劉景森，楊 杰，李 煜

1) 河南大學(xué)智能網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)研究所，開封 475004 2) 河南大學(xué)軟件學(xué)院，開封 475004 3) 河南大學(xué)管理科學(xué)與工程研究所，開封 475004

優(yōu)化問題普遍存在于生產(chǎn)生活的諸多領(lǐng)域，近年來(lái)，全局優(yōu)化問題越來(lái)越復(fù)雜，規(guī)模越來(lái)越龐大，具有高維、非線性、目標(biāo)函數(shù)不可導(dǎo)等特點(diǎn)，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法已經(jīng)很難有效地進(jìn)行求解，而基于群體搜索的元啟發(fā)式智能優(yōu)化算法卻獲得了較好效果，引起學(xué)者們的廣泛青睞和研究.如：受鳥群捕食過(guò)程啟發(fā)提出的粒子群算法[1–2]，受正余弦函數(shù)數(shù)學(xué)模型啟發(fā)而提出的正弦余弦算法[3–4]，受座頭鯨捕食行為啟發(fā)提出的鯨魚優(yōu)化算法[5]，受量子力學(xué)原理和基于量子的原子模型啟發(fā)提出的原子軌道搜索算法[6]等.這些智能優(yōu)化算法的不斷提出、改善和優(yōu)勝劣汰，為求解大規(guī)模復(fù)雜全局優(yōu)化問題提供了新思路.

函數(shù)極值優(yōu)化問題是測(cè)試算法尋優(yōu)性能的主要方法，而工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題則是智能優(yōu)化算法的重要應(yīng)用領(lǐng)域.工程設(shè)計(jì)問題廣泛存在又難以求解，其目標(biāo)函數(shù)與約束條件的非線性以及決策變量搜索空間不可行域的出現(xiàn)，使得傳統(tǒng)優(yōu)化方法束手無(wú)策，而群智能優(yōu)化算法的研究與應(yīng)用則為解決這類問題提供了實(shí)用且有效的方法.如：Kar等[7]提出了一種基于引力搜索算法和粒子群算法的有效混合方法；劉三陽(yáng)和靳安釗[8]提出了一種求解約束優(yōu)化問題的協(xié)同進(jìn)化教與學(xué)優(yōu)化算法；Banaie-Dezfoul等[9]提出了一種狩獵策略的灰狼優(yōu)化算法；肖子雅和劉升[10]提出了一種精英反向?qū)W習(xí)的黃金正弦鯨魚算法；Nadimi-Shahraki等[11]提出一種基于維度學(xué)習(xí)狩獵搜索策略的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法；汪逸暉和高亮[12]提出一種引入動(dòng)態(tài)感知概率、萊維飛行策略以及變異更新機(jī)制的改進(jìn)烏鴉搜索算法.這些算法均被應(yīng)用于求解工程約束優(yōu)化問題，并取得了良好效果，但求解的多為幾個(gè)經(jīng)典老問題，種類較少且比較簡(jiǎn)單，解決工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題仍需探索求解能力更強(qiáng)、尋優(yōu)精度更高、穩(wěn)定性和普適性更好的算法.

JAYA算法是2016年由Rao[13]提出的一種新型啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，該算法控制參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)，且具有趨優(yōu)避差的導(dǎo)向性特征，很適于求解全局優(yōu)化和工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，成為最近幾年優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域重要的研究和改進(jìn)算法之一，已被成功應(yīng)用于旅行商，文本聚類，特征選擇，柔性車間調(diào)度，水電站水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度等問題的求解之中.

雖然JAYA算法趨優(yōu)避差的機(jī)制特點(diǎn)契合于復(fù)雜函數(shù)和工程設(shè)計(jì)中全局優(yōu)化的思想和需求，但JAYA算法與其他基礎(chǔ)性智能優(yōu)化算法一樣，其本身也存在著容易陷入局部極值、尋優(yōu)精度有時(shí)不高和收斂速度較慢等問題.為此，許多學(xué)者針對(duì)JAYA算法的不足之處做了相應(yīng)改進(jìn).Yu等[14]引入自適應(yīng)慣性權(quán)重、基于經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)策略和混沌精英學(xué)習(xí)方法，提高了JAYA算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.Kang等[15]將JAYA算法與支持向量機(jī)相結(jié)合，并成功應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的溫度效應(yīng)預(yù)測(cè)問題.Ingle等[16]引入萊維飛行和貪婪選擇策略，豐富了JAYA算法種群的多樣性，增強(qiáng)了算法的勘探能力，并成功應(yīng)用于信道均衡問題.Iacca等[17]引入萊維飛行用于JAYA算法位置更新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，有效提高了算法跳出局部極值的能力.Zhao等[18]引入自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略，提高了JAYA算法的全局搜索能力，并成功應(yīng)用于多目標(biāo)混合零空閑置換流水車間調(diào)度問題.Kang等[19]構(gòu)建了基于高斯過(guò)程代理模型的JAYA算法，并成功應(yīng)用于混凝土壩動(dòng)力參數(shù)反演分析，拓寬了JAYA算法的應(yīng)用領(lǐng)域.Zhang等[20]引入局部開發(fā)和全局探索策略，有效增強(qiáng)了JAYA算法逃離局部最優(yōu)的能力.Nayak等[21]引入變異策略，增強(qiáng)了JAYA算法全局收斂能力.Zhang 等[22–23]引入包含三種不同學(xué)習(xí)策略的綜合學(xué)習(xí)機(jī)制來(lái)更新個(gè)體位置，提高了JAYA算法的全局搜索能力.

這些改進(jìn)使JAYA算法在各自應(yīng)用領(lǐng)域的優(yōu)化性能得以提升，但JAYA算法求解全局優(yōu)化和工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的能力仍有進(jìn)一步改進(jìn)的空間.本文提出一種面向復(fù)雜函數(shù)和工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的混合進(jìn)化JAYA算法（Hybrid evolutionary JAYA algorithm, H-JAYA）.首先在計(jì)算當(dāng)前最優(yōu)和最差個(gè)體位置時(shí)引入反向?qū)W習(xí)機(jī)制，增強(qiáng)最優(yōu)和最差個(gè)體跳離局部極值區(qū)域的可能性.然后在個(gè)體位置更新中引入并融合正弦余弦算子和差分?jǐn)_動(dòng)機(jī)制，不僅增加了種群的多樣性，而且有效平衡和較好滿足了算法在不同迭代時(shí)期對(duì)探索和挖掘能力的不同需求.最后采用奇偶不同的混合進(jìn)化策略，有效利用不同演化機(jī)制的優(yōu)勢(shì)結(jié)果，進(jìn)一步提高了算法的收斂性和精度.隨后給出了算法流程偽代碼，用理論分析證明了H-JAYA沒有增加算法的時(shí)間復(fù)雜度.通過(guò)對(duì)基于多個(gè)不同尋優(yōu)特征基準(zhǔn)函數(shù)的CEC2017測(cè)試函數(shù)集套件進(jìn)行多維度、多算法極值優(yōu)化求解對(duì)比測(cè)試，結(jié)果表明，H-JAYA的收斂性能、尋優(yōu)精度和求解穩(wěn)定性均有明顯提升，求解CEC2017復(fù)雜函數(shù)的效果相當(dāng)優(yōu)越，全局優(yōu)化能力出色，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果也顯示了H-JAYA與其他對(duì)比算法的差異具有顯著性.而對(duì)拉伸彈簧、波紋艙壁、管柱設(shè)計(jì)、鋼筋混凝土梁、焊接梁和汽車側(cè)面碰撞6個(gè)具有挑戰(zhàn)性的工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題的求解，也顯示了HJAYA算法在處理不同類型工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)有著明顯的優(yōu)越性和適應(yīng)性.

1 改進(jìn)算法 H-JAYA

1.1 基本 JAYA 算法

Step1 設(shè)置算法初始參數(shù)：種群個(gè)體數(shù)量N、最大進(jìn)化代數(shù)Max_iter、個(gè)體維度D，并在尋優(yōu)范圍內(nèi)隨機(jī)生成每個(gè)個(gè)體的初始位置xi(i=1,2,…,N).

Step2 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算種群個(gè)體的適應(yīng)度值f(xi).

Step3 根據(jù)種群中個(gè)體的適應(yīng)度值f(xi)，找出最好和最差適應(yīng)度值fmin和fmax，并記錄其位置xbest和xworst.

Step4 由式(1)對(duì)個(gè)體每一維的位置進(jìn)行更新.

Step5 由目標(biāo)函數(shù)f(x)求出新個(gè)體的適應(yīng)度值，并對(duì)新舊解進(jìn)行對(duì)比，若新解較優(yōu)，則替換上代的個(gè)體位置，否則保留原來(lái)的個(gè)體位置.

Step6 判斷當(dāng)前迭代次數(shù)t是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若t≤Max_iter，返回 Step2；

Step7 確定最終的最優(yōu)值并輸出.

1.2 引入反向?qū)W習(xí)機(jī)制

JAYA算法中種群的當(dāng)前最優(yōu)和最差位置具有重要作用，用來(lái)引導(dǎo)種群個(gè)體向全局最優(yōu)解進(jìn)化，但若種群的當(dāng)前最優(yōu)和最差位置陷入局部極值區(qū)域，就容易導(dǎo)致群體出現(xiàn)搜索停滯的現(xiàn)象，無(wú)法獲得更優(yōu)的全局最優(yōu)解.基于以上原因，將反向?qū)W習(xí)機(jī)制引入到JAYA算法的當(dāng)前最優(yōu)和最差位置中.

本文使用的反向?qū)W習(xí)機(jī)制是將基本反向?qū)W習(xí)與隨機(jī)反向?qū)W習(xí)相融合，使JAYA算法種群中當(dāng)前最優(yōu)和最差個(gè)體位置隨機(jī)進(jìn)行基本反向?qū)W習(xí)或隨機(jī)反向?qū)W習(xí)，從而增強(qiáng)最優(yōu)和最差個(gè)體跳離局部極值區(qū)域的可能性，更好地引導(dǎo)JAYA算法種群尋找到全局最優(yōu)解.而只對(duì)個(gè)體位置更新計(jì)算中起關(guān)鍵作用的當(dāng)前最優(yōu)和最差個(gè)體進(jìn)行反向?qū)W習(xí)而不是對(duì)所有個(gè)體再逐一進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，既有利于避免JAYA算法陷于局部最優(yōu)，又不至于影響算法的收斂速度.引入反向?qū)W習(xí)機(jī)制的數(shù)學(xué)模型如下：

其中：η為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，rand為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，Xmax和Xmin分別為種群中個(gè)體位置空間的上界和下界.xbest(t)和xworst(t)分別是當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)和最差位置，xbest(t+1)和xworst(t+1)分別是更新后的下一代個(gè)體最優(yōu)和最差位置.

1.3 引入正弦余弦算子和差分?jǐn)_動(dòng)機(jī)制

基本JAYA算法，采用了一個(gè)統(tǒng)一的位置更新公式，機(jī)制清晰簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，且具有趨優(yōu)避差的導(dǎo)向性特征，對(duì)一些問題有著較好的尋優(yōu)效果.但對(duì)于一些復(fù)雜多極值優(yōu)化問題，由于缺少不同迭代時(shí)期需要不同全局探索和局部挖掘能力與平衡的機(jī)制，導(dǎo)致算法前期的全局搜索有時(shí)不夠充分，容易陷入局部極值，而后期則存在最優(yōu)解附近局部精細(xì)挖掘能力不強(qiáng)的問題，造成算法有時(shí)尋優(yōu)精度不高和收斂速度較慢的情況.為此，在JAYA算法的個(gè)體位置更新中引入并融合正弦余弦算子和差分?jǐn)_動(dòng)機(jī)制，正弦余弦算子通過(guò)迭代自適應(yīng)因子和正弦余弦函數(shù)的變化改變JAYA算法中種群的個(gè)體狀態(tài)，增加種群的多樣性，并有效平衡和較好滿足了算法在不同迭代時(shí)期對(duì)探索和挖掘能力的不同需求.差分?jǐn)_動(dòng)機(jī)制源于差分進(jìn)化算法的變異思想，通過(guò)引入差分?jǐn)_動(dòng)，可以增強(qiáng)算法的局部搜索能力，提高收斂速度，而采用的雙隨機(jī)差分策略也較好保持了種群的活躍性，降低算法陷入局部極值的風(fēng)險(xiǎn).將上述兩種機(jī)制產(chǎn)生的位置更新公式通過(guò)轉(zhuǎn)換概率m4，分別對(duì)應(yīng)于算法的全局搜索和局部搜索階段，有效提高了算法的尋優(yōu)精度和收斂性能，數(shù)學(xué)模型如下：

其中：m4為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，是當(dāng)前全局最優(yōu)位置的第j維值，為當(dāng)前全局最差位置的第j維值，xij(t)是當(dāng)前代中第i個(gè)個(gè)體在第j維的位置值，xij(t+1)是更新后下一代中第i個(gè)個(gè)體在第j維的位置值，xa、xb是種群中兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體，滿足a∈[1,N]和b∈[1,N]，且a≠b≠i，縮放因子F為[0,1]之間的D維隨機(jī)向量.在正弦余弦算子機(jī)制中，控制搜索距離的參數(shù)m2為[0,π]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，控制距離對(duì)解影響的參數(shù)m3為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，而對(duì)于控制搜索步長(zhǎng)的迭代自適應(yīng)因子m1，采用了帶有隨機(jī)性的非線性遞減策略，其計(jì)算公式為：

分析式(12)可知，m1起著平衡全局搜索和局部搜索能力的重要作用.在算法迭代前期，m1的值較大，全局搜索步幅較大，使算法具有較強(qiáng)的全局探索能力，而在算法迭代后期，m1的值較小，增加了算法在最優(yōu)解附近區(qū)域深度挖掘的能力，提高了算法的收斂精度.而m1在保持從1到0整體非線性遞減趨勢(shì)的同時(shí)，也呈現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，這種隨機(jī)性降低了算法如在中前期未能搜索到全局最優(yōu)值附近，而在后期因控制因子的單調(diào)遞減直接陷入局部極值無(wú)法跳出的風(fēng)險(xiǎn).

1.4 奇偶不同的混合進(jìn)化策略

為了更好發(fā)揮和融合改進(jìn)前后兩種不同JAYA機(jī)制的進(jìn)化特點(diǎn)，采用奇偶不同的混合進(jìn)化策略，具體描述為：當(dāng)?shù)螖?shù)為奇數(shù)時(shí)，使用融合正弦余弦算子和差分?jǐn)_動(dòng)的個(gè)體位置更新公式進(jìn)行搜索；當(dāng)?shù)螖?shù)為偶數(shù)時(shí)，使用基本JAYA算法的個(gè)體位置更新公式進(jìn)行搜索.同時(shí)，在這兩種機(jī)制中都引入上面所述的反向?qū)W習(xí)機(jī)制，而且當(dāng)更新后所產(chǎn)生個(gè)體的適應(yīng)度值優(yōu)于上一代個(gè)體的適應(yīng)度值時(shí)，新的個(gè)體位置將被接受，否則按一定概率接受更新后的個(gè)體位置.接受概率p的計(jì)算公式為：

其中，縮放因子λ為[0,0.1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，接受概率p利用e的負(fù)指數(shù)函數(shù)特性隨迭代次數(shù)增加而非線性遞減，在算法的迭代前期，接受概率p較大，可以接受較多的差解，有利于進(jìn)化的多樣性，隨著迭代次數(shù)的增加，接受概率p不斷減小，接受較差解越來(lái)越少，最后在接受概率p趨于0時(shí)，就不再接受任何較差解了，這在迭代后期有利于算法在最優(yōu)值附近利用兩種不同機(jī)制反復(fù)進(jìn)行深度挖掘，提高了算法的收斂性和精度.

2 H-JAYA 算法流程與時(shí)間復(fù)雜度分析

2.1 H-JAYA 算法流程

根據(jù)新的適應(yīng)度值比較并輸出最優(yōu)解位置

2.2 時(shí)間復(fù)雜度證明

時(shí)間復(fù)雜度是體現(xiàn)算法性能的關(guān)鍵因素，它反映了算法的運(yùn)算效率.文獻(xiàn)[24]和文獻(xiàn)[25]分別對(duì)蝴蝶優(yōu)化算法和螢火蟲算法的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行了分析，本文采用同樣的思想對(duì)H-JAYA算法的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行分析.

對(duì)于群智能優(yōu)化算法而言，當(dāng)算法的進(jìn)化代數(shù)和種群大小取值在一個(gè)合理范圍內(nèi)時(shí)，再增加進(jìn)化代數(shù)和種群大小的值，對(duì)提高算法的尋優(yōu)能力和求解精度已基本沒有作用，因此將迭代次數(shù)和種群規(guī)模設(shè)置為一個(gè)固定值是群智能優(yōu)化算法求解問題時(shí)普遍采用的方法，而決定算法時(shí)間復(fù)雜度的基本要素就是代表問題規(guī)模的個(gè)體空間維度.

在基本JAYA算法中，若種群規(guī)模為N，個(gè)體位置的維度為n，設(shè)：設(shè)置初始參數(shù)的時(shí)間為t0，初始化JAYA算法個(gè)體位置中每一維的時(shí)間為t1，求給定目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值的時(shí)間為f(n).則初始化種群階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

進(jìn)入迭代后，總迭代次數(shù)為Max_iter.

在個(gè)體位置更新階段，設(shè)：根據(jù)種群中個(gè)體的適應(yīng)度值找出并記錄最好和最差個(gè)體位置的時(shí)間為t2，產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)r1、r2的時(shí)間分別為t3，由式(1)對(duì)個(gè)體位置每一維進(jìn)行更新的時(shí)間為t4.則該階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

在邊界處理和新舊解比較階段，設(shè)：每個(gè)個(gè)體每一維邊界處理的時(shí)間為t5，計(jì)算新個(gè)體適應(yīng)度值的時(shí)間為 f(n)，新舊解適應(yīng)度值的比較替換的時(shí)間為t6，則此階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

綜上所述，基本JAYA算法總的時(shí)間復(fù)雜度為：

在H-JAYA改進(jìn)算法中，算法的種群規(guī)模N、個(gè)體維度n、參數(shù)設(shè)置時(shí)間、初始化種群和求給定目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值的時(shí)間均與基本JAYA算法一致，兩者初始化過(guò)程一樣，因此H-JAYA算法在初始化種群階段的時(shí)間復(fù)雜度與基本JAYA算法相同，為：

進(jìn)入迭代后，總迭代次數(shù)仍為Max_iter.

根據(jù)種群中個(gè)體的適應(yīng)度值找出并記錄最好和最差個(gè)體位置的時(shí)間仍為t2，設(shè)：由式(2)求sign(η)的時(shí)間為 ε1，由式(3)、式(6)分別對(duì)最優(yōu)解、最差解進(jìn)行反向?qū)W習(xí)的時(shí)間均為ε2，分別對(duì)反向?qū)W習(xí)前后新舊最優(yōu)解、最差解進(jìn)行比較替換的時(shí)間均為ε3，用式 (13)產(chǎn)生接受概率p的時(shí)間為ε4，則這一階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

在迭代次數(shù)為奇數(shù)時(shí)的個(gè)體位置更新階段，設(shè)：由式 (12)產(chǎn)生m1的時(shí)間為ε5，m2、m3和轉(zhuǎn)換概率m4都是均勻分布的隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生它們的時(shí)間分別為t3，設(shè)m4<0.5執(zhí)行全局搜索的個(gè)體數(shù)k(0≤k≤N)，由式(9)對(duì)個(gè)體位置每一維進(jìn)行更新的時(shí)間為ε6；而m4≥0.5執(zhí)行局部搜索的個(gè)體數(shù)為N–k，此時(shí)，從種群中隨機(jī)選取兩個(gè)個(gè)體的時(shí)間為ε7，計(jì)算這兩個(gè)隨機(jī)選取個(gè)體適應(yīng)度值的時(shí)間分別為f(n)，比較這兩個(gè)個(gè)體適應(yīng)度值的時(shí)間為t6，用式(10)或(11)對(duì)個(gè)體位置進(jìn)行更新的時(shí)間為ε8，則這一階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

在迭代次數(shù)為奇數(shù)時(shí)的邊界處理和新舊解比較階段，每個(gè)個(gè)體每一維邊界處理的時(shí)間、計(jì)算更新后個(gè)體適應(yīng)度值的時(shí)間、新舊解適應(yīng)度值的比較替換時(shí)間均與基本JAYA算法在邊界處理和新舊解比較階段的時(shí)間一致，故該階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

在迭代次數(shù)為偶數(shù)時(shí)的個(gè)體位置更新階段，產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)r1、r2的時(shí)間分別為t3、由式(1)進(jìn)行每一維個(gè)體位置更新的時(shí)間仍為t4.故該階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

在迭代次數(shù)為偶數(shù)時(shí)的邊界處理和新舊解比較階段，每個(gè)個(gè)體每一維邊界處理的時(shí)間、計(jì)算更新后個(gè)體適應(yīng)度值的時(shí)間、新舊解適應(yīng)度值的比較替換時(shí)間均與迭代次數(shù)為奇數(shù)時(shí)的邊界處理和新舊解比較階段相同.故該階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

綜上所述，H-JAYA算法總的時(shí)間復(fù)雜度為：

由此可知，改進(jìn)算法H-JAYA和基本JAYA算法的時(shí)間復(fù)雜度相同，沒有降低算法的運(yùn)行效率.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了全面檢驗(yàn)改進(jìn)算法H-JAYA的尋優(yōu)能力，本文的仿真實(shí)驗(yàn)分為兩部分進(jìn)行.3.1節(jié)將算法在CEC2017測(cè)試函數(shù)集[26]上進(jìn)行多維度函數(shù)極值優(yōu)化測(cè)試，用以驗(yàn)證算法的尋優(yōu)性能與收斂能力.3.2節(jié)研究了6個(gè)具有挑戰(zhàn)性的工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題，用以檢驗(yàn)算法在不同類型工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上的求解能力和應(yīng)用潛力.兩部分實(shí)驗(yàn)都將本文算法H-JAYA與基本JAYA算法(2016)[13]、Improved JAYA Optimization Algorithm(IJAYA, 2017)[14]、Comprehensive Learning Jaya Algorithm（CLJAYA,2020）[22–23]、鯨魚優(yōu)化算法（WOA, 2016）[5]和 Hybrid Firefly and Particle Swarm Optimization Algorithm（HFPSO, 2018）[27]共 6 種性能優(yōu)越的代表性算法進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn).

為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性與客觀性，6種對(duì)比算法采用相同的軟、硬件平臺(tái)在相同條件下獨(dú)立運(yùn)行50次，運(yùn)行環(huán)境為Windows10、編程語(yǔ)言為MATLAB R2019a，種群大小均為30，最大進(jìn)化代數(shù)Max_iter=1000.算法參數(shù)設(shè)置方面，4種JAYA類算法無(wú)需另設(shè)參數(shù)，而WOA算法只需設(shè)置用于定義對(duì)數(shù)螺旋的常數(shù)b=1，HFPSO算法中學(xué)習(xí)因子c1與c2均為1.49445，這些參數(shù)的取值都與各自算法的原文獻(xiàn)和源代碼取值相同.

3.1 函數(shù)極值優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)

3.1.1 尋優(yōu)精度分析

本文對(duì)CEC2017測(cè)試集中30個(gè)函數(shù)都進(jìn)行了測(cè)試和分析，因篇幅限制下面只討論按序給出的混合測(cè)試函數(shù)f11(x)、f12(x)、f19(x)和f20(x)，組合測(cè)試函數(shù)f21(x)、f22(x)、f25(x)、f26(x)、f29(x)和f30(x)，其他函數(shù)的測(cè)試結(jié)果與之類似，不再一一贅述.

表1統(tǒng)計(jì)了6種算法分別在10維、50維和100維時(shí)，對(duì)于不同測(cè)試函數(shù)各自獨(dú)立運(yùn)行50次，得到的最佳值、平均值和方差.

由表1的數(shù)據(jù)可以看出，除個(gè)別函數(shù)外，改進(jìn)算法H-JAYA在各函數(shù)不同維度下的求解精度和穩(wěn)定性均明顯優(yōu)于其他5種對(duì)比算法，顯示出HJAYA算法對(duì)于JAYA機(jī)制改進(jìn)的顯著性和有效性.

表1 (續(xù))Table 1 (Continued)

表1 6 種算法在固定迭代次數(shù)下的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 1 Comparison of the optimization results of six representative algorithms under fixed iteration times

在10維條件下，對(duì)于函數(shù)f11(x)、f19(x)和f20(x)，H-JAYA在這3個(gè)函數(shù)上的尋優(yōu)結(jié)果最佳值均為理論最優(yōu)值，求解效果十分出色；CLJAYA、IJAYA、JAYA、HFPSO和WOA算法的最佳值、平均值和方差都差于H-JAYA算法.對(duì)于函數(shù)f11(x)、f26(x)、f29(x)和f30(x)，H-JAYA在這4個(gè)函數(shù)上的最佳值、平均值和方差雖未達(dá)到理論最優(yōu)值，但全部?jī)?yōu)于其他5種算法，求解能力明顯突出和優(yōu)越.對(duì)于函數(shù)f21(x)，H-JAYA的最佳值與CLJAYA算法相同，優(yōu)于其他4種算法，平均值與CLJAYA、IJAYA、HFPSO和WOA算法相同，優(yōu)于基本JAYA算法，而且方差是6種算法中最小的.對(duì)于函數(shù)f22(x)，H-JAYA的最佳值與IJAYA算法相同，略遜于WOA、JAYA和CLJAYA算法，優(yōu)于HFPSO算法，平均值與IJAYA算法相同，略遜于CLJAYA算法，優(yōu)于其他3種算法，方差略遜于IJAYA算法，優(yōu)于其他4種算法.對(duì)于函數(shù)f25(x)，H-JAYA的最佳值和平均值均優(yōu)于其他5種算法，方差略遜于其他5種算法.

在50維和100維的高維條件下，6種算法的求解精度都會(huì)隨著維度的增加有所降低，但相較于其他5種算法，H-JAYA算法仍表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.在50維條件下，對(duì)于函數(shù)f11(x)、f12(x)、f19(x)、f21(x)、f25(x)和f30(x)， H-JAYA 在 這6個(gè)函數(shù)上的最佳值、平均值和方差都優(yōu)于其他5種算法.對(duì)于函數(shù)f22(x)，H-JAYA的最佳值和平均值都優(yōu)于其他5種算法，方差略遜于其他5種算法.對(duì)于函數(shù)f20(x)、f26(x)和f29(x)，H-JAYA 在這3個(gè)函數(shù)上的最佳值略遜于HFPSO算法，優(yōu)于其他4種算法，平均值和方差優(yōu)于5種對(duì)比算法.在100 維條件下，對(duì)于函數(shù)f11(x)、f12(x)、f19(x)、f20(x)、f21(x)、f25(x)、f29(x)和f30(x),H-JAYA在這 8個(gè)函數(shù)上的最佳值、平均值和方差均優(yōu)于其他5種算法，表現(xiàn)出優(yōu)越的高維求解能力.對(duì)于函數(shù)f22(x)，HJAYA的最佳值和平均值都優(yōu)于其他5種算法，方差略遜于其他5種算法.對(duì)于函數(shù)f26(x)，H-JAYA的最佳值和平均值略遜于HFPSO算法，但方差優(yōu)于該算法，而且H-JAYA的最佳值、平均值和方差均優(yōu)于其他4種算法.

以上求解結(jié)果和分析表明，相比于5種尋優(yōu)性能較為優(yōu)秀的代表性對(duì)比算法，H-JAYA算法整體呈現(xiàn)出更為優(yōu)越的求解性能，較好解決了JAYA算法在求解復(fù)雜函數(shù)全局優(yōu)化時(shí)易陷入局部極值、尋優(yōu)性能不穩(wěn)定，尋優(yōu)精度不高的問題.

3.1.2 收斂曲線分析

一個(gè)算法性能的優(yōu)劣，可以直觀地通過(guò)收斂曲線展現(xiàn)出來(lái)，收斂曲線顯示了算法在尋優(yōu)過(guò)程中陷入局部最優(yōu)的次數(shù)和收斂速度.下面給出對(duì)于 3.1.1節(jié)f21(x)、f22(x)、f25(x)、f26(x)、f29(x)和f30(x)共6個(gè)求解難度較大的組合函數(shù)的收斂曲線圖，其他函數(shù)的收斂曲線對(duì)比結(jié)果與之相似，不再一一贅述.圖1是6種算法在維度D=100時(shí)對(duì)于這6個(gè)函數(shù)的收斂曲線對(duì)比圖.

圖1 收斂曲線.(a) f21(x); (b) f22(x); (c) f25(x); (d) f26(x); (e) f29(x); (f) f30(x)Fig.1 Convergence curves: (a) f21(x); (b) f22(x); (c) f25(x); (d) f26(x); (e) f29(x); (f) f30(x)

以上圖1清晰地展現(xiàn)了H-JAYA、JAYA、CLJAYA、IJAYA、WOA和HFPSO算法在進(jìn)化過(guò)程中適應(yīng)度值的變化趨勢(shì).從這些圖中可以看出HJAYA收斂速度快于其他5種算法，且收斂曲線也總體比較光滑，陷入局部極值的次數(shù)較少，尋優(yōu)能力較強(qiáng).

在圖1(a)中，CLJAYA和WOA算法收斂速度一直慢于JAYA，更明顯慢于H-JAYA；IJAYA在迭代前期收斂速度略慢于JAYA，160代以后則快于JAYA，但一直明顯慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度在迭代前期與JAYA互有快慢，260代以后則快于JAYA，且在迭代早期快于H-JAYA，但在60代以后明顯慢于H-JAYA.在圖1(b)中，CLJAYA收斂速度在迭代前期與JAYA十分相近，在480代以后快于JAYA，但始終明顯慢于H-JAYA；IJAYA收斂速度一直快于JAYA，且在迭代前期略快于H-JAYA，但在280代以后明顯慢于H-JAYA；WOA收斂速度一直明顯快于JAYA，且在迭代前期快于H-JAYA，但在300代以后，隨著H-JAYA收斂速度加快，WOA已明顯慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度一直快于JAYA，且在迭代前期快于H-JAYA，但在290代以后則明顯慢于H-JAYA.在圖1(c)中，CLJAYA收斂速度前期快于JAYA，但在170代以后慢于JAYA，更是一直明顯慢于H-JAYA；IJAYA收斂速度在迭代前期慢于JAYA，570代以后快于JAYA，但一直明顯慢于H-JAYA；WOA收斂速度一直明顯快于JAYA，且在迭代早期與H-JAYA相近，但在50代以后隨著H-JAYA收斂速度加快，WOA慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度在迭代前期與JAYA相近，在200代以后明顯快于JAYA，但始終慢于H-JAYA.在圖1(d)中，CLJAYA和WOA算法收斂速度慢于JAYA，更明顯慢于H-JAYA；IJAYA和HFPSO算法收斂速度快于JAYA，但明顯慢于HJAYA.在圖1(e)中，CLJAYA收斂速度在迭代前期快于JAYA，460代以后卻相近并最終慢于JAYA，更是始終慢于H-JAYA；IJAYA收斂速度在迭代前期與JAYA快慢交替基本相近，530代以后則快于JAYA，但一直慢于H-JAYA；WOA收斂速度從迭代開始到880代一直快于JAYA，880代以后與H-JAYA相近，但始終慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度在迭代前期慢于JAYA，100代以后則快于JAYA，但一直慢于H-JAYA.在圖1(f)中，CLJAYA收斂速度慢于JAYA，更明顯慢于H-JAYA；IJAYA、WOA和HFPSO算法收斂速度一直快于JAYA，但都慢于H-JAYA.

綜上所述，本文提出的H-JAYA算法在低、中、高三種維度下對(duì)于具有較高求解難度的CEC-2017測(cè)試函數(shù)集都有較好的尋優(yōu)性能，其求解精度、收斂速度和尋優(yōu)穩(wěn)定性均優(yōu)于JAYA、CLJAYA、IJAYA、WOA和HFPSO等5種代表性對(duì)比算法，表現(xiàn)出較為顯著的求解優(yōu)越性.

3.1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法H-JAYA與其他對(duì)比算法在實(shí)驗(yàn)結(jié)果上的差異具有顯著性，進(jìn)一步評(píng)價(jià)算法的尋優(yōu)性能，采用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法–Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.表2給出了對(duì)于CEC2017測(cè)試函數(shù)集套件，H-JAYA分別與其他對(duì)比算法在D=100時(shí)求解3.1.1節(jié)具有代表性的10個(gè)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果.其中，用符號(hào)“+”、“–”和“=”分別表示H-JAYA的尋優(yōu)結(jié)果優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于其他對(duì)比算法.由文獻(xiàn)[28]可知，那些p<0.05的結(jié)果就可被認(rèn)為是拒絕零假設(shè)具有顯著性的有力驗(yàn)證.

從表2的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，改進(jìn)算法H-JAYA與JAYA、IJAYA、CLJAYA、WOA和HFPSO算法相比，在全部10個(gè)函數(shù)上的檢驗(yàn)p值都小于0.05且符號(hào)為“+”，拒絕零假設(shè).由此可見，H-JAYA與其他5種對(duì)比算法的計(jì)算結(jié)果之間具有顯著差異，且H-JAYA顯著更優(yōu).

表2 各算法求解 CEC2017 測(cè)試集套件 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的 p 值Table 2 p-value for Wilcoxon’s rank-sum test on each algorithm used to solve the CEC2017 test suite

3.2 H-JAYA 求解工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題

為了檢驗(yàn)改進(jìn)算法H-JAYA求解工程約束優(yōu)化問題的能力，將H-JAYA算法和上述5種代表性對(duì)比算法應(yīng)用于拉伸彈簧、波紋艙壁、管柱設(shè)計(jì)、鋼筋混凝土梁、焊接梁和汽車側(cè)面碰撞6個(gè)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.這6個(gè)工程問題具有各自不同的約束條件和求解難度，能夠很好地測(cè)試出各算法求解工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的能力和適用性.在求解這些工程優(yōu)化問題時(shí)，將每種算法獨(dú)立運(yùn)行50次，得到設(shè)計(jì)結(jié)果的最佳值、平均值和方差作為評(píng)價(jià)各算法求解能力的指標(biāo).

3.2.1 求解拉伸彈簧設(shè)計(jì)問題

拉伸彈簧設(shè)計(jì)是一個(gè)最小化約束問題，其目的是設(shè)計(jì)一種重量最輕且滿足撓度、剪切應(yīng)力、波動(dòng)頻率、外徑4個(gè)約束條件的拉伸彈簧.該問題包含3個(gè)設(shè)計(jì)變量，分別是線徑x1(0.05≤x1≤2.00)、平均線圈直徑x2(0.25≤x2≤1.30)、活性線圈數(shù)量x3(2.00≤x3≤15.0).該設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型如下：

表3是改進(jìn)算法H-JAYA和其他5種對(duì)比算法各自獨(dú)立運(yùn)行50次求解拉伸彈簧設(shè)計(jì)問題得到的最佳值、平均值和方差.從表中數(shù)據(jù)可以看出，H-JAYA算法的最佳值、平均值和方差都優(yōu)于其他5種算法，表現(xiàn)出較優(yōu)的求解能力和穩(wěn)定性.

表3 6種算法求解拉伸彈簧設(shè)計(jì)問題的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 3 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the tension/compression spring design problem

3.2.2 求解波紋艙壁設(shè)計(jì)問題

波紋艙壁設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)是最小化波紋艙壁的重量，該問題包含6個(gè)約束條件和4個(gè)設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)變量分別是波紋艙壁的寬度x1(0≤x1≤100)、波紋艙壁的高度x2(0≤x2≤100)、波紋艙壁的長(zhǎng)度x3(0≤x3≤100)、波紋艙壁的厚度x4(0≤x4≤5)，其數(shù)學(xué)模型如下：

表4是6種算法50次求解波紋艙壁設(shè)計(jì)問題得到的最佳值、平均值和方差.由表中數(shù)據(jù)可知，H-JAYA算法的最佳值與IJAYA、CLJAYA算法相同，且優(yōu)于其余3種算法，而平均值和方差則優(yōu)于所有5種對(duì)比算法，表現(xiàn)出更好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.

表4 6種算法求解波紋艙壁設(shè)計(jì)問題的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 4 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the corrugated bulkhead design problem

3.2.3 求解管柱設(shè)計(jì)問題

管柱設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)是以最低成本設(shè)計(jì)一個(gè)均勻的管狀截面柱來(lái)承載壓縮載荷，該設(shè)計(jì)問題包含6個(gè)約束條件和2個(gè)設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)變量分別為管柱的平均直徑x1(2≤x1≤14)，管壁的厚度x2(0.2≤x2≤0.8)，其數(shù)學(xué)模型如下：

其中：管柱彈性模量E=0.85×106，屈服強(qiáng)度 σy=500.

表5是6種算法求解管柱設(shè)計(jì)問題時(shí)得到的最佳值、平均值和方差.由表中數(shù)據(jù)可以清楚地看出，H-JAYA算法的最佳值與CLJAYA相同，且優(yōu)于其余4種算法，而平均值和方差則優(yōu)于其他全部5種算法，展現(xiàn)出更為優(yōu)越的尋優(yōu)能力和求解穩(wěn)定性.

表5 6種算法求解管柱設(shè)計(jì)問題的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 5 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the tubular column design problem

3.2.4 求解鋼筋混凝土梁設(shè)計(jì)問題

鋼筋混凝土梁是用鋼筋混凝土材料制成的梁，其形式多種多樣，是房屋建筑、橋梁建筑等工程結(jié)構(gòu)中最基本的承重構(gòu)件，應(yīng)用范圍極廣.該問題的目標(biāo)是以最低成本設(shè)計(jì)一個(gè)有最大承載力的鋼筋混凝土梁，問題中包含2個(gè)約束條件和3個(gè)變量，這些變量分別是鋼筋的面積梁的長(zhǎng)度其數(shù)學(xué)模型如下：

表6統(tǒng)計(jì)了6種算法運(yùn)行50次求解鋼筋混凝土梁設(shè)計(jì)問題得到的最佳值、平均值和方差.由表中數(shù)據(jù)可知，H-JAYA算法求得的最佳值、平均值和方差都是6種算法中最好的，求解性能更加出色.

表6 6種算法求解鋼筋混凝土梁?jiǎn)栴}的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 6 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the reinforced concrete beam design problem

3.2.5 求解焊接梁設(shè)計(jì)問題

焊接梁設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在剪切應(yīng)力、彎曲應(yīng)力、屈曲載荷、端部撓度和側(cè)面約束下找到最低制造成本.該問題有7個(gè)約束條件和4個(gè)設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)變量分別是焊縫厚度x1(0.125≤x1≤2)、焊縫長(zhǎng)度x2(0.1≤x2≤10)、梁寬度x3(0.1≤x3≤10)、梁厚度x4(0.1≤x4≤2)，剪切應(yīng)力τ，橫梁彎曲應(yīng)力σ，屈曲載荷Pc，橫梁撓度δ以及各設(shè)計(jì)變量之間的尺寸約束，具體數(shù)學(xué)模型如下：

表7統(tǒng)計(jì)了6種算法求解焊接梁設(shè)計(jì)問題得到的最佳值、平均值和方差.觀察表中數(shù)據(jù)可以看出，改進(jìn)算法H-JAYA的最佳值、平均值和方差都是6種算法最好的，而且H-JAYA算法50次尋優(yōu)結(jié)果的最佳值與文獻(xiàn)[29]中給出的最優(yōu)值相同，達(dá)到理論最優(yōu)，求解效果相當(dāng)出色.

表7 6種算法求解焊接梁設(shè)計(jì)問題的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 7 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the welded beam design problem

3.2.6 求解汽車側(cè)面碰撞設(shè)計(jì)問題

汽車側(cè)面碰撞設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)是研究車門部件對(duì)汽車側(cè)面碰撞安全性的影響，通過(guò)改進(jìn)汽車的結(jié)構(gòu)，以最大限度地提高汽車的碰撞安全性，從而降低交通事故的傷害.該問題包括11個(gè)設(shè)計(jì)變量和10個(gè)約束條件，設(shè)計(jì)變量分別是B柱的內(nèi)板厚度x1(0.5≤x1≤1.5)、B柱的加強(qiáng)板厚度x2(0.5≤x2≤1.5)、車頂橫梁長(zhǎng)度x3(0.5≤x3≤1.5)、B柱的外板材料屈服強(qiáng)度x4(0.5≤x4≤1.5)、門檻梁長(zhǎng)度x5(0.5≤x5≤1.5)、抗側(cè)撞梁長(zhǎng)度x6(0.5≤x6≤1.5)、車頂邊梁長(zhǎng)度x7(0.5≤x7≤1.5)、B柱的內(nèi)板材料屈服強(qiáng)度x8(x8∈{0.192,0.345})、車底部橫梁長(zhǎng)度x9(x9∈{0.192,0.345})、碰撞位置最小角度x10(x10≥?30)、碰撞位置最大角度x11(x11≤30)，具體數(shù)學(xué)模型如下：

表8統(tǒng)計(jì)了6種算法50次求解汽車側(cè)面碰撞設(shè)計(jì)問題得到的尋優(yōu)結(jié)果最佳值、平均值和方差.從表中數(shù)據(jù)可以看出，H-JAYA算法的最佳值、平均值和方差都是6種算法最好的，表現(xiàn)出優(yōu)越的求解能力和穩(wěn)定性.

表8 6種算法求解汽車側(cè)面碰撞問題的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 8 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the car side impact design problem

以上求解結(jié)果分析以及相關(guān)文獻(xiàn)[30–32]的求解結(jié)果都表明，智能優(yōu)化算法對(duì)于求解工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題是有效的，而本文所使用的代表性對(duì)比算法在求解工程問題時(shí)都具有良好的求解性能，其中改進(jìn)算法H-JAYA在面對(duì)不同類型和復(fù)雜程度的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)，更是展現(xiàn)出十分優(yōu)越的求解精度和穩(wěn)定性，對(duì)于求解工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題有著明顯可見的優(yōu)越性和適用性.

4 結(jié)論

本文提出一種面向全局優(yōu)化的混合進(jìn)化JAYA算法H-JAYA，在最優(yōu)和最差個(gè)體位置中引入反向?qū)W習(xí)機(jī)制，增強(qiáng)了算法跳離局部極值區(qū)域的能力；引入正弦余弦算子和差分?jǐn)_動(dòng)機(jī)制對(duì)個(gè)體位置進(jìn)行更新，不僅增加了種群的多樣性，而且較好平衡了算法的全局探索和局部挖掘能力；在算法結(jié)構(gòu)上采用奇偶不同的混合進(jìn)化策略，使算法的收斂性和精度得到了進(jìn)一步提高.理論分析證明該算法的時(shí)間復(fù)雜度與基本JAYA算法相同，沒有降低執(zhí)行效率.將H-JAYA算法應(yīng)用于CEC 2017復(fù)雜函數(shù)的全局優(yōu)化求解中，其50次運(yùn)行得到的尋優(yōu)結(jié)果最佳值、平均值和方差明顯優(yōu)于其他5種性能優(yōu)越的代表性對(duì)比算法；而Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)則驗(yàn)證了H-JAYA算法與各對(duì)比算法之間的優(yōu)勢(shì)差異具有顯著性.最后，將該算法成功運(yùn)用于6個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，取得了很好的優(yōu)化效果.上述研究表明，H-JAYA算法可以獲得更好的全局搜索和局部搜索能力，算法的尋優(yōu)能力具有明顯的優(yōu)越性，求解全局復(fù)雜函數(shù)和工程設(shè)計(jì)約束優(yōu)化問題有著顯著的可行性和有效性.在后續(xù)的研究中，考慮將改進(jìn)的JAYA算法應(yīng)用到更多實(shí)際問題求解中，以進(jìn)一步驗(yàn)證算法性能，完善算法的改進(jìn)機(jī)制，拓寬和提高算法的應(yīng)用領(lǐng)域與能力.