黃小林,李糧杰,張燕寧,郝稀奇

(桂林電子科技大學(xué) 建筑與交通工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

石墨烯以其高強(qiáng)、輕質(zhì)的特性成為優(yōu)異的增強(qiáng)材料[1]。將石墨烯納米片沿基體材料某一個(gè)或多個(gè)方向連續(xù)梯度分布而制成的功能梯度石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料(functionally graded graphene platelets,FG-GPLs)，在航空航天、機(jī)械、交通、土木工程等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。因此，近年來(lái)，對(duì)FG-GPLs結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的研究受到了極大關(guān)注[2-5]。

文獻(xiàn)[6]用有限單元法研究了熱環(huán)境下FG-GPLs層合板/殼的振動(dòng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)熱荷載會(huì)引起結(jié)構(gòu)應(yīng)變畸變，進(jìn)而影響其固有頻率。文獻(xiàn)[7]通過(guò)微分求積法，分析了不同邊界條件下FG-GPLs圓柱殼和環(huán)形板的自由振動(dòng)和靜力彎曲，提出了當(dāng)石墨烯納米片的長(zhǎng)寬比和長(zhǎng)厚比處于一定范圍時(shí)，可忽略其形狀對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響。文獻(xiàn)[8]基于一階剪切變形理論，建立了FG-GPLs截錐中厚殼的振動(dòng)方程，研究了石墨烯分布模式和質(zhì)量分?jǐn)?shù)對(duì)結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性振動(dòng)的影響。

由于制造工藝的缺陷，在制備FG-GPLs結(jié)構(gòu)過(guò)程中不可避免會(huì)產(chǎn)生孔隙，因此，研究含孔隙結(jié)構(gòu)的FG-GPLs的動(dòng)力學(xué)特性很有必要。文獻(xiàn)[9]考慮了含內(nèi)部孔隙的FG-GPLs梁的振動(dòng)響應(yīng)和彈性屈曲行為，提出了高斯隨機(jī)場(chǎng)下多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，建立了泊松比和孔隙的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)開(kāi)孔泡沫金屬模型，文獻(xiàn)[10]用伽遼金(Galerkin)法和四階龍格庫(kù)塔法研究了彈性地基上多孔FG-GPLs板的非線(xiàn)性振動(dòng)和動(dòng)態(tài)屈曲問(wèn)題，并通過(guò)試驗(yàn)確定了孔隙對(duì)板結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[11]基于克?；舴?拉夫(Kirchhoff-Love)殼體理論，用瑞麗里茲(Rayleigh-Ritz)法研究了FG-GPLs圓柱殼的自由振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)邊界條件和孔隙同時(shí)對(duì)殼體的力學(xué)響應(yīng)有顯著影響。文獻(xiàn)[12]以虛擬彈簧剛度模擬同邊界條件，基于一階剪切變形理論計(jì)算了外部激勵(lì)下FG-GPLs圓柱殼的受迫振動(dòng)，提出了剛度阻尼因數(shù)比質(zhì)量阻尼因數(shù)對(duì)動(dòng)撓度幅值的影響更大。文獻(xiàn)[13-14]分別用傅里葉微分求積和廣義微分求積法計(jì)算了多孔FG-GPLs截錐殼的固有頻率，發(fā)現(xiàn)殼體厚度與固有頻率近似線(xiàn)性相關(guān)，而且孔隙對(duì)固有頻率的影響不可忽略。

可見(jiàn)，目前關(guān)于FG-GPLs構(gòu)件力學(xué)行為的研究中，對(duì)板/梁結(jié)構(gòu)研究的較多[15-17]，而對(duì)圓錐殼特別是含孔隙的圓錐殼的研究則較少。這是因?yàn)?，一方面，圓錐殼的靜/動(dòng)力平衡方程為變系數(shù)的高階偏微分方程，求解困難;另一方面，含孔隙的石墨烯增強(qiáng)功能梯度材料物性參數(shù)的計(jì)算方法比較復(fù)雜，不易理解。因此，本文先假定孔隙的體積組分，基于傳統(tǒng)多孔材料物性參數(shù)的模型計(jì)算FG-GPLs材料的物性參數(shù)。然后，考慮周?chē)鷱椥越橘|(zhì)的影響，建立彈性介質(zhì)中FG-GPLs截錐殼振動(dòng)的控制方程并求解。最后，詳細(xì)討論孔隙、石墨烯、彈性介質(zhì)等因素對(duì)振動(dòng)頻率和動(dòng)力響應(yīng)的影響，為此類(lèi)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)。

1 截錐殼模型物性參數(shù)

彈性介質(zhì)中的截錐殼如圖1所示，彈性介質(zhì)中含內(nèi)部孔隙的石墨烯增強(qiáng)材料(FG-GPLs)截錐殼受橫向動(dòng)荷載q(s,θ,t)作用。殼體厚度和母線(xiàn)長(zhǎng)度分別為h和L，截錐殼的小頭半徑、大頭半徑和半錐角分別為R1、R2和γ，s、θ和z方向的中面位移分別為u、v和w,頂點(diǎn)到截錐殼上端和下端的距離分別為S1和S2，彈性介質(zhì)的壓縮剛度和剪切剛度分別為Kw和Kp。假設(shè)截錐殼由基體材料和增強(qiáng)相石墨烯納米片組成。石墨烯納米片和內(nèi)部孔隙在殼厚度方向均連續(xù)分布。圖2為孔隙的分布類(lèi)型?？紫斗植?xì)w納為4種類(lèi)型：(a)T1為離中面越遠(yuǎn)孔隙越少的對(duì)稱(chēng)分布；(b)T2為離中面越遠(yuǎn)孔隙越多的對(duì)稱(chēng)分布；(c)T3均勻分布；(d)T4為從內(nèi)側(cè)到外側(cè)孔隙越來(lái)越少的分布。

圖1 彈性介質(zhì)中的截錐殼 圖2 孔隙的分布類(lèi)型

設(shè)孔隙的體積組分沿厚度的分布為[10]:

(1)

其中:e0，e1，α和e2分別為T(mén)1,T2,T3和T4分布的孔隙系數(shù)。

此截錐殼的彈性模量、剪切模量和泊松比用混合律可表示為:

E(z)=E0(1-VP);

(2)

G(z)=G0(1-VP);

(3)

v(z)=v0(1-VP),

(4)

其中：E0，G0和v0分別為無(wú)孔隙時(shí)截錐殼的楊氏彈性模量(Pa)、剪切模量(Pa)和泊松比。

假設(shè)質(zhì)量密度為：

(5)

其中：ρ0為不含內(nèi)部孔隙的石墨烯增強(qiáng)截頂圓錐殼的的密度；em0，em1，α′和em2為質(zhì)量密度系數(shù)。

(6)

從式(6)可看出：給定孔隙體積的分布系數(shù)e0，e1，α和e2，可分別計(jì)算質(zhì)量密度的孔隙系數(shù)度em0，em1，α′和em2。

假設(shè)各種孔隙分布板的質(zhì)量相同，有：

(7)

根據(jù)修正的Halpin-Tsai細(xì)觀(guān)模型，無(wú)孔隙的FG-GPLs截錐殼的有效彈性模量可表示為:

(8)

其中:Em為基體材料的彈性模量；VGPL為石墨烯的體積組分；ξL,ξW,ηL和ηW定義為:

(9)

無(wú)孔隙的FG-GPLs截錐殼的泊松比和密度用混合律可表示為:

ν0=νGPLVGPL+νm(1-VGPL)，ρ0=ρGPLVGPL+ρm(1-VGPL),

(10)

其中：ρGPL和νGPL分別為石墨烯的質(zhì)量密度和泊松比；ρm和νm分別為基體材料的質(zhì)量密度和泊松比。

無(wú)孔隙的FG-GPLs截錐殼的剪切模量為:

(11)

假設(shè)石墨烯沿殼厚度有3種分布類(lèi)型(見(jiàn)圖3)。其中，(a)G1為石墨烯數(shù)量由內(nèi)、外側(cè)向中面逐漸減少的分布。反過(guò)來(lái)，(b)G2為內(nèi)、外側(cè)向中面逐漸增大的分布。而(c)G3為均勻分布。3種分布石墨烯的體積組分VGPL假設(shè)為：

(a) G1分布 (b) G2分布 (c) G3分布

(12)

其中：Vi1,Vi2和Vi3分別為G1，G2和G3石墨烯分布下體積分?jǐn)?shù)的最大值。

設(shè)3種分布類(lèi)型的石墨烯總體積分?jǐn)?shù)相等，則有如下關(guān)系式：

(13)

(14)

2 振動(dòng)方程及求解

假設(shè)截錐殼在變形過(guò)程中始終與彈性介質(zhì)緊密接觸，且忽略其阻尼與慣性力的作用，則彈性介質(zhì)對(duì)截錐殼的反作用力為[18]：

(15)

引入變量φ=θsin(γ)和應(yīng)力函數(shù)F。應(yīng)力函數(shù)與面內(nèi)力的關(guān)系為：

(16)

令s=S1ex,F=F1e2x，基于Donnell經(jīng)典薄殼理論和Hamilton原理，可推導(dǎo)此截錐殼振動(dòng)的控制方程為：

(17)

L21(F1)+L22(w)=0,

(18)

設(shè)截錐殼的邊界條件為兩端簡(jiǎn)支，其動(dòng)撓度的形式解為：

(19)

(20)

其中：系數(shù)Ki見(jiàn)文獻(xiàn)[18]，再將式(19)和式(20)代入式(17)，兩邊同乘以exsin(m1x)sin(n1φ),得：

(21)

其中：W={W11,W12,...Wm1,n1...}T為動(dòng)撓度列向量，M和K分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；q={q11,q12,...qm1,n1...}T為荷載列向量，且:

(22)

det(ω2M+K)=0。

(23)

當(dāng)q(x,φ,t)≠0時(shí)，用Newmark數(shù)值積分法可求得其動(dòng)撓度。本文采用的Newmark積分法的2個(gè)計(jì)算參數(shù)分為β=0.5，γ=0.25，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.001s。

3 比較算例和參數(shù)分析

表1計(jì)算了彈性介質(zhì)中純金屬功能梯度材料(functionally graded materials，F(xiàn)GM)截錐殼的量綱歸一化頻率。基體材料鎳和增強(qiáng)材料陶瓷的物性參數(shù)見(jiàn)表2。增強(qiáng)材料的體積分?jǐn)?shù)在厚度的分布為:

表1 彈性介質(zhì)中純金屬功能梯度材料截錐殼的量綱歸一化頻率

表2 材料物性參數(shù)

表3計(jì)算了含孔隙的石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料(FG-GPLs)圓柱殼的固有頻率。當(dāng)半錐角γ→0時(shí)，S1→∞，S1sinγ=R，S2=S1+L，x0=L/S1時(shí)，截錐殼退化為圓柱殼。殼體基體材料為鋼，石墨烯納米片的幾何尺寸為長(zhǎng)aGPL=2.5×10-9m，寬bGPL=1.5×10-9m，厚hGPL=1.5×10-6m，圓柱殼柱殼尺寸R=1 m，L/R=20，h=0.002R，石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)WGPL=1.0%。

表3 含孔隙的FG-GPLs圓柱殼的固有頻率 Hz

由表1和表3可看出：本文的計(jì)算結(jié)果和相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果是比較接近的。

表4和表5列出了不同孔隙分布和石墨烯分布、不同孔隙系數(shù)和彈性介質(zhì)參數(shù)下截錐殼的量綱歸一化頻率。從表4和表5中可看出：4種孔隙類(lèi)型的量綱歸一化頻率均隨孔隙系數(shù)e0的增大而減小，而且T1分布的量綱歸一化頻率比其他3種分布都大，說(shuō)明在4種孔隙分布中，T1分布對(duì)截錐殼整體剛度的削弱程度最小。在3種石墨烯分布中，G1分布的量綱歸一化頻率最大，G2分布最小，說(shuō)明按G1分布植入石墨烯納米片更能提高截錐殼的整體剛度。另外，量綱歸一化頻率隨剪切參數(shù)Kp及壓縮參數(shù)Kw彈性參數(shù)的增大而提高，而且兩者比較，剪切參數(shù)Kp比壓縮參數(shù)Kw提高的程度更為顯著，說(shuō)明在介質(zhì)的彈性壓縮和彈性剪切性質(zhì)中，剪切變形的影響程度更大。例如，在孔隙分布和石墨烯分布為T(mén)1和G1，e0=0.1時(shí)，Kw從0增大到1.0，量綱歸一化頻率只提高5%。而Kp從0只增大到0.1時(shí)，量綱歸一化頻率卻提高了7.6%。

表4 T1和T2孔隙分布下FG-GPLs截錐殼的量綱歸一化頻率

表5 T3和T4孔隙分布下FG-GPLs截錐殼的量綱歸一化頻率

圖4為T(mén)1和T3孔隙分布的量綱歸一化頻率Ω隨石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)的變化曲線(xiàn)。由圖11可看出：Ω隨著石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)WGPL的提高而增大，而且WGPL越大，Ω的增長(zhǎng)越快。以T1/G1為例，當(dāng)WGPL=1.0%時(shí)，Ω約提高20.51%，說(shuō)明添加少量石墨烯納米片能顯著提高截錐殼的整體剛度，這是因?yàn)槭┑膹椥阅Ａ窟h(yuǎn)比基體材料大而質(zhì)量密度又遠(yuǎn)比基體材料小。此外，綜合表4和表5可得：不同石墨烯分布類(lèi)型的增長(zhǎng)速度不同，G1最大而G3最小，再次證實(shí)了G1分布能更有效提高材料的整體剛度。

(a) T1分布

圖5～圖7計(jì)算了不同彈性介質(zhì)參數(shù)、孔隙系數(shù)、石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)下截錐殼的動(dòng)撓度，其中，橫向動(dòng)荷載q(s,θ,t)=8 000 sin(500t)Pa,動(dòng)撓度的坐標(biāo)點(diǎn)為(S1+L/2,π/2)。

由圖5可看出：動(dòng)撓度隨彈性介質(zhì)參數(shù)的增大而減小，對(duì)T1/G1類(lèi)型，彈性介質(zhì)參數(shù)(Kw,Kp)=(1,0)比(Kw,Kp)=(0,0)的動(dòng)撓度幅值約低30.55%，(Kw,Kp)=(0,0.1)比(Kw,Kp)=(0,0)動(dòng)撓度幅值約低47.37%，可見(jiàn)，同對(duì)量綱歸一化頻率一樣，剪切參數(shù)Kp比壓縮參數(shù)Kw的影響更顯著，印證了介質(zhì)的剪切參數(shù)對(duì)圓錐殼有限剛度的影響比壓縮系數(shù)大。

(a) T1/G1

圖6為孔隙系數(shù)對(duì)截錐殼動(dòng)撓度的影響。從圖6a中可看到：孔隙系數(shù)e0從0.1增大到0.3時(shí)，最大動(dòng)撓度提高約14.7%，這是由于孔隙系數(shù)越大，孔隙率越大，圓錐殼的有效剛度變小。而在同為G1石墨烯分布的情況下，當(dāng)孔隙系數(shù)e0=0.3時(shí)，T1孔隙分布的最大動(dòng)撓度比T3分布的最大動(dòng)撓度只小了8.52%,說(shuō)明孔隙分布對(duì)動(dòng)撓度的影響并不顯著。

(a) T1/G1

圖7為石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對(duì)截錐殼動(dòng)撓度的影響。從圖7a和圖7b可知：石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)WGPL從0%提高到0.6%，T1/G1類(lèi)型的截錐殼的動(dòng)撓度幅值減少約36.83%，T1/G3動(dòng)撓度幅值減小約45.66%，石墨烯納米片可顯著提高截錐殼的整體剛度，因此，動(dòng)撓度幅值隨石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)的提高而明顯減小。

(a) T1/G1

4 結(jié)論

(1)與孔隙系數(shù)相比，孔隙的分布類(lèi)型對(duì)振動(dòng)頻率和動(dòng)力響應(yīng)的影響更為顯著。由振動(dòng)頻率的結(jié)果可看出，在T1,T2,T3和T4 這4種孔隙分布類(lèi)型的截錐殼中，T1的整體剛度最大，而T2的整體剛度最小。

(2)在基體材料中植入少量的納米片可顯著提高截錐殼的振動(dòng)頻率和降低動(dòng)撓度的幅值，而且不同的石墨烯分布類(lèi)型，其影響程度不同。在G1,G2和G3這3種石墨烯分布類(lèi)型中，G1的影響程度最大，而G2最小，故T1孔隙分布和G1石墨烯分布截錐殼的剛度最大。

(3)彈性介質(zhì)提高了截錐殼的振動(dòng)頻率，并且降低了動(dòng)撓度的幅值。與壓縮剛度參數(shù)相比，剪切剛度參數(shù)的影響更為明顯。