王志臣，陳 濤，曹玉巖，2，周 超

（1. 中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引 言

望遠鏡是人類認識太空、探索宇宙的重要工具，隨著探索的不斷深入，科學(xué)家希望看得越來越遠，看得越來越清晰，望遠鏡的口徑也越來越大。隨著口徑的增大，望遠鏡中間體的結(jié)構(gòu)尺寸、質(zhì)量和慣量隨之增大，對中間體的設(shè)計和檢測提出挑戰(zhàn)。

中間體是望遠鏡光學(xué)系統(tǒng)的承載體，下方安裝主鏡組件，上方安裝次鏡組件，左右兩側(cè)連接俯仰軸承，實現(xiàn)俯仰0～90°的轉(zhuǎn)動，其性能優(yōu)劣直接影響望遠鏡光學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定和指向精度。中間體的性能主要體現(xiàn)在兩方面，一是高剛度、低慣量，剛度直接影響主、次鏡相對位置的穩(wěn)定，質(zhì)量和慣量則影響望遠鏡的伺服性能，尤其是大口徑望遠鏡影響更為明顯［1-3］。二是形位公差精度，望遠鏡俯仰軸承的同軸由中間體兩側(cè)軸孔的同軸度和軸孔端面平行度保證，俯仰軸為簡支回轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，兩端軸承的回轉(zhuǎn)軸應(yīng)在同一直線上，否則將影響望遠鏡的指向和跟蹤精度。

口徑較小的望遠鏡，一般根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗和參數(shù)優(yōu)化即可完成中間體的設(shè)計，質(zhì)量和慣量在可接受范圍內(nèi)，尚無嚴(yán)格要求，中間體的形位公差可利用三坐標(biāo)測量儀檢測。但隨著大口徑望遠鏡結(jié)構(gòu)尺寸的增大，中間體的質(zhì)量和慣量成倍增加，傳統(tǒng)經(jīng)驗和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計已無法滿足中間體高剛度、低慣量的設(shè)計需求，與此同時，中間體的尺寸已超出大多數(shù)三坐標(biāo)測量儀的量程，三坐標(biāo)測量儀難以對其形位公差進行測量。

拓撲優(yōu)化方法隨著有限元理論和優(yōu)化準(zhǔn)則法的發(fā)展而日益成熟，應(yīng)用在結(jié)構(gòu)設(shè)計初期，優(yōu)化空間大，更容易得到形狀合理、布局緊湊的輕量化構(gòu)型。近些年，拓撲優(yōu)化逐步應(yīng)用在望遠鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計中，且取得了豐碩的成果，尤其是在主鏡支撐方面［4-6］。Park 等采用拓撲優(yōu)化方法完成了φ566 mm 反射鏡的設(shè)計，輕量化率為78%［7］。劉書田等采用拓撲優(yōu)化方法完成φ2 m 空間反射鏡的優(yōu)化和設(shè)計，輕量化率達到86%［8］。

大尺寸中間體形位公差的檢測是加工過程中的一個難題，機床打表法依賴機床導(dǎo)軌的精度，且存在刀桿隨伸長量增加逐漸彎沉的問題；測微準(zhǔn)直望遠鏡法操作過程繁瑣，引入的操作誤差較大，檢測精度不高。光學(xué)檢測法不受尺寸和距離的限制，本文利用自準(zhǔn)直儀測角實現(xiàn)中間體軸孔端面平行度誤差的測量，利用激光跟蹤儀空間點坐標(biāo)的測量實現(xiàn)中間體軸孔同軸度誤差的測量。

2 中間體結(jié)構(gòu)設(shè)計

2.1 拓撲優(yōu)化理論

拓撲優(yōu)化是在給定設(shè)計空間尋找最優(yōu)形狀和材料布局的數(shù)學(xué)算法，應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計的初始階段，可以依據(jù)承載要求和約束條件得出合理的結(jié)構(gòu)布局，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)計提供指導(dǎo)［9］。

常用的拓撲優(yōu)化方法有變密度法、變厚度法和均勻化法。其中，變密度法是應(yīng)用較為廣泛的一種方法，具有變量少、計算效率高、容易實現(xiàn)等優(yōu)點［10-11］。本文采用變密度法中較為成熟的固體各向同性材料懲罰模型（SIMP），模型中單元的相對密度連續(xù)可變（ρi∈[0，1]），材料屬性與相對密度的關(guān)系為：

式中：Ei為第i個單元相對密度ρi對應(yīng)的彈性模量，E0為相對密度為1 對應(yīng)的彈性模量，Emin為單元相對密度為ρmin對應(yīng)的彈性模量，p為懲罰因子。以應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)，形變位移和質(zhì)量為約束，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為：

式中：單元相對密度X=（ρ1，ρ2，…，ρN）T為優(yōu)化設(shè)計變量，總應(yīng)變能C（x）最小為優(yōu)化目標(biāo)，Ki=K0為單元剛度矩陣，U0為約束的最大形變位移，M0為約束的最大質(zhì)量。

優(yōu)化準(zhǔn)則法通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)將有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束的極值問題，具有迭代次數(shù)少、收斂速度快的優(yōu)點，構(gòu)造函數(shù)為：

式中：μi（i=1，2，…，N），Λ，λ1，λ2分別為形變位移、質(zhì)量和密度上下限約束的拉格朗日乘子。最優(yōu)解必須滿足Kuhn-Tucker 條件，才能進行靈敏度計算。

目標(biāo)函數(shù)C（x）關(guān)于ρi的靈敏度為：

單元剛度Ki=ρP i K0對ρi求偏導(dǎo)：

位移矩陣KU=P對ρi求偏導(dǎo)：

載荷P與單元相對密度ρi無關(guān)，由上式得形變位移關(guān)于ρi的靈敏度：

將式（5）和式（7）代入式（4）得應(yīng)變能關(guān)于ρi的靈敏度：

質(zhì)量M=ρim0(i=1，2，…，N)關(guān)于ρi的靈敏度：

在完成目標(biāo)函數(shù)和約束關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度分析后，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計變量至優(yōu)化結(jié)束，中間體設(shè)計流程如圖1 所示。

圖1 中間體設(shè)計流程Fig.1 Design flowchart of center section

2.2 中間體拓撲優(yōu)化

中間體邊界載荷有主鏡組件、次鏡組件和自身重力載荷，中間體由左、右軸支撐。將主鏡組件、次鏡組件等效為集中力，建立有限元模型如圖2 所示。

圖2 中間體等效載荷的有限元模型Fig.2 Finite element model of center section with equivalent load

根據(jù)工況確定中間體的非優(yōu)化區(qū)域和優(yōu)化區(qū)域，根據(jù)上節(jié)拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，設(shè)定參數(shù)見表1。應(yīng)用上述參數(shù)，拓撲優(yōu)化迭代結(jié)果如圖3所示。挖空區(qū)域表示目標(biāo)函數(shù)關(guān)于該區(qū)域單元的靈敏度較小，保留區(qū)域顏色深淺表示材料密度不同，顏色越深表示目標(biāo)函數(shù)關(guān)于該區(qū)域單元的靈敏度越大，應(yīng)予保留。

表1 中間體拓撲優(yōu)化模型參數(shù)Tab.1 Parameters of topology optimization for center section

圖3 中間體拓撲云圖Fig.3 Topology optimization contour of center section

2.3 中間體結(jié)構(gòu)再設(shè)計

根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果，結(jié)合生產(chǎn)工藝對中間體的壁厚、筋的排布進行再設(shè)計，結(jié)構(gòu)變形如圖4 所示。相比于傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計的中間體，質(zhì)量由13 t減輕為10.2 t，減少21.5%，最大變形由0.21 mm減小為0.18 mm，靜態(tài)剛度提高14.3%。

圖4 中間體結(jié)構(gòu)變形云圖Fig.4 Deformation contour of center section

3 中間體形位公差檢測

3.1 中間體的形位公差

望遠鏡俯仰軸為兩側(cè)簡支結(jié)構(gòu)，即左、右兩側(cè)為支撐軸承，要保證望遠鏡的指向準(zhǔn)確，左、右兩側(cè)軸承的回轉(zhuǎn)軸必須一致。中間體是左、右軸承的連接體，由中間體兩側(cè)軸孔定位左、右軸承的回轉(zhuǎn)軸位置，中間體兩側(cè)軸孔端面的平行度誤差決定左、右軸承回轉(zhuǎn)軸的角度偏差，中間體兩側(cè)軸孔的同軸度誤差決定左、右軸承回轉(zhuǎn)軸的位置偏差。對于尺寸較小的中間體，可在三坐標(biāo)測量儀上測量軸孔同軸度和軸孔端面平行度誤差；對于大尺寸中間體，則很難找到適用的三坐標(biāo)測量儀，而機床打表法和測微準(zhǔn)直望遠鏡法容易引入操作誤差，檢測精度有限。

3.2 中間體平行度誤差檢測

自準(zhǔn)直儀利用光的自準(zhǔn)直原理實現(xiàn)角度測量，且與測量距離無關(guān)。如圖5 所示，Z向沿軸線指向自準(zhǔn)直儀，Y向豎直向上，X向由右手定則確定，將裝有平面反射鏡的工裝沿Y向吸附在中間體右側(cè)軸孔端面，自準(zhǔn)直儀讀數(shù)為θ1，工裝上下調(diào)轉(zhuǎn)180°，自準(zhǔn)直儀讀數(shù)為θ2，保持自準(zhǔn)直儀位置不動，將工裝沿Y向吸附在中間體左側(cè)軸孔端面，自準(zhǔn)直儀讀數(shù)為θ3，工裝上下調(diào)轉(zhuǎn)180°，自準(zhǔn)直儀讀數(shù)為θ4。

圖5 平行度誤差檢測原理Fig.5 Detection principle of parallelism errors

圖5 中，平行度誤差測量時利用工裝的不同吸附面，假設(shè)平面反射鏡與工裝吸附面存在Y向夾角偏差α，自準(zhǔn)直儀與軸孔端面Y向垂直度誤差θR，工裝翻轉(zhuǎn)180°可消除夾角偏差α，即：

故工裝兩吸附面無平行度要求，且不會對測量結(jié)果產(chǎn)生影響，中間體軸孔端面Y向平行度誤差為：

同理，將工裝沿X向吸附，可得出中間體軸孔端面X向平行度誤差θX。采用分辨力為0.1″的數(shù)顯測微自準(zhǔn)直儀完成中間體軸孔端面平行度誤差檢測，如圖6 所示，兩側(cè)軸孔端面X向角度偏差為5.1″，Y向角度偏差為0.7″，由端面直徑得出軸孔端面平行度誤差為0.016 mm。

圖6 中間體平行度誤差檢測Fig.6 Detection of parallelism error for center section

3.3 中間體同軸度誤差檢測

激光跟蹤儀利用角反射器實現(xiàn)空間點坐標(biāo)的測量，如圖7 所示，在中間體軸孔端面建立測量坐標(biāo)系，Z向沿軸線指向中間體，Y向豎直向上，X向由右手定則確定。使用兩塊千分表分別測量軸孔和端面的跳動，調(diào)整回轉(zhuǎn)工裝與中間體左側(cè)軸孔同軸，靶球隨工裝轉(zhuǎn)動，激光跟蹤儀測量靶球轉(zhuǎn)動過程中的多個位置（xi，yi，zi），令：

圖7 同軸度誤差檢測原理Fig.7 Detection principle of coaxiality error

式中：（xL，yL）為左側(cè)擬合圓心坐標(biāo)，r為擬合圓心半徑，n為采樣點個數(shù)。由最小二乘法求得軸孔圓心在測量坐標(biāo)系中的位置（xL，yL），同理擬合求解右側(cè)軸孔圓心的位置（xR，yR），則中間體軸孔圓心位置誤差為：

采用Leica AT402 完成中間體軸孔同軸度誤差檢測，如圖8 所示，由式（13）得出兩側(cè)軸孔圓心位置偏差為0.03 mm。

圖8 中間體同軸度誤差檢測Fig.8 Detection of coaxiality error for center section

4 結(jié) 論

本文開展了基于拓撲優(yōu)化的大口徑望遠鏡中間體結(jié)構(gòu)設(shè)計，以應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)，形變位移和質(zhì)量為約束，分析應(yīng)變能的靈敏度，得出拓撲優(yōu)化結(jié)果并以此為指導(dǎo)，結(jié)合實際應(yīng)用完成中間體結(jié)構(gòu)設(shè)計，其質(zhì)量為10.2 t，最大變形為0.18 mm，相比于傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計的中間體，質(zhì)量減輕21.5%，靜態(tài)剛度提高14.3%。然后，提出基于自準(zhǔn)直儀和激光跟蹤儀檢測中間體形位公差的光學(xué)檢測法，并完成中間體的檢測，中間體軸孔端面平行度誤差為0.016 mm，軸孔圓心位置偏差為0.03 mm，解決了加工過程中大尺寸中間體的檢測難題。