郭建華

(邵陽(yáng)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，湖南 邵陽(yáng)，422000)

任何風(fēng)險(xiǎn)投資都是在隨機(jī)環(huán)境中進(jìn)行，因而，如何降低隨機(jī)環(huán)境中未定權(quán)益風(fēng)險(xiǎn)是金融界的研究熱點(diǎn)。風(fēng)險(xiǎn)的度量準(zhǔn)則眾多，其中，HANS等[1]提出將投資組合成本的條件均方誤差過(guò)程E[(CT-Ct)2|Ft]作為一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法；BOUKEAU等[2]提出均方準(zhǔn)則,即把終期財(cái)富與未定權(quán)益之差的平方的期望，即E(VT-H)2作為風(fēng)險(xiǎn)，后來(lái)，均方風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域[3],但這種風(fēng)險(xiǎn)定義方法與實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)含義有所違背，為克服上述準(zhǔn)則的不足，F(xiàn)?LLMER等[4]在自融資約束下提出用期望虧損E(H-VT)+作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)；此外，還有諸如成功概率標(biāo)準(zhǔn)[5]、VaR標(biāo)準(zhǔn)[6-9]等。然而，這些文獻(xiàn)研究的都是標(biāo)準(zhǔn)歐式未定權(quán)益的套期保值問(wèn)題，很少涉及非標(biāo)準(zhǔn)歐式未定權(quán)益。而實(shí)際情況是，在金融市場(chǎng)上非標(biāo)準(zhǔn)歐式未定權(quán)益很常見(jiàn)，譬如投資者出售某種金融合約(如不同期限的期權(quán)、保險(xiǎn)合約等)而且在某一時(shí)間段內(nèi)可能面臨著隨機(jī)的支付義務(wù)(期權(quán)到期的隨機(jī)損失、保險(xiǎn)賠付)，目前很多研究者對(duì)這種隨機(jī)支付型未定權(quán)益[10-11]套期保值問(wèn)題展開(kāi)了深入的研究，THOMAS[12]研究了資產(chǎn)價(jià)格是連續(xù)鞅情況下隨機(jī)支付型未定權(quán)益的風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值；楊建奇等[13]研究了對(duì)完全信息和不完全信息下隨機(jī)支付型未定權(quán)益的風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值；文獻(xiàn)[14]利用G-K-W分解定理研究了隨機(jī)支付未定權(quán)益的風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值。

本文以成本的條件均方誤差過(guò)程作為風(fēng)險(xiǎn)度量，建立風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值模型，研究了離散型隨機(jī)支付未定權(quán)益風(fēng)險(xiǎn)最小動(dòng)態(tài)套期保值。對(duì)一個(gè)離散型隨機(jī)支付未定權(quán)益，首先利用G-K-W分解定理證明其存在唯一最小風(fēng)險(xiǎn)策略；然后根據(jù)最優(yōu)性原理，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求得套期保值期內(nèi)每一策略調(diào)整時(shí)刻的最優(yōu)策略的顯式解。

1 套期保值模型

設(shè)(Ω,F,P)是概率空間,F=(Ft)t=0,1,…,T表示市場(chǎng)信息流，S=(St)t=0,1,…,T為非負(fù)的F適應(yīng)過(guò)程，表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)價(jià)格，B=(Bt)t=0,1,…,T表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)價(jià)格。為了計(jì)算方便，本文假定價(jià)格均為折現(xiàn)值，即Bt≡1，St為股票的折現(xiàn)價(jià)格。H={Ht,t=0,…,T}是一個(gè)平方可積隨機(jī)支付流，表示投資者出售某種金融合約(如不同期限的期權(quán)、保險(xiǎn)合約等)而在[0,T]時(shí)間段內(nèi)不同時(shí)刻可能面臨的現(xiàn)金支付(期權(quán)到期的隨機(jī)損失、保險(xiǎn)賠付)，即投資者可能面臨一個(gè)隨時(shí)發(fā)生的隨機(jī)損失，這里假設(shè)(t-1,t]內(nèi)發(fā)生的隨機(jī)支付都累積到t時(shí)刻完成并記Ht=H(t,St)。為了避免或減少這種損失的發(fā)生，套期保值者通常利用現(xiàn)有的金融資產(chǎn)構(gòu)建一個(gè)投資策略來(lái)降低這種損失。

假設(shè)對(duì)任意隨機(jī)過(guò)程Y=(Yt)t=0,1,…,T，Θ(Y)表示所有滿(mǎn)足?tΔYt∈L2(P),t=0,1,…,T的可料過(guò)程(?t)t=0,1,…,T構(gòu)成的空間，其中,ΔYt:=Yt-Yt-1。

定義1：一個(gè)投資策略φ就是一對(duì)隨機(jī)過(guò)程(?,δ)，其中,?∈Θ(S),δ是適應(yīng)過(guò)程，且：

Vt(φ):=?tSt+δt∈L2(P)，t=0,1,…,T

(1)

式中：V(φ)稱(chēng)為是投資策略φ對(duì)應(yīng)的價(jià)值過(guò)程。其中,(?t,δt)表示在時(shí)刻t做出策略調(diào)整后投資者持有的股票份數(shù)和債券金額，相應(yīng)地，Vt(φ)表示t時(shí)刻策略調(diào)整后的資產(chǎn)組合的理論價(jià)值。

定義2：對(duì)于隨機(jī)支付流H={Ht,t=0,…,T}，和給定的初始組合(?0,δ0)，稱(chēng)一個(gè)策略φ=(?,δ)是自籌資策略并完全復(fù)制H，如果?tSt+δt=?t-1St+δt-1-Ht，其中,Ht表示在(t-1,t]發(fā)生的隨機(jī)支付。

注：1)由于實(shí)際市場(chǎng)的不完備性和金融資產(chǎn)交易費(fèi)用的存在，因而通過(guò)自籌資策略對(duì)未定權(quán)益進(jìn)行完全復(fù)制是難以實(shí)現(xiàn)的，也就是要達(dá)到完全復(fù)制未定權(quán)益就必須突破自籌資約束而追加成本；

2)根據(jù)定義1和定義2，在任意時(shí)刻t做出策略調(diào)整時(shí)，隨機(jī)支付Ht已經(jīng)發(fā)生，所以，在期末T時(shí)刻，認(rèn)為未定權(quán)益已經(jīng)支付完成，有理由認(rèn)為H的完全復(fù)制策略φ對(duì)應(yīng)有VT(φ)=0，并稱(chēng)φ為0-取得策略。

根據(jù)定義2的注(1)，要復(fù)制H則需要追加成本，這樣，在每?jī)纱尾呗哉{(diào)整時(shí)間段(t-1,t]內(nèi)，有如下費(fèi)用發(fā)生和組合的變化：

組合由t-1時(shí)刻的Vt-1(φ)=?t-1St-1+δt-1調(diào)整為t時(shí)刻的Vt(φ)=?tSt+δt；

時(shí)間段(t-1,t]內(nèi)發(fā)生的隨機(jī)支付Ht；

時(shí)間段(t-1,t]內(nèi)由于資產(chǎn)價(jià)格的變化引起的組合價(jià)值增量?t-1ΔSt:=?t-1(St-St-1)；

時(shí)間段(t-1,t]內(nèi)追加的成本ΔCt(φ):=Ct(φ)-Ct-1(φ)；

而且上述費(fèi)用滿(mǎn)足關(guān)系：Vt(φ)=Vt-1(φ)+?t-1ΔSt+ΔCt(φ)-Ht，即

Ct(φ)=Vt(φ)-Vt-1(φ)-?t-1ΔSt+Ct-1(φ)+Ht

(2)

把式(2)關(guān)于時(shí)間0,1,…,t做累加，有：

定義3：交易策略φ=(?,δ)對(duì)應(yīng)的成本過(guò)程為

C0(φ)=V0(φ)+H0=?0S0+δ0+H0

(3)

ΔSj=Sj-Sj-1,分別是股票的價(jià)格增量。因?yàn)橥顿Y者是在0時(shí)刻售出未定權(quán)益并建立對(duì)沖頭寸，故通常認(rèn)為H0=0。

定義4：交易策略φ=(?,δ)對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程定義為

Rt(φ):=E[(CT(φ)-Ct(φ))2|Ft]，t=0,1,…,T

(4)

定義5：設(shè)φ={(?t,δt)},t={0,1,…,T}是一個(gè)策略，如果對(duì)任意可容許策略φ′={(?t′,δt′)}：①VT(φ)=VT(φ')P-a.s；②對(duì)s≤t，?s=?s′；③對(duì)s

在風(fēng)險(xiǎn)最小標(biāo)準(zhǔn)下，尋找一個(gè)0-取得策略對(duì)未定權(quán)益(隨機(jī)支付流H={Ht,t=0,…,T})進(jìn)行套期保值，則套保模型可表示為

(5)

2 模型求解

定理1：任意風(fēng)險(xiǎn)最小策略φ=(?,δ)對(duì)應(yīng)的成本過(guò)程Ct(φ)是鞅[15]。

定理2：對(duì)于任一給定的離散型隨機(jī)支付未定權(quán)益H={Ht,t=0,…,T}，存在唯一的0-取得風(fēng)險(xiǎn)最小策略φ=(?,δ)。

證明：存在性：

(6)

設(shè)φ=(?,δ)是一個(gè)0-取得策略，即VT(φ)=0,則由定義3及式(6)得：

(7)

(8)

唯一性：

定理3(最優(yōu)性原理[16])：對(duì)任何(t,x)∈[0,T]×R以及s∈[t,T]，下述等式恒成立：

(9)

式中：yt,x(.)=yt,x(.,u(.))是過(guò)程的狀態(tài)，u(.)∈U[t,T]是控制過(guò)程，U[t,T]是時(shí)間集[t,T]內(nèi)的可選控制集。

定理4：公式(5)對(duì)應(yīng)的套期保值問(wèn)題有如下形式的最優(yōu)策略：

(10)

證明：在0-取得策略約束VT(φ)=0下，由定義3，可得

(11)

用歸納方法證明定理4。

當(dāng)t=T-1時(shí)：

(12)

當(dāng)t=T-2時(shí)：

(13)

可以解得：

(14)

假設(shè)在t+1時(shí)刻，有：

則在t時(shí)刻，有：

(15)

(16)

證畢

3 一個(gè)算例

保險(xiǎn)公司為了減小可能面臨的保險(xiǎn)支付則會(huì)購(gòu)買(mǎi)相應(yīng)股票或債券進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，根據(jù)定理4，各時(shí)刻的對(duì)沖頭寸為

(17)

(18)

4 結(jié)論

對(duì)一個(gè)離散型隨機(jī)支付未定權(quán)益，首先證明其風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值策略是一個(gè)鞅過(guò)程，然后利用G-K-W分解定理證明其存在唯一風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值策略；再根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，利用倒向遞推方法推導(dǎo)得出各離散時(shí)刻隨機(jī)支付未定權(quán)益的風(fēng)險(xiǎn)最小套期保值策略顯式解，該策略可以用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格和隨機(jī)支付的條件矩表示。