福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319)

周 丹

今年全國新高考語文Ⅰ卷作文圍繞了圍棋的“三手”展開：本手指合乎棋理的正規(guī)下法、妙手指出人意料的精妙下法、俗手指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法.對于初學者，要從本手開始，本手是基礎(chǔ)，只有把本手的功夫扎實了，棋力才會提高，才會有創(chuàng)造，才能下出妙手，如果不扎實基礎(chǔ)一味追求妙手，往往得不償失，下出俗手.解數(shù)學題，就如同下一盤棋，同樣需要扎實本手功夫，打好基礎(chǔ)知識，才能融匯貫通，提升能力，下出妙手.在考場上本手與妙手的區(qū)別往往體現(xiàn)在解題時間和解題技巧上，對數(shù)學思維的要求較高.本文以2022年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學試卷第11題為例進行探究，領(lǐng)略從本手到妙手進階.

一、試題呈現(xiàn)

試題已知O為坐標原點，點A(1，1)在拋物線C：x2=2py(p>0)上，過點B(0，-1)的直線交C于P，Q兩點，則( ).

A.C的準線為y=-1 B.直線AB與C相切

C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2

考查意圖：本題是一題多項選擇題，以拋物線為載體，以導數(shù)、向量、不等式為工具，考查了切線、不等式等知識，考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性.

二、“本手”保底

以上解法較為常規(guī)，只要夯實基礎(chǔ)，就能想到基本的求解方法，只要認真運算，就能下出本手.從答案的解答過程可以看出，本題并不是很難，屬于中檔題，此類題目如果能給出更快速的解題方法，那將為后面的題目爭取更多的答題時間，這就需要掌握更妙的解法，下出妙手.接下來讓我們一同看看此題如何從本手進階到妙手.

三、“妙手”進階

對于選項A：C的準線為y=-1.只需簡單將點代入就可以求出p(解法1)，也就是單純掌握好本手就可以迅速判斷此選項是錯誤的.下面就BCD選項介紹妙手的進階：

1.對于選項B：直線AB與C相切

解法2：由y′=2x得曲線C在點A(1，1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y=2x-1，由已知易得，直線AB的方程為y=2x-1，故直線AB與點A處的切線重合，所以B正確.

評析：若直線AB與C相切，則直線AB即為在點A(1，1)處的切線，而點A處的切線方程和直線AB的方程較易求出，即可進行判斷.此種解法避免了聯(lián)立方程，當聯(lián)立方程整理過程復雜時，可很好地體現(xiàn)它的優(yōu)越性.

解法3：由y′=2x得曲線C在點A(1，1)處的切線斜率為2，易得，直線AB的斜率也為2，點A處的切線與直線AB有公共點A，故直線AB與點A處的切線重合，所以B正確.

評析：在解法2的思考下，進一步思考發(fā)現(xiàn)，點A處的切線和直線AB有公共點A，只要斜率相同，直線即重合，轉(zhuǎn)而判斷斜率是否相同，即可得出答案.此種解法更注重對數(shù)學思維的考查，注重劃歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，較前兩種解法運算量更小，速度更快，可以算是本手向妙手的進階.

2.對于選項C：|OP|·|OQ|>|OA|2

同解法1可得x1+x2=k，x1x2=1，y1+y2=k2-2，y1y2=1.

評析：由根號內(nèi)部a2+b2形式，可以聯(lián)想到用不等式a2+b2≥2ab來確定大小關(guān)系，相比解法1的代入、展開、化簡，運算量小了很多，使得解題速度有所提高.

評析：此種解法的要求較高，需要學生對不等式的知識有更深入的研究和掌握，此塊知識不作為必學的知識，更注重學生的思考，要靠學生自己提升，速度快，但是要求高.

3.對于選項D：|BP|·|BQ|>|BA|2

評析：直線上兩點間的距離公式，可利用勾股定理轉(zhuǎn)化得出，具有普遍性，在此題中如果能熟練掌握，將大大降低運算量，不失為一種好方法.

評析：有關(guān)線段長度的大小關(guān)系，當在線段都位于同一條直線上時，常將線段投影到同一直線上進行比較，這種轉(zhuǎn)化會使復雜的問題簡單化.本題中，線段BP、BQ位于同一條直線上，但線段AB不在這條直線上，將其都投影在y軸上時不能直接進行比較，通過觀察可知直線PQ與x軸所成角明顯大于直線AB與x軸所成角，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)及不等式性質(zhì)，再利用投影逆回去應用即可輕松判斷.這種解法，需要學生有靈敏的數(shù)學思維和較強的數(shù)形結(jié)合能力和數(shù)學推理能力，方法巧妙，可為妙手.

本題是選擇題的倒數(shù)第二題，作為多項選擇題，A、B選項較易判斷，注重對基礎(chǔ)知識的考查，對于C、D選項，涉及函數(shù)、圖像、不等式相關(guān)知識，此類型問題，是很多學生過不去的坎，往往讓學生望而卻步，尤其在不等式的化簡過程中式子經(jīng)常較為復雜，化簡容易出現(xiàn)問題，這就使得學生一看到不等式問題都沒有信心去化簡去解決.因此要多探究新的方法，簡便的方法，使得學生重拾信心，而這些富有創(chuàng)新性的解法都是在扎實基礎(chǔ)的前提下產(chǎn)生的，也就是扎實本手，但是要想出其不意，還要從思維上進行培養(yǎng)，從思想上進行引領(lǐng)，將問題進行轉(zhuǎn)化，提升妙手，這樣才能達到培養(yǎng)能力的目的.

四、拓展應用

A.-3 B.-2 C.0 D.1

對比兩種解法，解法1中規(guī)中矩，只需扎實掌握賦值法探究即可得出答案，相比較而言，解法2從三角函數(shù)和積化和差公式形式上的特征，找到滿足題意的函數(shù)，更注重思維上的提升，強調(diào)化歸轉(zhuǎn)化思想的引領(lǐng)，借助余弦的積化和差公式進行轉(zhuǎn)化，用簡單的知識去解決復雜的問題簡，真正提升了能力，培育了素養(yǎng)，堪稱精妙.

五、結(jié)語

新課程下的數(shù)學教學更要求學生有良好的思維品質(zhì)，教學中不只是要求學生注重基礎(chǔ)知識，還要建構(gòu)知識的內(nèi)在聯(lián)系，達到知識的融會貫通.新高考中，知識是基本的，試題是新穎的，注重考查理性思維，明確的思維方向、充分的思維依據(jù)，能對事物或問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，能夠幫助關(guān)鍵能力的提升和核心素養(yǎng)的培育.本題從思想上進行引領(lǐng)，考查學生的推理論證能力和運算求解能力，注重培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了學生的邏輯推理和數(shù)學運算等素養(yǎng).