李苗苗, 吳英毅
(中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100049) ( 2020年8月20日收稿; 2020年10月3日收修改稿)
定理A常Gauss曲率Bonnet曲面Gauss曲率為0。
為方便討論,本文涉及的Bonnet曲面均無臍點(diǎn),且dH≠0。
設(shè)M為3中無臍點(diǎn)的光滑曲面。M上存在單位主方向標(biāo)架場{x,e1,e2,e3},其中x∈M,e3為法向量,e1、e2為曲面的主方向。記曲面的主曲率為a、c(a>c),高斯曲率為K,平均曲率為H,即標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程為
其中ω1,ω2為e1,e2的對(duì)偶1-形式,則ω13=aω1,ω23=cω2,ω12為曲面的聯(lián)絡(luò)形式,設(shè)ω12=hω1+kω2。上述1- 形式滿足結(jié)構(gòu)方程
由Codazzi方程,
[da-(a-c)hω2]∧ω1=0,
[da-(a-c)kω1]∧ω2=0.
不妨設(shè)
2dH=d(a+c)=(a-c)(uω1+vω2),
(1)
則
因此,
dlog (a-c)=(u-2k)ω1-(v-2h)ω2,
(2)
定義1-形式
θ1=uω1+vω2,θ2=-vω1+uω2,
α1=uω1-vω2,α2=vω1+uω2.
定義*算子
*ω1=ω2, *ω2=-ω1,
則
*θ1=θ2, *θ2=-θ1,
*α1=α2, *α2=-α1.
于是式(1)和式(2)可以改寫為
2dH=(a-c)θ1,
dlog (a-c)=α1+2*ω12.
由于dH≠0,定義度量
其中ds2為M上的誘導(dǎo)度量。
Chern在文獻(xiàn)[2]中證明曲面M為Bonnet曲面的充要條件為
定理1.1[5]若M為Bonnet曲面,則
1)度量
的Gauss曲率為0,
Chen和Peng在文獻(xiàn)[5]中指出可選取M上的等溫坐標(biāo)(u,v),有
此時(shí)H僅為u的函數(shù),即H=H(u)。這樣就得到如下各式:
(3)
(4)
Δ0lnF=F2.
(5)
式(5)可改寫為
(lnF)″=F2.
(6)
這樣就得到關(guān)于Bonnet曲面Gauss曲率滿足的微分方程
在等溫坐標(biāo)下,曲面的第一基本型為
ds2=e2φ(du2+dv2),
(7)
經(jīng)過簡單計(jì)算可得
(8)
其中協(xié)變導(dǎo)數(shù)hijk(i,j,k=1,2)由
確定。直接計(jì)算h112,h121,h212,h221并代入式(8),得到
(9)
事實(shí)上可簡單驗(yàn)證式(9)的可積性條件即為式(6) 。解式(6),得到
(10)
這里t,λ(λ≠0)為任意常數(shù)。將式(10)代入式(9)中,有
其中s為任意常數(shù)。再由式(7),K=-φ″e(cuò)-2φ得到
(11)
這樣就得到Bonnet曲面的平均曲率H所滿足的微分方程。反之,由文獻(xiàn)[7]也可以利用式(11)和式(9)的解構(gòu)造滿足條件的Bonnet曲面。這樣就得到如下定理:
定理1.2[5-7]若M為Bonnet曲面, 則存在等溫坐標(biāo)(u,v),使得M的平均曲率H僅為u的函數(shù),且M的Gauss 曲率K和平均曲率H滿足方程組
(12)
其中
λ,t為常數(shù),且λ≠0。
本節(jié)將在Bonnet曲面M的Gauss曲率K為常值時(shí),對(duì)定理1.2中的方程組進(jìn)行求解,得到若K為常值且K不為0,式(12)無解。
首先設(shè)K>0,由
令
(13)
其中β為關(guān)于u的函數(shù)。由式(13),
(14)
于是
(15)
對(duì)式(15)左邊積分有
(16)
設(shè)K<0,由
此時(shí)令
(17)
(18)
進(jìn)一步,
(19)
由式(18)和式(19),
進(jìn)一步,
(20)
現(xiàn)在將利用式(14)和式(16)以及式(18)和式(20)討論 Gauss曲率K的表達(dá)式。
(21)
注意到式(12)中二式又可以寫成
(22)
將式(21)中的結(jié)果代入到式(22)中得到
這樣就得到了Gauss曲率K的表達(dá)式,這與假設(shè)K為常值矛盾。
(23)
將式(23)中的結(jié)果代入到式(22)中有
這與假設(shè)K為常值矛盾。
(24)
將式(24)中的結(jié)果代入到式(22)中得
這與K為常值矛盾。
(25)
將式(25)中的結(jié)果代入到式(22)中有
這與K為常數(shù)矛盾。
(26)
將式(26)中的結(jié)果代入到式(22)中有
這與K為常值矛盾。
(27)
將式(27)中的結(jié)果代入到式(22)中有
與K為常值矛盾。
綜上可知,若Bonnet曲面Gauss曲率K為常值,則只能為0。這樣就完成了定理A的證明。
現(xiàn)在考慮零Gauss曲率Bonnet曲面的平均曲率,此時(shí)式(12) 為
(28)
(29)
由式(28)有
(lnH2)′=2F.
(30)
H=m(u+t)±1.
m≠0為常數(shù),H不能使式(29)式成立。
m≠0為常數(shù),H不能使式(29)式成立。
綜上所述,得到如下結(jié)論:
M為Bonnet曲面,則存在等溫坐標(biāo)(u,v)使M的Gauss曲率K和平均曲率H均為u的函數(shù),M上的度量有如下形式:
并且K,H滿足方程
其中