劉 巍，馬樹青，藍 強

（國防科技大學(xué) 氣象海洋學(xué)院，湖南 長沙 410073）

一、課程介紹

“計算海洋聲學(xué)”是國防科技大學(xué)海洋信息工程、水聲工程方向的骨干專業(yè)課程，主要講授如何建立水聲傳播物理過程的數(shù)學(xué)模型及其相應(yīng)的計算機算法，并通過計算機仿真研究海洋環(huán)境、聲源頻域與位置等聲學(xué)相關(guān)要素對海洋聲場的影響規(guī)律。目前我?！坝嬎愫Ｑ舐晫W(xué)”課程教材為《計算海洋聲學(xué)（第二版）》，該書于1994年面世，并于2011年推出第二版，內(nèi)容（按章節(jié)順序）主要包括：海洋聲學(xué)基礎(chǔ)、波動方程理論、射線法、波數(shù)積分法、簡正波法、拋物方程法、有限差分和有限元法、寬帶建模與噪聲建模，此外還涉及聲納方程、波束形成、匹配場處理等多種水聲應(yīng)用技術(shù)，構(gòu)成了內(nèi)容豐富、架構(gòu)完備的水聲建模理論體系，并通過多個水聲標(biāo)準算例搭建了從理論模型到計算機仿真的技術(shù)鏈條［1］。

“計算海洋聲學(xué)”課程承擔(dān)著培養(yǎng)水聲信息領(lǐng)域高技術(shù)創(chuàng)新型人才的重要任務(wù)。該課程理論知識體系從水聲波動方程出發(fā)，沿環(huán)境簡化與方程近似兩條主線將波動方程各類求解方法分類展開，綜合運用高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理方法、計算方法、計算機編程等多方面的基礎(chǔ)知識，并涉及水聲物理、計算數(shù)學(xué)及計算機科學(xué)等領(lǐng)域的專業(yè)技術(shù)。學(xué)生通過該課程能夠掌握海洋中聲能傳播的求解方法，獲得水聲傳播基本物理規(guī)律，具備水下聲場建模與聲納性能評估的能力，并相應(yīng)提高數(shù)學(xué)物理方程推導(dǎo)、水聲場計算機仿真、聲場可視分析等多方面的專業(yè)技術(shù)水平［2］。此外，該課程強調(diào)水聲物理與計算機技術(shù)相結(jié)合，能夠充分發(fā)揮國防科技大學(xué)在高性能計算、計算數(shù)學(xué)等學(xué)科的優(yōu)勢，從而在我國水聲建模與仿真技術(shù)總體落后于發(fā)達國家的大背景下，爭取形成“計算海洋聲學(xué)”方向的局部優(yōu)勢，并將研究成果適時融入課程，批量培養(yǎng)水聲信息方向的高技術(shù)創(chuàng)新型人才。

然而，該課程教學(xué)目前面臨著多方面的挑戰(zhàn)。學(xué)生方面，由于各類水聲模型均涉及大量數(shù)學(xué)公式，而選課研究生的本科專業(yè)背景多樣、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異顯著，因此需要合理設(shè)定水聲模型數(shù)學(xué)方面的深度、難度才能提高研究生學(xué)習(xí)該課程的實際收益［3］。教師方面，由于海洋聲學(xué)在當(dāng)今信息時代發(fā)展速度明顯加快，要求教師付出更多努力提升自己以適應(yīng)當(dāng)前快速、多元的學(xué)科發(fā)展態(tài)勢，此態(tài)勢的主要特征為：期刊電子檢索出現(xiàn)免費的趨勢，使相關(guān)研究信息生產(chǎn)與傳播速度提高；計算機性能提升迅速，海洋聲學(xué)借助計算數(shù)學(xué)與高性能計算而開辟的新技術(shù)發(fā)展賽道不斷涌現(xiàn)。課程教學(xué)內(nèi)容方面，近幾年為了減輕研究生課業(yè)壓力，該課程學(xué)時數(shù)被大幅壓縮，這顯然與新知識不斷出現(xiàn)相矛盾，并直接促使任課教師對課程內(nèi)容做相應(yīng)調(diào)整。以上幾個方面的挑戰(zhàn)將課程發(fā)展改革的重點聚焦到課程內(nèi)容上，為此本文結(jié)合課程教學(xué)實踐，對該課程內(nèi)容的調(diào)整與優(yōu)化進行了研究。

二、課程內(nèi)容優(yōu)化研究

課程內(nèi)容優(yōu)化的總體方案為：充分調(diào)研“海洋聲學(xué)基礎(chǔ)”等相關(guān)課程的知識體系，刪減重復(fù)內(nèi)容；將現(xiàn)有教材中與整體知識架構(gòu)不協(xié)調(diào)的時域有限差分與有限元法,替換為頻率域有限差分法；梳理“計算海洋聲學(xué)”知識體系，整合相近水聲模型教學(xué)內(nèi)容；對課程知識體系進行整體優(yōu)化。

（一）刪減重復(fù)內(nèi)容

與“計算海洋聲學(xué)”課程內(nèi)容相關(guān)的其他課程包括“海洋聲學(xué)基礎(chǔ)”“水聲信號處理”等，其中“海洋聲學(xué)基礎(chǔ)”（又名“水聲學(xué)原理”）課程包含了水聲學(xué)簡史、聲納方程、海水介質(zhì)及邊界聲學(xué)特性、聲傳播理論（波動方程）、射線法（較詳盡）、簡正波法（較簡略）、水聲目標(biāo)的聲反射與散射、海洋混響與噪聲、聲傳播起伏等內(nèi)容，與“計算海洋聲學(xué)”教材中第一章（海洋聲學(xué)基礎(chǔ)）、第三章（射線法）、第五章（簡正波法）、第九章（環(huán)境噪聲）的內(nèi)容有重疊；而“水聲信號處理”課程內(nèi)容與“計算海洋聲學(xué)”第十章（噪聲中的信號）內(nèi)容有重疊。因此，在“計算海洋聲學(xué)”課程學(xué)時數(shù)被大幅壓縮的情況下，可考慮刪減“計算海洋聲學(xué)”第一、三、九、十章。此外，“計算海洋聲學(xué)”第二章中的均勻介質(zhì)與分層介質(zhì)等內(nèi)容可歸入第四章與第五章，從而使第二章可專注于波動方程推導(dǎo)與寬帶模型相關(guān)理論（原教材第八章）。

（二）替換不協(xié)調(diào)內(nèi)容

“計算海洋聲學(xué)”第七章有限差分法和有限元法的內(nèi)容為求解時間域波動方程的時域水聲模型，與第三章射線法、第四章波數(shù)積分、第五章簡正波和第六章拋物方程均為頻率域水聲模型并不協(xié)調(diào)。依據(jù)聲場中任意位置處的聲壓是否具有周期性，可將聲場類型分為穩(wěn)態(tài)（steady-state）聲場與非穩(wěn)態(tài)聲場。聲源短時間振動激發(fā)的聲場（類似于地震波）或聲源持續(xù)振動下的初始時間段內(nèi)，聲場各位置的聲壓不具有周期性（非穩(wěn)態(tài)），此時聲壓可由時域波動方程描述（聲壓是三維空間+時間的四維函數(shù)）。與非穩(wěn)態(tài)聲場相對應(yīng)的是穩(wěn)態(tài)聲場，即持續(xù)簡諧振動的聲源（可能包含多個頻率），在經(jīng)過足夠長的時間后，聲源激勵與邊界反射已經(jīng)充分發(fā)展，時間平均聲能量傳輸路徑趨于穩(wěn)定，聲場內(nèi)任意點的聲壓具有類似簡諧振動的表達形式，此時可將時域波動方程轉(zhuǎn)換為頻率域Helmholtz方程，即對于某個特定頻率而言，頻率域聲壓僅與三維空間位置有關(guān)［4］。

目前，“計算海洋聲學(xué)”主要內(nèi)容是如何準確、高效求解頻率域Helmholtz方程，雖然也存在求解時間域波動方程的算法，但因存在時間累積誤差、缺少標(biāo)準算例、計算代價過大等原因，仍處于關(guān)鍵算法研究過程中，暫時不適合作為研究生課程教學(xué)內(nèi)容。此外，近幾年來，采用數(shù)值方法直接離散水聲Helmholtz方程的水聲模型取得了令人矚目的進步，主要包括有限差分法、邊界元法與有限元法：其中邊界元法適合求解分層（各層交界面可不是平面）介質(zhì)的聲場；有限元法通用性最好且容易處理各類邊界，但存儲量與計算量較大，目前暫未實現(xiàn)大規(guī)模海洋聲場模擬；有限差分法通用性較好，且具有高階精度格式構(gòu)造簡單、規(guī)則網(wǎng)格坐標(biāo)無須存儲、算法程序存儲量小、計算效率高等優(yōu)點，已被用于求解三維海洋聲場。因此，可以采用求解頻率域Helmholtz方程的有限差分模型替換現(xiàn)有第七章內(nèi)容，從而使該課程主要內(nèi)容始終圍繞頻域水聲模型（課程知識脈絡(luò)更清晰）。頻率域有限差分模型的主要教學(xué)內(nèi)容包括差分格式、聲源處理方法、邊界條件、完全匹配層、方程組求解、預(yù)條件加速、聲場數(shù)據(jù)可視化等，其中聲源處理方法可采用波數(shù)積分法或鏡像法，且有限差分模型在水平分層理想環(huán)境下的計算結(jié)果也可用波數(shù)積分法或鏡像法校核。

（三）整合相近模型

“計算海洋聲學(xué)”第四章波數(shù)積分與第五章簡正波都是在水平分層海洋環(huán)境下的波動理論解法，二者均根據(jù)聲場軸對稱特性將直角坐標(biāo)水聲Helmholtz方程轉(zhuǎn)換為周向無關(guān)的柱坐標(biāo)方程，并采用Hankel變換獲得Sommerfeld積分與深度分離波動方程（簡稱深度方程）。二者的區(qū)別是波數(shù)積分法直接求解深度方程并進行離散形式的水平波數(shù)積分；而簡正波法應(yīng)用留數(shù)定理，忽略分支割線的積分，從而將沿實軸的積分轉(zhuǎn)換成實軸上的留數(shù)項之和?？梢姴〝?shù)積分與簡正波的模型假設(shè)、求解過程類似，可考慮將兩章合并，在相同理論框架下（Sommerfeld積分）引出兩個分支（直接積分與留數(shù)定理）。目前《計算海洋聲學(xué)》教材第五章簡正波法中缺少三個與波數(shù)積分法緊密相關(guān)的知識點，分別是分離變量法、Wronskian行列式與深度方程缺失非齊次項。其中分離變量法在簡正波內(nèi)容開始階段就被應(yīng)用，但并未給出能夠使用分離變量法的前提條件；實際上，Sommerfeld積分式中的波數(shù)核函數(shù)僅與水平波數(shù)和深度有關(guān)，而Bessel函數(shù)僅與水平波數(shù)和水平距離有關(guān)，當(dāng)水平波數(shù)離散后，即可實現(xiàn)深度項（波數(shù)核函數(shù)）與水平項（Bessel函數(shù)）的分離，此即簡正波可采用分離變量法的理論依據(jù)。而Wronskian行列式與深度方程缺失非齊次項是關(guān)聯(lián)的，波數(shù)積分法導(dǎo)出的深度方程具有奇異項，在跨過聲源點的線段上對深度坐標(biāo)進行積分，可獲得聲源深度上、下表面的波數(shù)核函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)聯(lián)條件（簡稱聲源條件），從而可將深度方程求解區(qū)域劃分為聲源上方與下方兩部分，并在聲源處通過聲源條件實現(xiàn)耦合（深度方程非齊次項即被聲源條件代替）；基于以上原因，波數(shù)積分法可采用傳遞函數(shù)矩陣法求解深度方程，將分別滿足上、下邊界條件的齊次深度方程解在聲源深度根據(jù)聲源條件建立聯(lián)系，進而獲得同時滿足上、下邊界條件的非齊次深度方程解，此解可寫成分數(shù)形式，且在簡正波法計算核函數(shù)留數(shù)時,需要對此分數(shù)的分母求導(dǎo)，即可得到分母位置的Wronskian行列式。從以上分析可知，簡正波法與波數(shù)積分法是緊密相關(guān)的，可考慮將兩章合并，在相同理論框架下引出兩個分支。

（四）優(yōu)化課程知識體系

完成以上課程內(nèi)容調(diào)整后，可對課程教學(xué)內(nèi)容進行整體優(yōu)化，“計算海洋聲學(xué)”新課程內(nèi)容主要包括水聲波動方程推導(dǎo)、寬帶模型、波動理論類水聲模型與數(shù)值類水聲模型（拋物方程與頻域有限差分）。其中水聲波動方程以流體介質(zhì)為對象（將沉積層也近似為流體），從理想（無黏性）流體歐拉方程出發(fā)，在海水宏觀靜止、小擾動（介質(zhì)壓強變化與密度變化成正比）假設(shè)下，推導(dǎo)出時間域水聲波動方程（時空四維），再假設(shè)聲場具有穩(wěn)態(tài)特性，將時間域水聲波動方程中物理聲壓的時間簡諧因子提出，從而獲得以頻率域復(fù)聲壓為變量的水聲Helmholtz方程（齊次方程）；然后定義Green函數(shù)形式，通過高斯定理配置Helmholtz方程非齊次項（狄拉克函數(shù)），并提出三類邊界條件，包括：第一類（Dirichlet，如海面壓力釋放邊界）、第二類（Neumann，如剛性海底邊界或?qū)ΨQ邊界）與第三類（Robin，如聲場人工截斷處的Sommerfeld輻射邊界）。

波動理論類水聲模型包含波數(shù)積分與簡正波兩類方法，從水平分層環(huán)境假設(shè)開始，推導(dǎo)柱坐標(biāo)系Helmholtz方程，應(yīng)用Hankel變換得到非齊次深度方程與Sommerfeld積分方程，然后引出直接積分與應(yīng)用留數(shù)定理兩個分支：直接積分先對水平波數(shù)進行離散，然后采用傳遞函數(shù)矩陣法（或有限元法）求解每個水平波數(shù)下的深度方程，并采用梯形公式計算Sommerfeld積分（即波數(shù)積分法），也可將Bessel函數(shù)近似為指數(shù)函數(shù)（遠場近似）并采用快速Fourier變換技術(shù)加快計算（即快速場模型）；應(yīng)用留數(shù)定理可將沿實軸正向的Sommerfeld 積分轉(zhuǎn)換成有限個留數(shù)項之和（忽略虛軸路徑的積分值），計算速度可顯著提高，教學(xué)內(nèi)容涉及簡正波表達式的推導(dǎo)（如上節(jié)關(guān)于Wronskian 行列式的討論）、齊次深度方程特征值與特征向量求解、多個簡正波的合成等。此外，拋物方程模型與頻域有限差分模型也具有多方面的相似之處，即二者均需要設(shè)置網(wǎng)格、邊界條件與初始聲場，二者也可進行某種方式的聯(lián)合，如在直角網(wǎng)格下，用有限差分法迭代計算近距離聲場，然后啟動拋物方程模型讀入有限差分求解區(qū)域的最外層結(jié)果并用作其初始場，進而向外逐層推進求解遠距離聲場。因此，可考慮設(shè)置一個數(shù)值水聲模型類（與波動理論類并列），并引出拋物方程與頻域有限差分兩個分支。

結(jié)語

“計算海洋聲學(xué)”與計算機技術(shù)緊密相關(guān)，其內(nèi)容只有隨著計算機技術(shù)的發(fā)展而不斷調(diào)整與更新，才能保持課程活力，從而吸引研究生選修該課程，并促進“計算海洋聲學(xué)”技術(shù)持續(xù)發(fā)展。進入新世紀以來，超級計算機、高性能計算、云計算、量子計算、5G、大數(shù)據(jù)、機器學(xué)習(xí)、人工智能等具有革命性的計算機技術(shù)快速迭代，知識分化速度加劇，大量具有時代氣息的新領(lǐng)域、新課程不斷出現(xiàn)，而研究生課程學(xué)時總量有限，為了減輕研究生的課業(yè)負擔(dān)，“計算海洋聲學(xué)”等具有較長學(xué)科歷史的課程學(xué)時被相應(yīng)壓縮。計算機學(xué)科的飛速進步與課程學(xué)時被縮減形成了課程內(nèi)容改革的外部壓力，促使授課教師突破現(xiàn)有“計算海洋聲學(xué)”教材限定的課程內(nèi)容框架，處理好各相關(guān)課程的教學(xué)內(nèi)容分配與知識銜接，并在保持課程本質(zhì)不變的情況下盡可能吸納更先進的計算機技術(shù)。本文對“計算海洋聲學(xué)”課程內(nèi)容進行了調(diào)整與優(yōu)化，可更加清晰地梳理該課程知識體系，但教學(xué)內(nèi)容與方案仍需要在未來進行不斷修改與調(diào)整，以將計算機技術(shù)與計算海洋聲學(xué)技術(shù)的進步及時融入課程，實現(xiàn)課程的常講常新。