程曉云，王軍濤，楊青，侯亞軍

BCK-代數(shù)的穩(wěn)定化子

程曉云1，王軍濤2*，楊青1，侯亞軍1

（1.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077； 2.西安石油大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710065）

引入了BCK-代數(shù)的穩(wěn)定化子概念，給出了其相關(guān)性質(zhì)，重點(diǎn)研究了左穩(wěn)定化子與正則理想之間的關(guān)系。進(jìn)一步，引入了BCK-代數(shù)的相對穩(wěn)定化子概念，討論了相對穩(wěn)定化子與正則理想、固執(zhí)理想及布爾理想之間的關(guān)系。借助左相對穩(wěn)定化子，證明了BCK-代數(shù)的所有理想之集構(gòu)成一個(gè)相對偽補(bǔ)格。

BCK-代數(shù)；穩(wěn)定化子；相對穩(wěn)定化子；理想；相對偽補(bǔ)格

0　引言

邏輯代數(shù)是與模糊邏輯對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，BCK-代數(shù)對應(yīng)BCK-邏輯系統(tǒng)［1］。BCK-代數(shù)是與眾多邏輯代數(shù)密切相關(guān)的一類重要代數(shù)系統(tǒng)。例如，正定關(guān)聯(lián)BCK-代數(shù)范疇等價(jià)于Hilbert代數(shù)；MV-代數(shù)范疇等價(jià)于有界可換BCK-代數(shù)；BL-代數(shù)范疇等價(jià)于特殊的BCK-代數(shù)，即Iséki代數(shù)等［2-3］。

穩(wěn)定化子是邏輯代數(shù)的重要子結(jié)構(gòu)，其概念來源于不動點(diǎn)理論，引入穩(wěn)定化子有助于更好地研究邏輯代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)［4-10］。HAVESHIKI等［4-5］將穩(wěn)定化子和相對穩(wěn)定化子的概念引入BL-代數(shù)，給出了BL-代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并討論了穩(wěn)定化子與幾類濾子之間的關(guān)系。SAEID等［6］研究了剩余格上的穩(wěn)定化子理論，討論了相對穩(wěn)定化子與幾類濾子之間的關(guān)系，并通過穩(wěn)定化子構(gòu)造了商剩余格。隨后，HAVESHKI［7］進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化了相關(guān)結(jié)論。WANG等［8］將蘊(yùn)涵穩(wěn)定化子和乘穩(wěn)定化子引入MTL-代數(shù)，刻畫了幾類特殊的MTL-代數(shù)，并證明了右蘊(yùn)涵穩(wěn)定化子與右乘穩(wěn)定化子序同構(gòu)。

受上述研究啟發(fā)，本文將邏輯代數(shù)的穩(wěn)定化子理論應(yīng)用于BCK-代數(shù)，引入BCK-代數(shù)的穩(wěn)定化子和相對穩(wěn)定化子概念，給出BCK-代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；考慮到理想是BCK-代數(shù)的重要子結(jié)構(gòu)，本文重點(diǎn)研究穩(wěn)定化子、相對穩(wěn)定化子與BCK-代數(shù)理想之間的關(guān)系，得到BCK-代數(shù)的全體理想之集結(jié)構(gòu)。

1　預(yù)備知識

2　BCK-代數(shù)的穩(wěn)定化子

表1　二元運(yùn)算“”的定義

（5）顯然成立。

（6）可由（2）證得。

（8）可由（2）證得。

（2）和（3）可由（1）證得。

3　BCK-代數(shù)的相對穩(wěn)定化子

（3）可由（2）證得。

（5）可由（4）證得。

（7）和（8）可由相對穩(wěn)定化子的定義證得。

證明 （1）由正則理想的定義易證得。

表2　二元運(yùn)算“”的定義

4　結(jié)論

通過BCK-代數(shù)的穩(wěn)定化子這一重要子結(jié)構(gòu)，研究了BCK-代數(shù)的理想和結(jié)構(gòu)，研究結(jié)果具有一定的理論意義。所得結(jié)論在一定程度上拓展了BCK-代數(shù)的理想理論，豐富了邏輯代數(shù)穩(wěn)定化子的研究內(nèi)容。

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Stabilizers in BCK-algebras

CHENG Xiaoyun1, WANG Juntao2, YANG Qing1, HOU Yajun1

1，，710077，；2，，710065，）

In this paper, we introduce the notion of stabilizers in BCK-algebras and investigate the related properties of them. We focus on the study of the relationship between left stabilizers and normal ideals. Further, we introduce the concept of relative stabilizers in BCK-algebras and deliver the relationship between relative stabilizers and normal ideals, obstinate ideals and Boolean ideals. Finally, by use of the left relative stabilizers we prove that the set of all ideals in a BCK-algebra constructs a relative pseudo-complemented lattice.

BCK-algebra; stabilizer; relative stabilizer; ideal; relative pseudo-complemented lattice

O 155

A

1008?9497（2023）01?020?05

2021?11?09.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12001423，11961016）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（2020JQ-762，2021JQ-580，2021JQ-579，2022JM-014）；陜西省教育廳自然科學(xué)研究專項(xiàng)計(jì)劃（20JK0626）；西安航空學(xué)院校級科研項(xiàng)目（2020KY0206）；西安航空學(xué)院博士科研啟動基金項(xiàng)目.

程曉云（1978—），ORCID： https：//orcid.org/0000-0002-4047-0504，女，博士，副教授，主要從事邏輯代數(shù)及超代數(shù)研究.

通信作者，ORCID： https：//orcid.org/0000-0002-0337-9517，E-mail：wjt@xsyu.edu.cn.