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依美構(gòu)造數(shù)列,提升運(yùn)算素養(yǎng)

2023-01-24 05:49:04俞文銳
中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年12期
關(guān)鍵詞:求通通項(xiàng)思路

俞文銳

(福建省福清華僑中學(xué) 350300)

求數(shù)列通項(xiàng)的方法有直接利用等差、等比公式求通項(xiàng),用累加法、累乘法、待定系數(shù)法求通項(xiàng),構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng),還有利用遞推公式求通項(xiàng).面對(duì)如此多的題型和方法,學(xué)生顯得無(wú)所適從.美無(wú)處不在,那么我們能否運(yùn)用數(shù)學(xué)美將復(fù)雜數(shù)列進(jìn)行變形,從而構(gòu)造出特殊數(shù)列予以求解呢?下面以近年高考試題為例,設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)美問(wèn)題情境,以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

1 明晰運(yùn)算對(duì)象,確定運(yùn)算起點(diǎn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).[1]7數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平一指出:能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對(duì)象,提出運(yùn)算問(wèn)題.[1]105由此可知明晰運(yùn)算對(duì)象是展開(kāi)數(shù)學(xué)運(yùn)算的先決條件,教師要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的問(wèn)題情境中,從不同角度進(jìn)行觀察,選擇不同的運(yùn)算對(duì)象,確定運(yùn)算起點(diǎn).

例1(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)文科第13題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=.

分析本題可以利用基本量方法進(jìn)行求解,即將已知條件轉(zhuǎn)化為d的方程.由2S3=3S2+6,得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,解得d=2.

教學(xué)不應(yīng)該停留于解題本身,要充分挖掘高考試題的教學(xué)價(jià)值,為此可做如下設(shè)計(jì):

問(wèn)題1 能否從題設(shè)Sn的表達(dá)式中提取出其他的信息?

問(wèn)題2 能否根據(jù)統(tǒng)一美構(gòu)造出與Sn有關(guān)的新數(shù)列?

問(wèn)題3 能否利用新數(shù)列的信息求d?

通過(guò)問(wèn)題1,引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系中抽象出運(yùn)算對(duì)象,即關(guān)注Sn,發(fā)現(xiàn)S3與S2的系數(shù)分別為2和3,下標(biāo)與系數(shù)對(duì)換,給人一種不統(tǒng)一的感覺(jué).

在上述的活動(dòng)中,學(xué)生經(jīng)歷了從數(shù)量關(guān)系中抽象出運(yùn)算對(duì)象、從數(shù)學(xué)美的角度構(gòu)造運(yùn)算對(duì)象、根據(jù)運(yùn)算對(duì)象確定運(yùn)算起點(diǎn)的認(rèn)知過(guò)程,從中使得數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)獲得提升.

2 探索運(yùn)算思路,把握知識(shí)本質(zhì)

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平一要求:能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中,根據(jù)問(wèn)題的特征形成合適的運(yùn)算思路,解決問(wèn)題.[1]105數(shù)學(xué)運(yùn)算不是盲目的,往往需要學(xué)生觀察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征,展開(kāi)豐富的聯(lián)想,通過(guò)合理的構(gòu)造,進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?,獲得合適的運(yùn)算思路.

分析本題已知條件中Sn與an糾纏,要研究an必須消去一個(gè)變量,為此可做如下設(shè)計(jì):

問(wèn)題1 能否根據(jù)簡(jiǎn)潔美對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)并獲得Sn的表達(dá)式?

問(wèn)題2 能否根據(jù)對(duì)稱美對(duì)化簡(jiǎn)的結(jié)果進(jìn)行變形?

問(wèn)題3 能否構(gòu)造出新數(shù)列,并利用新數(shù)列對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行求解?

3 選擇運(yùn)算方法,完善學(xué)生認(rèn)知

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心是思維,解題中應(yīng)強(qiáng)化對(duì)運(yùn)算思路和方法的分析,使學(xué)生逐步理解運(yùn)算是一種邏輯推理,在面對(duì)與學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題時(shí),能夠通過(guò)對(duì)其條件與結(jié)論的分析,探索運(yùn)算的思路,選擇合適的運(yùn)算方法,體會(huì)程序思想的意義和作用.

本題的問(wèn)題情境對(duì)學(xué)生而言不熟悉,基于高考考查目標(biāo)要求,結(jié)合必備知識(shí)和關(guān)鍵能力設(shè)計(jì)如下問(wèn)題:

問(wèn)題1 能否根據(jù)等差數(shù)列的定義獲得Sn與an的關(guān)系式?

問(wèn)題2 能否將關(guān)系式中的Sn轉(zhuǎn)化為an?

問(wèn)題3 能否構(gòu)造出與an有關(guān)的新數(shù)列?

在上述的活動(dòng)中,學(xué)生對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,能夠通過(guò)結(jié)構(gòu)與變量的和諧統(tǒng)一美,對(duì)式子進(jìn)行變形構(gòu)造,得到完美統(tǒng)一的關(guān)系式,從而得到常數(shù)列.該活動(dòng)讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)美的威力,促進(jìn)學(xué)生將新知識(shí)同化到已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,從而使數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步的發(fā)展.

4 變換運(yùn)算背景,累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的提升不能僅僅滿足于熟悉情境下的模仿與記憶,為了提高學(xué)生在綜合情境中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題的能力,教師需要不斷變換運(yùn)算背景,提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

例4(2021八省聯(lián)考第17題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(1)證明數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

分析 (1)略;

(2)由(1)得an+an+1=2·3n-1,根據(jù)求通項(xiàng)公式的經(jīng)驗(yàn),移項(xiàng)得an+1=-an+2·3n-1,此時(shí)發(fā)現(xiàn)an+1,an的系數(shù)不含n,還能通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位蓪?duì)稱統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)嗎?

在上述的活動(dòng)中,學(xué)生從綜合的運(yùn)算背景中,能夠通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡性的命題,探索論證的途徑,解決問(wèn)題,并會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)論證過(guò)程,感悟數(shù)學(xué)之美,積累依美構(gòu)造數(shù)列的經(jīng)驗(yàn).

5 結(jié)語(yǔ)

依美理解運(yùn)算對(duì)象,依美探究運(yùn)算思路,依美選擇運(yùn)算方法,依美求得運(yùn)算結(jié)果,學(xué)生在教師設(shè)置的問(wèn)題情境中,感受到數(shù)列通項(xiàng)求解過(guò)程中結(jié)構(gòu)變量的對(duì)稱美、統(tǒng)一美,自覺(jué)地用美來(lái)解決遞推數(shù)列問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)美在遞推數(shù)列問(wèn)題中的知行合一,同時(shí)累積了求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),學(xué)會(huì)用美的眼光看問(wèn)題,培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

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