石寰宇，苗榮欣

(中山大學(xué) 物理與天文學(xué)院，廣東 珠海 519082)

電動(dòng)力學(xué)教學(xué)中會(huì)涉及求解角域的靜電場(chǎng)問題，這類問題可以利用鏡像法、分離變量法和格林函數(shù)法等多種方法求解，有助于學(xué)生對(duì)比各種方法的異同和優(yōu)缺點(diǎn)，加深對(duì)靜電場(chǎng)問題的理解.然而這類問題的求解對(duì)本科生而言并不簡(jiǎn)單，需要一定的技巧和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ).本文詳細(xì)給出角域靜電場(chǎng)問題的求解，可以很好地輔助電動(dòng)力學(xué)教學(xué)和本科生自學(xué)電動(dòng)力學(xué).此外相關(guān)結(jié)果可以用來求解角域的卡西米爾效應(yīng)，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

角域靜電場(chǎng)問題是指：兩塊相交的半無限大接地導(dǎo)體板內(nèi)有電荷分布，形成的角域夾角大小為α，求解角域內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)或電場(chǎng).文獻(xiàn)[1]討論了源電荷為無限長(zhǎng)均勻帶電的線電荷時(shí)，任意夾角的角域問題，并通過保角變換法給出通解.文獻(xiàn)[2-4]討論了源電荷為點(diǎn)電荷時(shí)的幾種特殊夾角下的角域問題，并通過電像法給出了電勢(shì).文獻(xiàn)[5,6]則證明了當(dāng)且僅當(dāng)α=π/n(n=1,2,3，…)時(shí)，電像法才適用.文獻(xiàn)[7]給出了任意夾角的結(jié)果，但沒有嚴(yán)格證明α=π/n時(shí)解可以退化至電像法給出的結(jié)果，也沒有討論第二類邊界條件和混合邊界條件的情況.

本文討論了角域內(nèi)源電荷為點(diǎn)電荷的情況，通過電像法給出了α=π/n時(shí)的電勢(shì)分布，進(jìn)一步通過分離變量法給出了任意角度α?xí)r的電勢(shì)分布，通過數(shù)學(xué)計(jì)算嚴(yán)格證明了兩種方法所得到的解在α=π/n時(shí)是等價(jià)的，并對(duì)兩結(jié)果輔以Mathematica進(jìn)行討論和驗(yàn)證，且通過等勢(shì)圖的繪制說明了級(jí)數(shù)解具有較好的收斂性.最后將此問題拓展到第二類邊值問題及混合邊值問題，并給出相應(yīng)的電勢(shì)通解.本文還得到一系列關(guān)于第二類勒讓德函數(shù)Qν(x)的恒等式，這在一般的數(shù)學(xué)手冊(cè)中是沒有的，它們?cè)谔幚硪恍┚哂休S對(duì)稱性的邊值問題時(shí)能發(fā)揮重要作用.需要指出的是，由角域點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)可以得到格林函數(shù)，從而求解最一般的角域靜電場(chǎng)問題.因此本文實(shí)際上研究了最一般的情況而不僅僅是點(diǎn)電荷.

1 角域靜電場(chǎng)問題模型

1.1 問題重述

如圖1所示，兩塊接地的半無限大導(dǎo)體板在一側(cè)相交且夾角為α，在其形成的角域內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)電荷Q.建立柱坐標(biāo)系，z方向垂直紙面朝外，r-φ平面設(shè)在源電荷所在平面，坐標(biāo)原點(diǎn)選為兩平面相交處，且源電荷的位置在(r0,φ0,0)處.試求角域內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢(shì)大小.

圖1 角域靜電場(chǎng)問題圖示

1.2 問題分析

由于角域內(nèi)點(diǎn)電荷的存在，會(huì)使得導(dǎo)體板表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷.感應(yīng)電荷和源電荷共同作用使得導(dǎo)體板上的電勢(shì)維持在零電勢(shì).只要能夠求出感應(yīng)電荷分布，便能求出角域內(nèi)任意位置的電勢(shì).但感應(yīng)電荷分布往往頗為復(fù)雜，它不僅和角域夾角大小α有關(guān)，還與源電荷的具體位置有關(guān).在一些對(duì)稱性較高的條件下，我們可以通過電像法在角域外構(gòu)造像電荷來解決此問題，但對(duì)于一般情況需要我們求解含第一類邊界條件的泊松方程.接下來我們先討論α=π/n的情況，再將此結(jié)果推廣至任意的夾角α.

1.3 電像法

依據(jù)電像法[8]，我們可以在角域外構(gòu)造適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)電荷使得導(dǎo)體邊界上的電勢(shì)為零電勢(shì).其中源電荷Q位于角域內(nèi)，其余的像電荷全部位于角域外以保證泊松方程的源不變.在所有電荷的共同作用下，兩導(dǎo)體板的電勢(shì)保持為零電勢(shì)從而不改變?cè)瓎栴}的邊界條件.如圖2所示，我們列舉了n=2,3,4時(shí)的三類情況以作說明.從中我們可以總結(jié)出以下幾點(diǎn)規(guī)律：1) 所有電荷(源電荷+像電荷)的總數(shù)目為2n個(gè)；2) 源電荷與像電荷圍成的圖形是圓內(nèi)接2n邊形，且圓心為角域頂點(diǎn)，圓的半徑為源電荷到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r0；3) 隨著極角φ的增加，點(diǎn)電荷的電性按照正、負(fù)交錯(cuò)排列，每個(gè)電荷的電荷量大小均為Q.

(a) α=π/2的情形

對(duì)于一般的α=π/n，通過簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，我們可以確定所有電荷的角位置：

(1)

其中i=1代表的是源電荷的角位置，其余為像電荷的角位置.那么角域內(nèi){Ω(r,φ,z)|r>0,0<φ<α,-∞

(2)

其中φi由(1)給出.特別地，當(dāng)

(3)

這意味著源電荷位于角域的角平分線處，源電荷與像電荷圍成了圓內(nèi)正接2n邊形，體系有較高的對(duì)稱性，此時(shí)的φi則可表為：

(4)

上述討論局限于α=π/n，對(duì)于更一般的情況，即α任意，此時(shí)電像法不再適用(像電荷最終會(huì)出現(xiàn)在角域內(nèi)部，這改變了原有的泊松方程的源，不符合唯一性定理的要求)，此時(shí)最為直接的方法便是通過分離變量法解含第一類邊界條件的泊松方程.

1.4 分離變量法

分離變量法是求解定解問題的一種基本方法，其基本思想是將復(fù)雜的偏微分方程分解為幾個(gè)可以求解的常微分方程，帶有邊界條件的常微分方程構(gòu)成了本征值問題.對(duì)于含源的定解問題一般求解思路是將源分解為本征函數(shù)的線性組合，本文提供另一種角度：充分利用正交函數(shù)族的正交性質(zhì)來確定源[9].

考慮α任意的情況，在圓柱坐標(biāo)系中，原邊值問題作為一個(gè)定解問題可以表示為：

(5)

考慮解是可以分離變量的[10],即

Φ(r,φ,z)=R(r)ψ(φ)Z(z)

(6)

在r≠r0時(shí)，(5)轉(zhuǎn)變?yōu)槔绽狗匠?，?jīng)過適當(dāng)變形得

(7)

上式右邊是φ的函數(shù)，左邊是r、z的函數(shù)，兩邊只能是同一個(gè)常數(shù)，記為m2.再考慮到邊界條件，即導(dǎo)體板上的電勢(shì)為0，為滿足此邊界條件只能有

(8)

另一方面，考慮r、z方向，則有

(9)

同樣地，上式右邊是z的函數(shù)，左邊是r的函數(shù)，顯然兩邊只能是同一個(gè)常數(shù).可規(guī)定μ>0,考慮到原問題關(guān)于z=0平面對(duì)稱，則本征函數(shù)只能有

Z(z)=cos(μz), (μ連續(xù),μ>0)

(10)

最后對(duì)于r方向，R(r)滿足方程是：

(11)

這是m階虛宗量貝塞爾方程，它的解為

R(r)=AIm(μr)+BKm(μr)

(12)

其中Im(x)和Km(x)分別是第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù).由兩類虛宗量貝塞爾函數(shù)在r→0及r→∞的行為，要保證所求電勢(shì)在角域內(nèi)連續(xù)且不發(fā)散，R(r)需分為兩個(gè)區(qū)域：

(13)

整合(8)，(10)，(13)得定解問題的本征函數(shù)：

(14)

那么通解則是對(duì)應(yīng)本征函數(shù)的線性組合：

(15)

為解得通解中的系數(shù)Akμ、Bkμ的具體表達(dá)式，我們還需要找出它們滿足的兩個(gè)關(guān)系式。利用電勢(shì)在r=r0處連續(xù)的條件，我們可以得到：

(16)

利用下述兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)[11]：

(17)

可得到系數(shù)Akμ、Bkμ滿足的第1個(gè)關(guān)系式：

AkμIkπ/α(μr0)=BkμKkπ/α(μr0)

(18)

其次考慮到泊松方程的源為狄拉克函數(shù)，利用r方向的本征函數(shù)R(r)在r=r0處的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，將(15)代入式(5)中，并對(duì)r0的鄰域做積分可以得到下述關(guān)系式：

(19)

同樣利用(17)中的兩個(gè)關(guān)系式，可將式(19)化簡(jiǎn)為系數(shù)Akμ、Bkμ滿足的第2個(gè)關(guān)系式：

(20)

由兩類虛宗量貝塞爾函數(shù)的朗斯基行列式滿足的阿貝爾性質(zhì)[12]：

(21)

聯(lián)立式(18)、(20)，并在化簡(jiǎn)中利用式(21)便可解得系數(shù)Akμ、Bkμ：

(22)

將(22)式代入式(15)式中，同時(shí)可將通解整合為更加緊湊的形式：

Φ(r,φ,z)=

(23)

其中r<=min{r0,r},r>=max{r0,r}.上述積分還可以做進(jìn)一步化簡(jiǎn)，文獻(xiàn)[12]給出了下述公式：

(24)

Φ(r,φ,z)=

(25)

角域{Ω(r,φ,z)|r>0,0<φ<α,-∞

2 解的分析

2.1 數(shù)學(xué)驗(yàn)證

在第1節(jié)中我們分別應(yīng)用電像法及分離變量法求得式(2)及式(25)兩類電勢(shì)通解.當(dāng)α=π/n時(shí)，式(25)和式(2)描述的是同一類邊值問題的解，依據(jù)唯一性定理它們應(yīng)當(dāng)是等價(jià)的，我們可以從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格證明式(25)可以退化至式(2).

事實(shí)上式(25)即為第一類邊界條件的角域格林函數(shù).而仿照1.4節(jié)的過程，我們可以推導(dǎo)出自由空間中格林函數(shù)在柱坐標(biāo)下的一般展開式[13]：

(26)

利用式(26)將式(2)展開，同時(shí)利用式(24)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得

(27)

考慮α=π/n，并將式(27)代入式(2)中整合進(jìn)行化簡(jiǎn)得到

(28)

這便是我們要驗(yàn)證的等式，我們通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)確切地證明了當(dāng)α=π/n時(shí)，式(25)能夠退化至式(2).特別地，當(dāng)φ0=α/2時(shí)，式(28)可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(29)

其中φk由式(1)和式(4)式給出.

2.2 電勢(shì)分布

下面通過Mathematica針對(duì)式(2)及式(25)繪制了α=π/2，φ0=π/4，r0=1情況下的等勢(shì)線通過2種方法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較可知這兩個(gè)表達(dá)式所得結(jié)果彼此吻合.其中圖3(b)選取式(25)求和為前20項(xiàng)，最終與電像法所得結(jié)果的誤差僅為10-11量級(jí)，可以定性判斷級(jí)數(shù)收斂非?？烨矣?jì)算精度較高.另外從圖3(c)中可知誤差主要集中于源電荷附近，這是由于源電荷處電勢(shì)發(fā)散，在其附近的數(shù)值計(jì)算精度較低帶來了較大的誤差.

(a) 電像法

3 其他邊界條件

在前述討論中我們已經(jīng)順利解決了兩導(dǎo)體板接地時(shí)的角域靜電場(chǎng)問題并通過電像法以及分離變量法給出了通解，由此自然聯(lián)想到對(duì)于其他邊界條件是否可以通過類似的辦法解決相應(yīng)的角域靜電場(chǎng)問題.通過分析，我們發(fā)現(xiàn)電像法和分離變量法依然適用，但處理過程存在一定差異.

3.1 第二類邊界條件角域問題

參考圖1，將兩板所滿足的邊界條件更改為電勢(shì)的法向?qū)?shù)為零.該第二類邊界條件的定解問題可以表述為：

(30)

在α=π/n時(shí)，電像法依然成立，圖4給出了n=4時(shí)的像電荷示意.與第一類邊值問題不同，此時(shí)所有的像電荷電性與源電荷一致，但像電荷的角位置φi依然可以由式(1)給出.那么角域內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢(shì)則可表示為

(31)

圖4 n=4時(shí)的第二類邊值問題電像法

對(duì)于任意夾角α的情況，利用分離變量法仿照1.4節(jié)可以得到角域內(nèi)電勢(shì)分布為

(32)

仿照2.1節(jié)同樣可以驗(yàn)證式(32)在α=π/n退化至式(31)，由此又可得到關(guān)于第二類勒讓德函數(shù)Qν(x)的恒等式：

(33)

3.2 混合邊界條件角域問題

參考圖1，此時(shí)將φ=0處的平板接地，φ=α處的平板電勢(shì)法向?qū)?shù)保持為零.該混合邊界條件的定解問題可以表述為

(34)

混合邊值問題與前述兩類邊值問題有所不同，電像法僅在α=π/2n時(shí)適用(在α=π/n時(shí)像電荷的電性會(huì)出現(xiàn)矛盾)，此時(shí)的電荷可按照(正、正、負(fù)、負(fù))歸為一組，角域電勢(shì)由4n個(gè)電荷共同作用，每一個(gè)電荷的角位置φi應(yīng)由式(1)修正為

(35)

那么角域空間的電勢(shì)可以表示為

(36)

圖5 n=2時(shí)的混合邊值問題電像法

同樣利用分離變量法可給出任意夾角α?xí)r的電勢(shì)分布：

(37)

在α=π/2n時(shí)式(37)可退化至式(36)，又可得到關(guān)于第二類勒讓德函數(shù)新的恒等式：

sin[(2k-1)nφ0]sin[(2k-1)nφ]

(38)

4 總結(jié)

本文通過電像法和分離變量法解決了三類邊界條件下的角域靜電場(chǎng)問題，并給出了角域內(nèi)部的電勢(shì)解析表達(dá)式.電像法僅適用于對(duì)稱性較高的問題，而分離變量法可以討論任意夾角下的角域問題.對(duì)于不同種類的問題應(yīng)采取不同的解決方法，這對(duì)于加深學(xué)生對(duì)靜電學(xué)的理解以及幫助教師授課都有積極意義.

由格林函數(shù)的物理意義，即單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，式(25)、式(37)、式(42)實(shí)際上對(duì)應(yīng)著三類不同邊界條件下的角域格林函數(shù).一旦確定格林函數(shù)，那么便可以求解內(nèi)部含復(fù)雜電荷分布的角域靜電場(chǎng)問題.本文中的討論便可推廣到任意電荷分布情況下的角域問題.

在驗(yàn)證分離變量法所給電勢(shì)解可以退化至電像法給出的電勢(shì)解時(shí)，我們得到式(28)、(29)、(33)、(38).它們都是關(guān)于第二類勒讓德函數(shù)Qν(x)的恒等式，這些結(jié)果在一般的數(shù)學(xué)手冊(cè)中是沒有給出的.在處理具有柱對(duì)稱性的邊值問題，這些恒等式都可以發(fā)揮重要的作用.