真補償

1) 由式(29)和Xeq計算得到發(fā)送信號估計值；

3) 補償非線性失真項，失真補償信號Xc表示為

4) 由式(29)和失真補償信號Xc反復獲得估計值；

算法2 復雜度分析如表2 所示。

表2 算法2 復雜度分析

此外，算法1 和算法2 采用非線性PA 的時頻域表示，簡化無記憶功放非線性失真補償算法的推導，避免反復域變換帶來的多重二維卷積運算，從而減少計算量，具體分析如表3 所示。

表3 系統(tǒng)復雜度分析

3 仿真分析

為了評估OTFS 系統(tǒng)經(jīng)過信道估計輔助歸一化系數(shù)更新和非線性失真自適應補償后的性能，本文通過仿真進行歸一化均方誤差和誤碼率性能分析，OTFS 系統(tǒng)仿真參數(shù)由表4 所示。

表4 OTFS 系統(tǒng)仿真參數(shù)

仿真主要關(guān)注64-QAM和256-QAM這2種調(diào)制方式，因為在這2 種調(diào)制方式下，功率放大器的非線性會導致誤碼率顯著惡化。如圖10 所示，QAM 調(diào)制的階數(shù)越高，對OTFS 系統(tǒng)的SNR 要求就越高，256-QAM與64-QAM 相比更容易被干擾而造成誤碼，算法的一次完全迭代對256-QAM 的誤碼率性能改善有限。

圖10 2 種調(diào)制方式下OTFS BER 性能對比

采用Saleh 模型的OTFS 系統(tǒng)非線性補償前后誤碼率性能對比如圖11 所示。從圖11 中可以看出，非線性失真自適應補償算法在系統(tǒng)的整體性能改進中起著關(guān)鍵作用，算法在經(jīng)過2～3 次迭代后（Iter=2,3），可以較好地補償OTFS 系統(tǒng)雙選信道中的非線性失真。與失真信號相比，經(jīng)過補償后的OTFS 系統(tǒng)誤碼率性能得到改善。

圖11 OTFS 系統(tǒng)非線性補償前后BER 性能對比（Saleh 模型）

此外，本文還對OTFS 系統(tǒng)中基于固態(tài)功率放大器（SSPA,solid state power amplifier）的Rapp 模型[31]進行了非線性補償，結(jié)果如圖12 所示。經(jīng)過補償后的非線性O(shè)TFS 系統(tǒng)誤碼率可達 10-5。

圖12 OTFS 系統(tǒng)非線性補償前后BER 性能對比（Rapp 模型）

OTFS 系統(tǒng)非線性補償不同循環(huán)次數(shù)下的NMSE 如圖13 所示，迭代過程雖與全局最小值仍有一定差距，但數(shù)值模擬表明，在大多數(shù)實際場景中（如典型的高斯白噪聲、雙選信道以及非線性功放），所提算法在3～4 次迭代內(nèi)可以快速收斂。

圖13 OTFS 系統(tǒng)非線性補償不同循環(huán)次數(shù)下的NMSE

OTFS 系統(tǒng)非線性補償不同SNR 下的NMSE曲線如圖14 所示，從圖14 可知，經(jīng)過非線性補償后，信道估計的NMSE 明顯降低，并且NMSE 性能隨著SNR 的增加得到更大的改善，這是因為非線性補償算法減少了信道估計時失真信號的干擾，從而提高了信道估計的準確度。

圖14 OTFS 系統(tǒng)非線性補償不同SNR 下的NMSE

本文還對比了OTFS 系統(tǒng)分別使用傳統(tǒng)脈沖導頻信道估計算法、3D-SOMP 信道估計算法[13]、PN導頻信道估計算法[19]和本文信道估計輔助非線性失真補償算法的誤碼率性能。

在現(xiàn)有OTFS 信道估計方法的基礎(chǔ)上，令發(fā)送信號經(jīng)過Saleh 模型，并采用預失真方法抑制非線性失真。如圖15 所示，傳統(tǒng)脈沖導頻信道估計算法的誤碼率性能較差，當SNR=25 dB時，誤碼率僅為 1.7×10-2。PN 導頻信道估計算法有一定的性能損失，當SNR=25 dB 時，誤碼率為2.6×10-3。當SNR=26 dB 時，3D-SOMP信道估計算法誤碼率達到 2.5×10-4，而本文信道估計輔助非線性失真補償算法誤碼率為 3.4×10-5。

圖15 不同信道估計算法在非線性干擾下的BER 性能對比（Saleh 模型）

如圖16 所示，發(fā)送信號經(jīng)過Rapp 模型時，傳統(tǒng)脈沖導頻信道估計算法和PN 導頻信道估計算法的誤碼率性能均有惡化，當SNR=25 dB 時，誤碼率僅約為2.1×10-2。當SNR=26 dB 時，3D-SOMP 信道估計算法誤碼率為 4.1×10-4，而本文信道估計輔助的非線性失真補償算法誤碼率為4.6×10-5。

圖16 不同信道估計算法在非線性干擾下的BER 性能對比（Rapp 模型）

綜上，本文信道估計輔助非線性失真補償算法在小信噪比時誤碼率性能與脈沖導頻信道估計及PN 導頻信道估計相近，且本文算法可操作性強，信號處理流程簡潔，通過在接收端重構(gòu)失真信號，能夠改善非線性干擾下OTFS 系統(tǒng)的誤碼率性能。在大信噪比時，經(jīng)過本文算法補償后的非線性O(shè)TFS 系統(tǒng)誤碼率可達 10-5。

4 結(jié)束語

在傳統(tǒng)非線性補償算法基礎(chǔ)上，本文采用信道估計輔助的非線性失真補償算法。該算法以判決反饋的方式不斷迭代更新非線性模型參數(shù)，適用于Saleh 及Rapp 無記憶PA 模型。同時，接收端采用迫零均衡的迭代補償算法去除失真影響。仿真結(jié)果表明，采用信道估計輔助非線性失真補償算法的接收機誤碼率性能較好。然而，本文的仿真環(huán)境設(shè)置較理想化，并且只考慮了功率放大器的無記憶模型，未考慮記憶特性對OTFS 信道估計性能的影響，下一步可針對功率放大器的有記憶模型進行非線性補償。

附錄1 非線性失真項的推導

通過雙選信道后，時-頻域的OTFS 信號表示為

由式(2)的逆過程可得

式(31)中的δ包含非線性失真項，表示為

調(diào)換積分次序，令t=nT,f=mΔf，δ可表示為

式(40)可寫為

令發(fā)送脈沖gtx(t)和接收脈沖grx(t)滿足雙正交特性[16]，即

式(42)可化簡為