熱依扎·塔斯恒，魏蔚，畢拉力，馬曉棟

（新疆師范大學 物理與電子工程學院 新疆發(fā)光礦物與光功能材料研究重點實驗室，新疆 烏魯木齊 830054）

文章研究2019年第32屆國際青年物理學家錦標賽（International Young Physicists′Tournament，簡稱IYPT）的第五題——填充瓶子。題目內容為：當垂直的水柱進入瓶子時，可能會產生聲音，并且隨著瓶子被填充，聲音的特性會改變。探究此系統(tǒng)的相關參數(shù)，如水柱的速度與尺寸，瓶子的大小與形狀和水溫等對聲音的影響［1］。

IYPT的賽題是開放的，也是中國大學生物理學術競賽（China Undergraduate Physics Tournament，簡稱CUPT）和中國高中生物理創(chuàng)新競賽（China Young Physicists′Tournament，簡稱CYPT）各省直轄市自治區(qū)比賽、各地區(qū)比賽、全國總決賽共同采用的賽題。將開水灌入暖瓶的過程中，聽到的聲音越來越急促，這與日常生活關系密切，無論是中學生、還是大學生，都有極大興趣了解和探究這個問題。

目前，在文獻庫中有幾個關于介紹這個題目的實驗視頻，而缺少深入的理論研究。英國哥倫比亞大學的研究者在2004年建立了液體聲音的物理模型。他指出幾乎所有液體聲音都涉及大量的氣泡，利用統(tǒng)計模型構造了一個實時液體聲音合成器，用來激發(fā)大量氣泡以在實時參數(shù)控制下創(chuàng)造一個大范圍的液體音效［2］。在2018年的IYPT競賽中，出現(xiàn)了研究瓶子音調的題目，不同的是，它所研究的是向瓶內吹氣的聲音［3］。關于這個現(xiàn)象，目前最常見的解釋是空氣柱振動理論［4］。曾有研究者提出用聽覺辨別熱水和冷水的能力，這是因為熱水的粘度更小，如果用蜂蜜這個效果會明顯［5］。文章根據(jù)已有的理論知識預測，在灌水的過程中發(fā)出聲音是因為在瓶內空氣中形成了駐波；音調發(fā)生變化是因為駐波的頻率變化；文章探究空氣中形成的駐波情況，以及駐波頻率的變化主要與哪些因素有關。之前有很多學者對駐波的能量和頻率進行了多方的研究。蔣練軍［6］等得出駐波能量只在相鄰波腹和波節(jié)間流動的結論并論證了相鄰波節(jié)、波腹間的總能量守恒。向羅杰，劉東紅［7-8］等人研究了三維長方體空間內駐波方程及對應空間的頻率條件，并計算出人的聽覺范圍內能產生駐波的頻率值，討論了弦線上駐波產生條件并給出了弦的張力與駐波簡正模式頻率之間的關系。

為探究問題的答案，文章以垂直的水柱勻速逐漸進入水平放置的容器這一過程作為研究對象，采用控制變量法研究各種參量對聲音的影響，對該過程產生聲音的原因建立了理論公式，并對影響聲音頻率的各種因素進行了實驗測試，進行比較詳細和全面的實驗探究和理論解釋。

1 實驗裝置和理論基礎

1.1 實驗裝置介紹

圖1 實驗裝置

將長短不同的木條用塑料卡子搭接成一個木架，木架共有五層，如圖1（a）所示；選用直徑不同的圓柱形玻璃瓶子以考察瓶子的形狀對聲音的影響，把瓶子擺放在地面上，位于木架最底層，如圖1（b）所示；選用下水口半徑不同的漏斗以考察水柱的尺寸對聲音的影響，漏斗安放在木架的頂部一至三層，改變漏斗安放的位置，可以調節(jié)漏斗下水口與瓶口的距離以改變水柱的流速，從而考察水柱流速對聲音的影響，如圖1（c）所示。

1.2 實驗操作流程

對應做四組實驗。第一組考察水柱下落的流速的影響，用兩種不同的流速分別做兩次實驗；第二組考察玻璃瓶直徑的影響，用兩種不同的直徑分別做兩次實驗；第三組考察水柱尺寸的影響，用兩種不同的水柱尺寸分別做兩次實驗；第四組考察溫度的影響，用兩種不同溫度的水分別做兩次實驗。

用控制變量法，按一定的編排順序逐個改變四個相關參量，實驗共分為四個組（四組實驗對應四個擬變參量），每組均包含兩次實驗（每組的兩次實驗對應該組擬變參量的兩個取值），每次實驗重復5遍（以減小誤差）。

第一組：考察水柱下落的流速的影響。通過改變漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x來改變水柱的流速。第一次和第二次實驗中，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x分別為8cm和12cm.

第二組：考察玻璃瓶直徑的影響。第三次實驗和第四次實驗用的玻璃瓶的直徑分別是6.1 cm和6.8 cm.

第三組：考察水柱尺寸的影響。通過改變漏斗下水口的直徑改變水柱的尺寸。第五次實驗和第六次實驗采用的漏斗的下水口直徑分別是0.35cm和0.5 cm.

第四組：考察水柱溫度的影響。第七次實驗和第八次實驗中水柱的溫度分別是20℃和90℃。

每次實驗的具體操作流程如下：

（1）將漏斗置于木架的某一層，窄口向下。玻璃瓶放置在漏斗的正下方。

（2）把漏斗的下水口封住，往漏斗中注水，使水位到達一個預設的高度，并等待漏斗中的水完全靜止。

（3）在第0s時刻打開漏斗下水口，水柱自由落入玻璃瓶，從第3s開始，每隔一秒測量聲音的頻率，測到第12s，共10個數(shù)據(jù)，記錄這10個數(shù)據(jù)。需要注意：從打開漏斗下水口開始，就要持續(xù)向漏斗中補水以保持漏斗中的水位不變。在測完10個聲音頻率之前，玻璃瓶足以盛裝落下的水，水不會滿溢。再次封閉漏斗的下水口。

（4）至此，一遍實驗結束，將玻璃瓶和漏斗中的水都清空。將以上1～3的步驟重復5遍，5遍記為一次實驗。

（5）按編排順序逐一改變實驗參量重復上述1～4的步驟。依次類推，需做四組，共八次實驗。

1.3 理論基礎

在玻璃瓶被填充的過程中，下落的水柱引起水面振動，當水面振動時會引起瓶內空氣振動，由于水中所產生的機械振動來自各個方向，因此在瓶內空氣中所產生的振動也是各個方向的，從而產生許多雜亂無章的波，這些波在各個方向都會發(fā)生反射，但只有滿足駐波條件的波能夠加強從而被耳朵識別。這些聲波在傳播時，介質中稠密和稀疏的過程是絕熱的，即介質與毗鄰部分不會發(fā)生熱交換［9］。瓶內空氣的振動傳播到瓶口時又帶動瓶外空氣的振動，形成從瓶內到瓶外傳播的聲波，因此可以聽到聲音。

水面由于被撞擊而產生的振蕩是阻尼振蕩，阻尼振蕩的動力學方程為，其中k、γ和m分別是振動的恢復系數(shù)、阻力系數(shù)和振動物體的質量［10］。，其中，ω′是阻尼振動的圓頻率，而相當于阻力系數(shù)等于零時的簡諧振動圓頻率，.

當波從瓶內傳播到瓶外時，瓶外空氣原來是靜止的，由于慣性，其振動的強度總是小于瓶內空氣的振動強度。波的能量無法瞬間全部傳播到瓶外，瓶內向瓶外傳播的入射波，在到達瓶口時一部分出射到瓶外，一部分反射回瓶內。

圖2 駐波示意圖

如前所述，由于瓶內水面振動，從而在瓶內空氣中產生各種波長的波，其中，波長滿足、n=1,3,5…駐波條件的波，會在瓶口處形成波腹，其振幅最大，對瓶外空氣的影響也最大；波長滿足、n=2,4,6…駐波條件的波，會在瓶口處產生波節(jié)，其振幅最小，對瓶外空氣的影響也最小。凡波長不滿足上述兩種駐波條件（波腹或波節(jié)）的波，即波長不滿足條件

其在瓶口的振幅介于最大和最小之間，對瓶外空氣的影響也介于最大和最小之間。

采用EPIDATA3.0和SPSS22.0軟件進行數(shù)據(jù)管理與統(tǒng)計分析。采用描述性統(tǒng)計分析、內部一致性信度檢驗、Pearson相關性分析和多元線性階層回歸對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。檢驗標準為P<0.05。

從水柱中分散開來的各部分，對水面產生不同的破壞程度，產生各種不同頻率的振動，產生各種不同頻率的波，其中波長滿足條件=1,3,5...的波是容易測量到的波，并且n越小、波長越大的波越容易測量到，頻率大的波由于慣性對瓶外空氣的影響越小。

2 實驗探究和理論分析

用控制變量法分別對各參數(shù)對聲音頻率的影響進行探究，考慮水柱的流速、瓶子的直徑、水柱的尺寸、液體的溫度等四個參數(shù)，并且對實驗結果逐一進行理論解釋。

2.1 水柱的流速對聲音頻率的影響

采用相同直徑的瓶子，采用下水口直徑相同的漏斗，在相同的溫度下做兩次實驗。兩次實驗漏斗安放的高低不同，通過改變漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x來改變水柱的流速。第一次和第二次實驗中，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x分別為8cm和12cm.

表1 頻率隨時間的變化（漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x為8cm）

表2 頻率隨時間的變化（漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x為12cm）

從表1和表2均可以看出，隨著灌水時間的延續(xù)，頻率越來越大，聽到的聲音越來越急促，與日常生活中的經(jīng)驗相符合。這是因為水柱在水面產生各種波長不同的波，波長滿足條件、n=1,3,5...的駐波，在瓶口形成波腹，振幅最大，對瓶外空氣的影響最大，容易被測量到。隨著灌水時間的延續(xù)，瓶口到水面的距離L越來越小，滿足條件、n=1,3,5...的波長越來越小，聽到的聲音的頻率越來越大。

比較表1和表2可以看出，水柱的流速越大，聲音的頻率越小。這是因為水柱的流速越大，對水面的破壞程度越大，參與振動的水的質量m越大，一方面越小，越小，振動的周期越大；另一方面越小，越大，振動的周期越小。二者引起的結果相反，但阻力是被動力，β2相對于是次要因素，總體上振動的周期T′越大，振動的頻率越小。

2.2 容器的直徑對聲音的影響

用直徑不同的玻璃瓶、下水口相同的漏斗，在相同的溫度下做第三次實驗和第四次實驗。第三次實驗和第四次實驗用的玻璃瓶的直徑分別是6.1 cm和6.8 cm，漏斗安放的位置相同，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x相同。

表3 頻率隨時間的變化（玻璃瓶的直徑是6.1 cm）

表4 頻率隨時間的變化（玻璃瓶的直徑是6.8 cm）

比較表3和表4可以看出，玻璃瓶的直徑越大，聲音的頻率越小。但這個結論只是表面現(xiàn)象，因為水柱的流速相同而玻璃瓶的橫截面積不同。表3和表4中，在相同的時間點，兩個玻璃瓶水填充的程度不一樣，瓶口到水面的距離L不一樣，滿足條件、n=1,3,5…的情況不一樣。

為了嚴格地控制變量，應該在相同填充程度下，比較兩個玻璃瓶發(fā)出聲音的頻率。根據(jù)填充時間與玻璃瓶橫截面積成正比的關系可知，第三次實驗中，在3～12s的十個時間點上的瓶口到水面的距離，分別相當于第四次實驗中，時間為3.728s、4.971s、6.213s、7.456s、8.699s、9.941s、11.18s、12.43s、13.67s、14.91s時的瓶口到水面的距離。

分析表3和表4可以得出，在相同填充程度，聲音的頻率差別很小。例如，第四次實驗中10s時的填充程度，近似相當于第三次實驗中8s時的填充程度，對應的聲音頻率平均值分別為970.46和967.38；例如，第四次實驗中5s時的填充程度，近似相當于第三次實驗中4s時的填充程度，對應的聲音頻率平均值分別為785.75Hz和780.39Hz.

2.3 水柱的尺寸對聲音頻率的影響

采用直徑相同的玻璃瓶、下水口不同的漏斗，在相同的溫度下做第五次實驗和第六次實驗。第五次實驗和第六次實驗采用的漏斗的下水口直徑分別是0.35cm和0.5 cm，漏斗安放的位置相同，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x相同。

表5 頻率隨時間的變化（漏斗下水口直徑為0.35 cm）

表6 頻率隨時間的變化（漏斗下水口直徑為0.5cm）

比較表5和表6可以看出，漏斗下水口的直徑越大，水柱的直徑越大，聲音的頻率越小。

與第一次實驗和第二次實驗相同，水柱直徑越大的效果和水柱速度越大的效果，都是對水面的破壞程度越大，振動的周期T′越大，振動的頻率越小，理論分析結果是一致的。

與第一次實驗和第二次實驗不同，第一次實驗和第二次實驗的漏斗下水口直徑是一樣的，填充時間是一樣的，而第五次實驗和第六次實驗的填充時間不一樣。

如前所述，為了嚴格地控制變量，應該在相同填充程度下，比較兩個玻璃瓶發(fā)出聲音的頻率。根據(jù)填充時間與漏斗下水口截面積成反比的關系可知，第五次實驗中，在3～12s的十個時間點上的瓶口到水面的距離，分別相當于第六次實驗中，時間為1.46s、1.96s、2.45s、2.94s、3.43s、3.92s、4.41s、4.9s、5.39s、5.88s時的瓶口到水面的距離。

分析表5和表6可以得出，在相同填充程度的情況下，第六次實驗聲音的頻率比第五次實驗聲音的頻率小，而且它們的差別比從表5和表6直接看到的數(shù)據(jù)差別大。例如，第六次實驗中6s時的填充程度，近似相當于第五次實驗中12s時的填充程度，對應的聲音頻率平均值分別為461.83和667.85.即在相同填充程度，水柱直徑越大，頻率越小。

2.4 水的溫度對聲音頻率的影響

采用直徑相同的玻璃瓶、下水口直徑相同的漏斗，漏斗下水口到瓶頂?shù)木嚯x相同，在不同的溫度下做第七次實驗和第八次實驗。第七次實驗和第八次實驗的水的溫度分別為20℃和90℃.

表7 頻率隨時間的變化（溫度為20℃）

表8 頻率隨時間的變化（溫度為90℃）

比較表7和表8，可以看出，溫度越高，聲音的頻率越大。這是因為溫度越高，水的粘度越小［11-12］，振動的阻力系數(shù)γ越小，越小、越大，振動的周期越小，振動的頻率越大。

3 結語

文章研究“填充瓶子”這個大學生物理學術競賽題目，對水柱的流速、玻璃瓶的直徑、漏斗下水口的直徑、溫度4種參量對聲音的影響，進行了比較詳細、全面的實驗探究和理論解釋。這個問題是日常生活中常見的現(xiàn)象，看似簡單，但在其簡單現(xiàn)象的背后，存在比較復雜的物理機制，因此分析過程是比較曲折的。文章的理論分析，主要采用駐波和受迫振動的相關結論。采用控制變量法做實驗，在理論分析時，透過現(xiàn)象看本質，考慮駐波產生的條件，始終在相同填充程度下比較聲音的頻率，給出了前后自洽的理論解釋。反射波和入射波疊加形成駐波，反射的位置應該在瓶口附近有一個比較大的范圍，其中不同位置反射程度不同，是一個復雜的問題。文章采用相對簡單的模型，把反射位置確定在瓶口，給出了簡潔易懂的理論解釋。文章既有較完整的理論基礎知識和理論分析，也有相應的實驗方案和數(shù)據(jù)，對該題目做了較為全面和系統(tǒng)的分析和討論，希望對后續(xù)的該類競賽類題目在探討方法上有所啟發(fā)。研究的題目非常貼近日常生活，在指導學生對該題目研究的過程中，不斷激發(fā)學生做科學研究的興趣，引起學生對生活中細微之處的常見現(xiàn)象的觀察和思考，從而提高學生可持續(xù)的專業(yè)綜合能力培養(yǎng)，特別是實踐能力培養(yǎng)。還可以有效拓展學生的基本理論知識，使學生增長探索理論知識和實驗操作的能力；培養(yǎng)學生堅韌不拔的科研品格和堅定不移的科學態(tài)度，提高學生理論聯(lián)系實際和深入分析現(xiàn)象背后的理論依據(jù)的能力，使學生體會科學研究的思維方式和處理問題的方法；深化學生的創(chuàng)新活動和思維，學習新知識和應用新知識。希望在物理實踐教學和科普活動中發(fā)揮積極作用。