盛天爽，蔡樂雨，許 諾，潘永華，丁劍平

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

由于光具有高速、高并行度和多密鑰自由度(振幅、相位、偏振)的特點(diǎn)，因此光學(xué)信息加密成為信息安全領(lǐng)域的重要研究課題．目前有許多基于光學(xué)原理的信息加密的報道[1，2]，其中對于光學(xué)圖像的加密則具有重要的實(shí)際意義．自從1995年雙隨機(jī)相位編碼方法實(shí)現(xiàn)光學(xué)圖像加密[3]被首次提出之后，大量的改進(jìn)方法相繼被發(fā)明．但是這些方法都屬于對稱加密范疇，并且由于加密系統(tǒng)的線性特點(diǎn)，這些加密方法的安全性較低．為解決這一問題，2010年P(guān)eng等人首次提出非對稱光學(xué)加密系統(tǒng)[4]，利用在雙隨機(jī)相位編碼過程中引入相位裁剪操作，使加密結(jié)果僅保留光強(qiáng)信息，實(shí)現(xiàn)了加密與解密密鑰的不一致性．這一方法在現(xiàn)有的攻擊手段下都顯示出很高的安全性．

然而，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)解密過程中會遇到解密相位掩膜密鑰在光路中難以精確放置的問題，這使得光學(xué)解密的效率很低，阻礙了光學(xué)加密的實(shí)用化進(jìn)程．因此對于圖像加密的研究大多停留在計算機(jī)仿真階段[1,5]，有關(guān)光學(xué)實(shí)驗(yàn)的報道很少．本文基于4f系統(tǒng)設(shè)計了“對稱-非對稱混合加密”方法，將光學(xué)實(shí)驗(yàn)與計算機(jī)處理有機(jī)結(jié)合，降低了實(shí)驗(yàn)的難度．結(jié)果表明該加密方法具有良好的安全性，且在密度小于0.4的椒鹽噪聲干擾下具有較高的魯棒性．

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 阿貝成像原理

阿貝成像原理可以利用4f系統(tǒng)解釋．4f系統(tǒng)是由兩個焦距為f的全同薄透鏡L1和L2組成的光學(xué)系統(tǒng)，其中L1的后焦面與L2的前焦面重合，此平面稱為傅里葉平面．4f系統(tǒng)的輸入面為透鏡L1的前焦面，輸出面為L2的后焦面．在相干光照射下，4f系統(tǒng)成像可以分為二次衍射．第一次衍射發(fā)生在輸入面s到傅里葉面s′，通過物的衍射光在L1后焦面上形成夫瑯禾費(fèi)衍射圖；第二次衍射發(fā)生在傅里葉面s′到L2的后焦面s″，將傅里葉面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖上各點(diǎn)發(fā)出的球面波在輸出面上相干疊加得到最終倒立等大的實(shí)像[6]．該過程本質(zhì)就是兩次傅里葉變換.

(1)

(2)

其中g(shù)(x,y)是輸入面光場復(fù)振幅分布，G(fx,fy)是對應(yīng)的空間頻譜，fx和fy是x和y方向的空間頻率，而h(x″,y″)是輸出面上光場復(fù)振幅分布，其滿足h(x″,y″)=g(-x,-y)．

1.2 Lee型迂回相位編碼

本實(shí)驗(yàn)對明文圖像在頻域進(jìn)行加密．在4f系統(tǒng)傅里葉面上放置特定的相位掩膜作為密鑰進(jìn)行空間濾波，則最終在4f系統(tǒng)的輸出面上可獲得模糊的密文．自行設(shè)計加密相位函數(shù)(密鑰)后利用Lee型迂回相位編碼方法制作其對應(yīng)的計算全息圖，然后加載在位于傅里葉面上的空間光調(diào)制器上．Lee型迂回相位編碼的思想是生成一個特殊的光柵，使得該光柵特定的衍射級次能夠受所設(shè)置的相位函數(shù)調(diào)制．利用Lee型迂回相位編碼制作計算全息圖的基本原理如下[7]：

對復(fù)函數(shù)exp[iφ(x,y)]選取特定個數(shù)的抽樣點(diǎn)均勻抽樣，每個抽樣點(diǎn)的函數(shù)值對應(yīng)于復(fù)平面上一個向量，如圖1(a)所示．在空間光調(diào)制器(SLM)上選取4×4共16個像素點(diǎn)稱為宏像素．如圖1(b)所示．將宏像素沿x軸方向分解成四個部分，分別對應(yīng)延遲相位0、π/2、π、3π/2，而宏像素y軸方向則保持不變．抽樣點(diǎn)函數(shù)值對應(yīng)的向量可分解為

f(a,b)=f1(a,b)r++f2(a,b)j++f3(a,b)r-+

f4(a,b)j-

(3)

其中，r+、j+、r-、j-對應(yīng)復(fù)平面的基矢量，滿足

r+=e0,j+=eiπ/2,r-=eiπ,j-=ei3π/2

(4)

投影長度f1、f2、f3、f4是非負(fù)實(shí)數(shù)．因此對于一個抽樣點(diǎn),只要在宏像素的兩列中使用投影長度對應(yīng)的灰度等級表示即可．對每個抽樣點(diǎn)進(jìn)行如上操作，最終在SLM上可制得一幅完整的計算全息圖．

圖1 Lee型迂回相位編碼

(5)

其中fx是x方向的空間頻率．顯然，負(fù)一級衍射光的復(fù)振幅分布受到了相位函數(shù)exp[iφ(x,y)]的調(diào)制，通過空間濾波方法可以將其單獨(dú)保留．

1.3 對稱-非對稱混合加密原理

在信息安全領(lǐng)域中有兩種普遍運(yùn)用的加密密碼，分別是對稱加密和非對稱加密．對稱加密過程中發(fā)送方的加密密鑰和接收方的解密密鑰相同．而在非對稱加密的過程中，發(fā)送方利用一個公開的公鑰對明文進(jìn)行加密，而接收方則利用一個與之不同的非公開的私鑰對密文進(jìn)行解密．在本實(shí)驗(yàn)過程中，將兩種加密方法相結(jié)合，稱之為“對稱-非對稱混合加密”，以下對該方法的原理進(jìn)行簡單介紹．

令f為明文，F(xiàn)T(·)為傅里葉變換算子，IFT(·)為逆傅里葉變換算子，PT(·)為相位裁剪操作算子，PR(·)為相位保留操作算子．例如F=FT(f)=|F|exp(i2πφ)，則PT(F)=|F|，PR(F)=exp(iφ)．根據(jù)這一方法，本文設(shè)計了如圖2(a)所示的加密流程．加密者選定加密相位密鑰K，則密文g可以通過如下的加密方法得到

g(x,y)=PT[IFT[K(u,v)·FT[f(x,y)]]]

(6)

同時，加密過程中也產(chǎn)生了解密所需的密鑰P：

P(x,y)=PR[IFT[K(u,v)·FT[f(x,y)]]]

(7)

解密流程如圖2(b)所示，包含如下兩步操作：

g2(u,v)=FT [g(x,y)·P(x,y)]

(8)

f(x,y)=PT[IFT[g2(u,v)·K(u,v)*]]

(9)

顯然，密鑰K既用于加密明文，又在解密過程中決定解密密鑰K*，因此K對應(yīng)于對稱加密過程中的密鑰．而解密過程中另一密鑰P與K不同，此處K與P分別對應(yīng)非對稱加密過程中的公鑰與私鑰．至此本方法實(shí)現(xiàn)了將對稱加密和非對稱加密的結(jié)合．

圖2 方案流程

值得注意的是，本方法中的密鑰P伴隨加密過程產(chǎn)生，因此需要通過額外的安全通道傳輸給接收方．在實(shí)驗(yàn)中采用Arnold置亂方法[7]對密鑰P進(jìn)一步加密以提高密鑰傳輸?shù)陌踩裕聦?shí)上密鑰P是一個矩陣，對其中的每一個元素pij規(guī)定如下的置亂規(guī)則：pi′j′=pij，其中下標(biāo)符合的變換關(guān)系為

(10)

式(10)中a和b參數(shù)可在通信雙方的保密傳輸協(xié)議中進(jìn)行規(guī)定．N為P矩陣的階數(shù)(若P不為方陣則可根據(jù)需要添零成為方陣)．接收方可通過式(11)所示的下標(biāo)對應(yīng)關(guān)系將置亂后的矩陣P還原，獲得正確的解密密鑰P為

(11)

2 加密與解密實(shí)驗(yàn)

本文設(shè)計了如圖3(a)所示的實(shí)驗(yàn)光路對加密原理進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖如圖3(b)所示．在一套透鏡焦距為200 mm的4f系統(tǒng)的輸入面處放置第一個振幅型空間光調(diào)制器，加載簡單的黑白二值圖像作為物體，圖像選為1 024 px×728 px的黑色背景，其中央有一白色“光”字，尺寸為64 px×64 px．綜合考慮空間頻率和空間光調(diào)制器的像素個數(shù)，本文選擇的加密函數(shù)K為周期性二元函數(shù):

K(x,y)=2πsin(1 750x)cos(1 750y)

(12)

在函數(shù)exp[iK(x,y)]的相位調(diào)制下，加密所得密文會在x和y兩個方向呈現(xiàn)出較大程度的扭曲，因此可以充分隱藏明文信息．本實(shí)驗(yàn)利用1.2節(jié)介紹的Lee型迂回相位編碼原理，將該函數(shù)制作成計算全息圖，并加載在位于傅里葉面的第二個振幅型空間光調(diào)制器上．以上兩個空間光調(diào)制器像素均為1 024 px×728 px(像素大小26×26 μm2)，位于輸出面上的CCD相機(jī)像素是1 024 px×1 280 px(像素大小5.6×5.6 μm2)，當(dāng)物體大小選擇合適時總可以在CCD相機(jī)上接收到完整的密文．由(5)式可知負(fù)一級衍射圖樣是最終所需的加密結(jié)果，但兩次透鏡的傅里葉變換作用導(dǎo)致其最終是倒立像．為此，將CCD相機(jī)接收圖像設(shè)置成自動旋轉(zhuǎn)圖像180°，如圖4所示得到的白框內(nèi)衍射圖樣即為加密結(jié)果．另外，為了防止零級像將明文泄露，實(shí)際實(shí)驗(yàn)中在每臺空間光調(diào)制器前后各加了一個偏振片，如圖3(b)所示，通過旋轉(zhuǎn)偏振片到合適的角度可以將零級像消去．由于CCD相機(jī)只能接收到光強(qiáng)信息，且光強(qiáng)正比于復(fù)振幅分布的強(qiáng)度的平方，所以相位剪裁的操作可以自動完成．為了將相位保留生成解密密鑰P，可以對原始輸入圖像利用式(5)進(jìn)行計算，從而獲得相位分布．由于得到的P矩陣為1 024×728階矩陣，為了滿足1.3節(jié)介紹的Arnold置亂的要求，必須對P矩陣補(bǔ)零使之成為方陣后再進(jìn)行Arnold置亂，最終完成加密流程．

實(shí)驗(yàn)光路圖

圖4 加密前后對比

為了解決實(shí)驗(yàn)時共軛密鑰K*所對應(yīng)的相位掩膜難以在光路中精確放置問題，本文自行設(shè)計了解密程序,使得解密操作可由計算機(jī)精確執(zhí)行，大幅度提高了解密效率和質(zhì)量．該計算機(jī)程序不僅可對密鑰P進(jìn)行恢復(fù)，而且可自動過濾出CCD接收圖片中正一級加密圖樣．通過圖5所示的濾出的一級密文可知其基本隱藏了明文信息．將密文圖像強(qiáng)度信息結(jié)合利用式(11)，恢復(fù)后的密鑰P所代表的相位分布就可以重建出一級衍射光場．之后計算機(jī)可以結(jié)合K*和P，并根據(jù)(8)、式(9)對重建的復(fù)振幅進(jìn)行計算，最終獲得解密像．圖5所示的解密結(jié)果表明其與明文高度相似，但是其亮度不及明文，具體原因是一級衍射場分配到的能量小于入射光總能量，因此光強(qiáng)有所下降．另外，由于程序解密計算的原理完全基于解密相位掩膜精確放置的理想解密光路，因此解密難度降低而且不會引入環(huán)境噪聲．

圖5 解密前后對比

3 性能分析

原始明文與解密結(jié)果之間的相似度可以通過兩幅圖像的相關(guān)度定量表示．相關(guān)度CC的定義是

(13)

(14)

其中0≤α≤1，rand(-2π,2π)代表(-2π,2π)區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)．正確度α反應(yīng)了假想的竊密者在竊聽時對密鑰引入的隨機(jī)噪聲，正確度越高則噪聲越?。?/p>

圖6 CC值與K*密鑰正確度關(guān)系

另外，本文還證明了使用密鑰P可使加密方法的安全性進(jìn)一步提高．假設(shè)竊密者同時截獲了加密圖片和被加密的密鑰P，但由于未知保密傳輸協(xié)議中的置亂參數(shù)而無法將密鑰P正確恢復(fù)，此時如果竊密者使用強(qiáng)力攻擊破譯置亂參數(shù)，其解密結(jié)果如圖7(a)所示．而圖7(b)(c)分別表明竊密者沒有截獲密鑰P而直接對密文進(jìn)行強(qiáng)力攻擊，和竊密者只通過密鑰K進(jìn)行解密時都無法獲得正確的解密結(jié)果．同時通過計算可得這些解密結(jié)果與明文之間的相關(guān)度CC值都非常低，這進(jìn)一步證明了對稱-非對稱混合加密方法具有很高的安全性．

置亂參數(shù)錯誤 強(qiáng)力攻擊 只使用密鑰K解密圖7 錯誤解密結(jié)果

考慮到實(shí)際傳輸時密文會因受到干擾而引入噪聲，在這種情況下能否正確還原出明文考驗(yàn)的是加密方案的魯棒性．本文利用計算機(jī)模擬方法在密文中加入椒鹽噪聲，噪聲密度從0至0.45每隔0.05取一個值，隨后利用正確的解密方法進(jìn)行解密，利用式(13)計算不同椒鹽噪聲密度影響下的解密結(jié)果和原始圖像之間的相關(guān)度．最終用折線將數(shù)據(jù)點(diǎn)連接，得到圖8．結(jié)果表明在密度低于0.4的椒鹽噪聲影響下，解密結(jié)果與明文之間的相關(guān)度均超過0.8，說明本加密方法在較低噪聲下具有較高的魯棒性．

圖8 椒鹽噪聲影響下的加密方案魯棒性測試

最后需要指出的是，對密鑰K改進(jìn)可以進(jìn)一步提升加密安全性．例如將K設(shè)置為隨機(jī)相位函數(shù)．理論上同樣可以利用該隨機(jī)相位函數(shù)對應(yīng)的計算全息圖對明文圖像的頻譜進(jìn)行相位調(diào)制，這會使得CCD接收到的加密圖案更接近白噪聲，從而提高加密的安全性．但是這種隨機(jī)衍射會導(dǎo)致加密圖像向空間各個方向散射，使得無法通過CCD接收到完整的加密圖像．解決該問題的方法是換用純相位調(diào)制型空間光調(diào)制器直接對頻譜進(jìn)行相位調(diào)制．由于目前受器材限制，無法對此進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．如果條件允許，這不乏是一種更安全的加密手段．

4 結(jié)語

本文基于4f光路設(shè)計了一套對稱-非對稱混合加密系統(tǒng)．該系統(tǒng)有K與P兩幅密鑰．首先通過Lee型迂回相位編碼生成密鑰K對應(yīng)的計算全息圖，并將其放置于4f系統(tǒng)的傅里葉面上對明文圖像進(jìn)行頻域加密，最終使用CCD相機(jī)接收加密密文．與此同時利用相應(yīng)公式對明文計算生成密鑰P，并通過Arnold置亂操作對密鑰P進(jìn)行加密從而實(shí)現(xiàn)保密傳輸．利用自行編寫的計算機(jī)程序進(jìn)行解密操作，大幅度提升解密的效率和質(zhì)量．實(shí)驗(yàn)表明該加密方法具有較高的安全性，同時也證明了本方案在密度小于0.4的椒鹽噪聲干擾下具有較好的魯棒性．同時本實(shí)驗(yàn)設(shè)計也為光學(xué)加密實(shí)驗(yàn)方面的研究開辟了新的思路．