江蘇省大豐高級中學(xué) (224100) 姜興榮

數(shù)列中的探索性問題是近年高考中比較常見的一類創(chuàng)新性問題，借助創(chuàng)新情境設(shè)置，結(jié)合條件探索、結(jié)論探索、存在探索等不同類型來合理設(shè)置，根據(jù)數(shù)列中的定義、通項(xiàng)公式、求和公式以及相關(guān)性質(zhì)等加以變形與應(yīng)用，合理變形，巧妙放縮，從條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、運(yùn)算、歸納、類比、猜想來剖析與轉(zhuǎn)化，大膽的猜想，總結(jié)規(guī)律，能較好達(dá)到創(chuàng)新能力培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).

1.條件探索性問題

數(shù)列中條件探索性問題的基本特征是：針對一個確定的結(jié)論，條件未知需探求，或條件增刪需確定，或條件正誤需判定等.解決此類數(shù)列中條件探索性問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件.特別注意，在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤就是沒有充分考慮推理過程是否可逆，誤將必要條件當(dāng)作充分條件.

例1 已知函數(shù)f(x)=logkx(k為常數(shù)，k>0且k≠1).

(1)在下列條件中選擇一個，使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并說明理由；

①數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；

②數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；

③數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.

分析：(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合不同條件建立對應(yīng)的f(an)的關(guān)系式，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與變形來分析；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論與對應(yīng)的條件，確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式的裂項(xiàng)相消法進(jìn)行數(shù)列求和.

點(diǎn)評：涉及數(shù)列中的條件探索性問題，根據(jù)不同條件加以合理推理與轉(zhuǎn)化，通過數(shù)列中定義、公式、性質(zhì)等的應(yīng)用來分析與運(yùn)算.此類條件探索性類問題，可以通過數(shù)列中的不同條件來分析對應(yīng)的結(jié)論，也可以通過數(shù)列中的確定結(jié)論來反推滿足題意的條件等.

2.結(jié)論探索性問題

數(shù)列中結(jié)論探索性問題的基本特征是：有確定的條件，而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要加以確定.解決此類數(shù)列中結(jié)論探索性問題的基本策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論.在探索結(jié)論的過程中，常?？上葟奶厥馇樾稳胧郑ㄟ^觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，歸納出相應(yīng)的結(jié)論，再就一般的情形加以論證即可.

例2 已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=4，an+1=3Sn+4(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析：(1)結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，合理變形，結(jié)合等比數(shù)列的定義確定數(shù)列類型，進(jìn)而確定對應(yīng)的通項(xiàng)公式；(2)通過(1)的結(jié)論以及條件中關(guān)系式確定bn的關(guān)系式，利用通項(xiàng)公式的錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，借助不等式的放縮法來確定大小關(guān)系問題.

點(diǎn)評：涉及數(shù)列中的結(jié)論探索性問題，需要先得出一個結(jié)論，再進(jìn)行證明.特別涉及數(shù)列中含有兩個變量的問題，“變量歸一”是常用的解題思想，一般把其中的一個變量轉(zhuǎn)化為另一個變量，根據(jù)題目條件，確定變量的值.特別，當(dāng)遇到數(shù)列中的比較大小問題時可以采用構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，也可利用數(shù)列放縮加以變形轉(zhuǎn)化，這都是解決這些相關(guān)問題中比較常用的方法.

3.存在探索性問題

數(shù)列中存在探索性問題的基本特征是：要判斷在某些確定的條件下，某一數(shù)列對象(首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、參數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.解決此類數(shù)列中存在探索性問題的基本策略是：假定題中的數(shù)列對象存在或結(jié)論成立，有時也可以暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.在這個過程中，反證法在探索解題中起著至關(guān)重要的作用.

已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析：(1)根據(jù)條件的選擇，從不同角度，結(jié)合不同數(shù)列類型加以變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論與對應(yīng)的條件來確定bn的關(guān)系式，利用作差比較法進(jìn)行合理變形，通過項(xiàng)數(shù)n的取值情況確定數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)，進(jìn)而確定數(shù)列的存在性問題.

點(diǎn)評：遇到數(shù)列中的多個變量的存在性問題，一般先假設(shè)存在性成立，求出滿足條件的關(guān)系，再進(jìn)一步尋找滿足的條件即可；而根據(jù)條件推出矛盾則說明不存在.破解此類問題一般可以利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、重要不等式、函數(shù)的值域或取值范圍等的判斷來確定對應(yīng)的存在性問題.

處理數(shù)列中的探索性問題，應(yīng)充分利用已知條件或?qū)?yīng)的結(jié)論，合理根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)透徹分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜想條件或結(jié)論或存在性等，經(jīng)常綜合不等式的性質(zhì)(包括放縮法等)、函數(shù)的性質(zhì)等加以合理運(yùn)算與推理，從而得以解決探索性問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與創(chuàng)新能力，綜合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的應(yīng)用，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).