張恒昌，張 然，樊元義，張?zhí)煊睿医鹂?/p>

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116023）

0 引言

隨著光學(xué)成像技術(shù)的發(fā)展，全息顯示技術(shù)誕生，并成為了記錄物波所攜帶的物體的強(qiáng)度信息與相位信息的主要實(shí)現(xiàn)方式，一直到激光器的發(fā)明和廣泛應(yīng)用，光全息顯示技術(shù)得到了迅速的發(fā)展，以其具有存儲(chǔ)信息量大、高對比度、制作成本低等優(yōu)點(diǎn)，在全息光刻[1-4]、信息存儲(chǔ)[5-6]、全息顯影[7-8]等多方面都有著廣泛的研究和應(yīng)用。

隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)與計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展，人們廣泛地使用計(jì)算機(jī)模擬、運(yùn)算、處理各種光學(xué)過程，計(jì)算全息技術(shù)的出現(xiàn)取代了使用傳統(tǒng)的光學(xué)記錄材料進(jìn)行定影、顯影的操作的全息顯示方式，成為三維全息顯示的主要實(shí)現(xiàn)方式?，F(xiàn)如今，廣泛使用的三維全息顯示方法是通過使用SLM空間光調(diào)制器加載通過計(jì)算機(jī)生成好的完全記錄目標(biāo)3D物體的全波信息計(jì)算全息圖，經(jīng)激光照射SLM以還原目標(biāo)圖像的波前而得到全息像的方式。

三維計(jì)算全息圖主要有點(diǎn)源法[9-10]、層析法[11-12]等生成方式，點(diǎn)源法的基本原理就是通過將目標(biāo)三維物體看做有限個(gè)點(diǎn)組成的集合，物體的分辨率和組成該物體的點(diǎn)集合的數(shù)量有關(guān)，取點(diǎn)越多，成像物體的還原程度和細(xì)節(jié)越接近目標(biāo)物體，即成像質(zhì)量越好。但是同樣的點(diǎn)的數(shù)量越多也使得在生成三維物體全息圖的計(jì)算量越大，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜且點(diǎn)集合多的目標(biāo)物體有時(shí)計(jì)算一張全息圖甚至需要數(shù)個(gè)小時(shí)的時(shí)間，這顯然不利于全息實(shí)時(shí)顯示的應(yīng)用。所以很多的關(guān)于點(diǎn)源法的研究主要在提高其計(jì)算效率上，其中1993年，LUCENTE[13]提出基于查找表（LUT）加速全息圖計(jì)算的方法，通過預(yù)先采集點(diǎn)并存儲(chǔ)到計(jì)算機(jī)的方式來加快全息計(jì)算速度。之后，KIM等[14]在LUT的基礎(chǔ)上利用空域卷積提出一種新型查找表（NGLUT）法和新加坡學(xué)者PAN等[15]提出分離查找表（SGLUT）算法，上述兩種方法都對LUT進(jìn)行了優(yōu)化進(jìn)一步降低了預(yù)設(shè)點(diǎn)所占用的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種并行計(jì)算方式也成為了點(diǎn)源法提高全息計(jì)算速度的主要方式。盡管點(diǎn)源法生成全息圖的速得到了很大的提高，但是通過預(yù)存儲(chǔ)占用大量計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間和并行計(jì)算占用計(jì)算機(jī)的CPU資源的方式來提高了生成全息圖的速度，對計(jì)算機(jī)的使用有了更高的要求和消耗，很大程度上限制了該方法使用。另一種是基于多邊形法的方法該方法在每個(gè)多邊形的計(jì)算速度上和計(jì)算點(diǎn)源法計(jì)算點(diǎn)的速度差不多[16]，所以多邊形法在速度上要優(yōu)于點(diǎn)源法，但是在多邊形建模的過程中相比于點(diǎn)源法要更加繁瑣。而另一種基于層的方法，是通過將一個(gè)完整目標(biāo)三維物體進(jìn)行多層分割，每一層的計(jì)算速度都比較快，還原物體的分辨力限制只有層數(shù)的多少。這樣該方法可以在保證圖像質(zhì)量的同時(shí)，計(jì)算速度也很快。但是，層析法在對目標(biāo)成像物體進(jìn)行分層劃分后，實(shí)際就是對每一層的二維圖進(jìn)行全息計(jì)算，計(jì)算生成的平面全息圖通過疊加就形成一幅需要的目標(biāo)三維物體全息圖，在還原后，就會(huì)出現(xiàn)衍射造成分層混疊和圖像串?dāng)_的問題，對成像質(zhì)量造成很大的影響。所以解決該問題對于提高三維全息成像質(zhì)量有著重要的意義。

在本文中，提出了一種應(yīng)用球面波衍射為核心并使用傳統(tǒng)相位優(yōu)化方法GRECHBERG-SAXTON（GS）算法[17]改進(jìn)的優(yōu)化方法3D-GS相關(guān)算法[18-19]進(jìn)行相位優(yōu)化，提升成像質(zhì)量，解決了使用層析進(jìn)行全息成型后，導(dǎo)致的分層混疊和圖像串?dāng)_的問題。該方法是在計(jì)算目標(biāo)三維物體時(shí)，將三維物體首先解析成若干個(gè)平行平面。對于每個(gè)分割圖形平面中的每個(gè)像素，都當(dāng)作為空間中一個(gè)發(fā)光物點(diǎn)，該物點(diǎn)光波以球面波的形式發(fā)散傳播到空間距離z的位置平面處。同樣的層析平面每個(gè)像素都看做相似的形式進(jìn)行計(jì)算。通過計(jì)算疊加就可以得到一個(gè)距離層析物平面z距離處的衍射平面。該衍射平面通過一束離軸干涉光照射，就形成了一幅記錄層析物平面全部振幅信息的計(jì)算全息圖，對得到的計(jì)算全息圖，使用GS算法經(jīng)過多次迭代計(jì)算。就得到優(yōu)化后的目標(biāo)物體全息圖。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在解決分層成像混疊串?dāng)_問題的可行性。

1 應(yīng)用球面波迭代算法原理

1.1 球面波衍射理論方法

球面波的等相位面是球面，通常情況下，定義一個(gè)空間點(diǎn)光源，當(dāng)該點(diǎn)光源與該點(diǎn)發(fā)出的球面波的中心重合的時(shí)候，可以得到光傳播的球面波表達(dá)式為：

式中：u(x,y,z,t)為光波傳播到一定空間距離位置處光場強(qiáng)度；U0為源光點(diǎn)的幅值大小，是一個(gè)常數(shù)值；k為波矢；r為光波傳播的距離。

其中r可以表示為：

如果球面波中心與源點(diǎn)重合，光波沿著z軸方向進(jìn)行傳播，那么上式中的z=z0，通過相位因子表達(dá)式可以知道，當(dāng)目標(biāo)傳播區(qū)域較小，相對于實(shí)際研究區(qū)域的尺度，激光波長很小，r的微小變化會(huì)引起相位的較大變化，所以r可以表示為：

如圖1所示，球面光波傳播到z距離的平面一點(diǎn)(xc,yc,zc)的時(shí)候，球面波表達(dá)式為：

圖1 應(yīng)用球面波計(jì)算平面點(diǎn)集合傳播原理

式中：U(xc,yc,zc)為光波在點(diǎn)(x0,y0,z0)處在空間傳播到點(diǎn)(xc,yc,zc)處的球面波強(qiáng)度；U0為目標(biāo)位置的幅值大?。籩xp(jk|zc-z0|)對光波場的相位不產(chǎn)生影響，通常可以忽略。

使用式（4）計(jì)算單層目標(biāo)圖像干涉圖樣后，為了形成能夠記錄該圖樣的全部振幅信息，還需要使用共軛參考光束和源光波進(jìn)行干涉，干涉后形成的圖像就得到了完整的全息圖。

得到全息圖后，就可以通過衍射計(jì)算得到相應(yīng)的重建像，這里假設(shè)衍射得到其中一個(gè)衍射平面的距離為zi，那么此時(shí)得到的該重建像面的光強(qiáng)Uf(x,y,zi)，提取對應(yīng)的迭代相位為φi，重新給原圖像添加該對應(yīng)的相位：

式中：U0為初始振幅大小。

通過式（5）重建進(jìn)行全息圖的計(jì)算。上述即為完整的迭代計(jì)算過程。

球面波的使用可以充分利用DMD空間光調(diào)制器的衍射原理，使得經(jīng)過空間光調(diào)制器微鏡反射的光束在各個(gè)方向的反射強(qiáng)度一致，根據(jù)DMD空間光調(diào)制器的原理，DMD芯片是由數(shù)百萬個(gè)小微鏡組成，每個(gè)微鏡呈對角線進(jìn)行偏轉(zhuǎn)，所以入射光線必須以DMD微鏡對角線方向進(jìn)行入射，所以對于參考光束如平面示意圖如圖2～3所示。

圖2 應(yīng)光源入射DMD示意圖

圖2所示為DMD芯片及激光入射角度，根據(jù)DMD芯片中微鏡結(jié)構(gòu)，其中虛線所示為DMD芯片微鏡的偏轉(zhuǎn)對角線，對于其中一個(gè)微鏡設(shè)其平面坐標(biāo)位置為(x0,y0)，其中的L1=x0cosθ，L2=y0sinθ，結(jié)合圖3所示的單微鏡光線入射示意圖，紅色線段長度為L=x0cosθy0sinθ。為了使得入射光照射在DMD芯片的每個(gè)微鏡上保持其入射光相位相同，理想狀態(tài)的入射光為平行光。由于微鏡位置及光線傾斜入射導(dǎo)致的相位差。因此可以進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算相位投影為L4=sinβ(x0cosθ-y0sinθ)。所以參考光波可以由下式進(jìn)行表示：

圖3 光源入射單微鏡示意圖

式中：(x,y)為參考光波幅值；β為微鏡對角角度；θ為光波入射DMD芯片角度。

設(shè)物光場振幅的歸一化值定義為參考光的振幅Ar為：

式中：U為全息面出的目標(biāo)物體衍射光場；Umax為衍射光場最大值；Umin為衍射光場最小值。

最后可以得到參考光波的最終表達(dá)式：

通過調(diào)節(jié)光束比，并使得參物光進(jìn)行干涉，于是在全息圖紀(jì)錄面上的光強(qiáng)為：

式中：I(x,y)為參物光干涉后的光強(qiáng)；(x,y)為參考光幅值大??；U(x,y)為光幅值大小。

通過干涉就可以最終形成記錄有原始物體全部振幅及相位信息的平面全息圖。

相比于平面波計(jì)算，使用球面波在進(jìn)行全息計(jì)算和再現(xiàn)時(shí)，一就是對于成像大小方面，參考光和源點(diǎn)光都為平面波時(shí)，只能改變像光波的方向，即改變像的位置；若為球面波，就可以改變像光波的曲率，即改變像的大小。二是該算法生成的全息圖的還原像不存在其他級(jí)次的衍射干擾像。三是在使用球面波進(jìn)行衍射成像時(shí)，在成像距離較近并且成像面較小時(shí)，球面波衍射形成的全息成像質(zhì)量相比于平面波更加出色。

1.2 3D-GS算法應(yīng)用原理

在成型圖像優(yōu)化上，使用了3D-GS算法，GS算法是用于求解相位全息圖的一種方法，通常使用該方法求解逆源問題。所謂的逆源問題就是根據(jù)所期望的光場衍射分布求出期望的相位原始分布的問題。3D-GS算法就是使用GS的基本思想進(jìn)行三維光場相位優(yōu)化的一種方式。圖4所示為本文迭代優(yōu)化原理圖。

圖4 3D-GS迭代原理

首先將三維目標(biāo)圖像進(jìn)行分層處理，針對于單層圖像賦予隨機(jī)相位并使用球面波衍射計(jì)算出對應(yīng)全息圖，若干單層全息圖疊加就生成了目標(biāo)全息圖，并使用對應(yīng)衍射方式進(jìn)行還原像計(jì)算，提取對應(yīng)還原像的相位值做為初始單層圖像的相位，重復(fù)上述計(jì)算過程，完成迭代優(yōu)化過程。

為了體現(xiàn)GS迭代的過程中對于還原圖像的優(yōu)化作用。根據(jù)3D-GS算法原理進(jìn)行單幅全息計(jì)算，如圖5所示，（a）（b）（c）分別為使用迭代計(jì)算的原始圖像、全息圖以及重建像。圖6則為在不同迭代次數(shù)下的圖5中不同還原圖像部分像素行的灰度分布折線圖。因?yàn)檫M(jìn)行的是振幅全息構(gòu)建，所以灰度在構(gòu)建上等同于實(shí)際的光強(qiáng)表現(xiàn)，從圖中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，在初始1次迭代后生成的還原圖的在第15、16、17行的灰度分布上存在較大的數(shù)值波動(dòng)，相比之下在50迭代的情況下，在主要的成型區(qū)域部分，灰度值已經(jīng)區(qū)域整體穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖5 迭代全息計(jì)算像

圖6 迭代結(jié)果光強(qiáng)分布對比分析

2 球面波迭代算法仿真及結(jié)果分析

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)光路及結(jié)果

圖7所示為仿真系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)光路圖，系統(tǒng)整體為不采用透鏡式全息成像系統(tǒng)。系統(tǒng)組成包括532 nm綠光激光器作為源光源、擴(kuò)束鏡用于消除激光高斯干擾使得出射激光變成均勻的平行光束、DMD空間光調(diào)制器使用的是最高分辨率為1 920 pix×1 080 pix的DLP數(shù)字微鏡DMD空間光調(diào)制器，該空間光調(diào)制器采用光強(qiáng)調(diào)制、通過配套的全息圖加載軟件使用計(jì)算機(jī)用于將生成的好的計(jì)算全息圖加載到DMD空間光調(diào)制器中、成像白板用于衍射還原像觀察。

圖7 全息顯示系統(tǒng)光路

為使用該算法加載圖8中4張?jiān)紙D片進(jìn)行20次迭代重建得到的還原圖像，如圖9所示，設(shè)定衍射距離為d=50 mm，全息圖大小為512 pix×512 pix，還原像大小為64 pix×64 pix，每張圖片的間隔距離為4 mm。通過還原像可以看出，使用該算法計(jì)算層析法生成的還原像在各層之間的相互干擾和混疊較小，還原像較為清晰。

圖8 單層原始圖像

圖9 各層全息重建像

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對于層析法進(jìn)行計(jì)算全息顯示像時(shí)，使用菲涅爾衍射法在進(jìn)行全息計(jì)算的時(shí)候，其是存在z方向的最小傳播距離極限的限制：

式中：Δ2x為沿著x方向的采樣周期；M為x方向上的采樣數(shù)；λ0為波長。

式（10）為采用菲涅爾法計(jì)算衍射場的z方向傳播距離極限公式，超過該距離時(shí)就會(huì)因?yàn)榛殳B效應(yīng)產(chǎn)生誤差，影響成像質(zhì)量。由上述仿真結(jié)果可以看出，球面波迭代算法求解方式則不存在相應(yīng)的限制。在更短衍射距離位置處，重建像質(zhì)量仍然有較好的表現(xiàn)。

此外，使用本文的方法在進(jìn)行短距離成像顯示時(shí)，可以獲得較大像面的清晰像。對于使用菲涅爾方式計(jì)算的情況下，其生成的最大還原像面為:

式中：Nx為x方向上的采樣點(diǎn)數(shù)；λ為波長；d為衍射距離；Lx0為物面實(shí)際空間長度。

由式（11）可知，該菲涅爾算法主要適用于預(yù)設(shè)距離d較大的情況。相對于本文提出的方法則可以實(shí)現(xiàn)在短距離大尺寸成像，如圖10所示，為使用球面波迭代算法的方式生成的不同大小的全息圖的還原像。其中全息圖的大小為512 pix×512 pix，光源為綠光光源波長為532 nm。衍射距離為30 mm，提供過改變還原像面的尺寸分別進(jìn)行全息計(jì)算由圖10所示，可以看到，這樣的近距離衍射成像的情況下，形成的重建像的長寬尺寸可以實(shí)現(xiàn)在150 mm以上依然能夠保持良好的清晰度。在200～300 mm長寬大小尺寸時(shí)依然可以得到僅僅是邊緣模糊的重建像。相比于菲涅爾衍射實(shí)現(xiàn)的全息重建像存在的大小限制和其適用于較遠(yuǎn)距離成像的特點(diǎn)，本文提出的全息算法在重建像大小范圍上表現(xiàn)出更好的重建性能。

圖10 全息圖及不同尺寸重建圖像

同時(shí)為了提高該算法計(jì)算速度，使用了CPU多核并行計(jì)算方式，在本文仿真實(shí)驗(yàn)中，使用并行計(jì)算環(huán)境為Inter i9-2080RTX的計(jì)算機(jī)，支持最大并行計(jì)算數(shù)為48線程，如表1所示，該算法進(jìn)行不同的程度的迭代次數(shù)下獲得還原像所需時(shí)間及重建圖像質(zhì)量的對比，其中衍射距離50 mm，還原像面大小64 pix×64 pix、全息圖大小512 pix×512 pix固定不變。通過在不同迭代次數(shù)下重建時(shí)間對比可以了解到，使用并行計(jì)算的情況下，在多迭代次數(shù)下進(jìn)行全息計(jì)算提升速度效果顯著。同時(shí)通過圖像質(zhì)量評價(jià)指標(biāo)PSNR值可以得到隨著迭代次數(shù)的增加，PSNR值逐漸增大，表示重建像質(zhì)量也會(huì)有所提高。

表1 不同迭代次數(shù)下重建時(shí)間及圖像質(zhì)量對比

3 結(jié)束語

本文提出了一種基于DMD空間光調(diào)制器微鏡結(jié)構(gòu)并使用球面波衍射配合3D-GS相位優(yōu)化的三維全息顯示方案，該方法優(yōu)化了三維全息顯示方法中的傳統(tǒng)層析法進(jìn)行三維像重建后各層還原像之間可能會(huì)出現(xiàn)的層間像串?dāng)_和混疊的問題，相比于菲涅爾及傅里葉求解方式相比，還原像顯示不需要進(jìn)行復(fù)雜的衍射干擾像處理。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法在進(jìn)行三維全息顯示重建后不僅能夠解決分層還原像出現(xiàn)層間串?dāng)_和混疊的問題，同時(shí)能夠在較大范圍還原像面尺寸上保持良好的成像質(zhì)量。并且該種方法的實(shí)驗(yàn)光路組成簡單，實(shí)現(xiàn)方便，為層析三維全息顯示的研究提供一種良好的解決方案。