廣東省深圳市深圳科學(xué)高中 (518129)

馮廣軍 郭琳芳

2022年全國新高考Ⅰ卷第21題以雙曲線為載體，以圓錐曲線中定向問題與相關(guān)斜率之間的關(guān)系及三角形面積計(jì)算為切入點(diǎn)，考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).對(duì)于第一問，我們一般都是聯(lián)立直線與雙曲線方程來處理，但其實(shí)可以不必如此，因?yàn)闄E圓、雙曲線方程中已經(jīng)包含有兩種斜率形式，我們稍加變形便可以巧妙運(yùn)用.

一、橢圓、雙曲線中斜率的兩種表達(dá)形式

上述公式的證明非常簡單，只需要將兩點(diǎn)分別代入相應(yīng)方程，然后做差即可.它已經(jīng)利用到了橢圓或雙曲線的方程和直線與曲線的交點(diǎn)，因而應(yīng)用時(shí)無需再聯(lián)立直線與橢圓或雙曲線方程，非常實(shí)用，下面以兩個(gè)高考題為例來看看這個(gè)公式的應(yīng)用及推廣.

二、公式的應(yīng)用

事實(shí)上，根據(jù)對(duì)稱性，由①到②時(shí)，我們只需要將x1換成x2，y1換成y2即可，借此，我們可以比較快速的將上述問題一般化.

上述拓展都指向同一類型，定向問題，即直線的斜率為定值，若直線AP,AQ的斜率之和為非0常數(shù)λ，則此時(shí)直線l過定點(diǎn)，我們也很方便利用公式1或公式2求出相應(yīng)定點(diǎn)，

上述拓展皆可用公式1或公式2解決，此處省略推導(dǎo)過程.

三、反思與感悟

人教A版(2019版)教材第108頁例3和第121頁“探究”分別給出了橢圓和雙曲線的一種形成方式，這就提示我們：橢圓和雙曲線的軌跡既然可以用兩直線的斜率給出，那它們方程本身也應(yīng)該包含有斜率表達(dá)式，事實(shí)上，我們只需要將坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)換成關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)即可，總之，教材蘊(yùn)含無限寶藏，需要我們細(xì)細(xì)品味，慢慢開發(fā).