石勇國，吳佳昕，徐小琴

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，內(nèi)江 四川 641100)

“教科書是讀者最多、最特殊、最被讀者信賴甚至依賴、最耗費(fèi)讀者精力和時(shí)間、對(duì)讀者影響最深遠(yuǎn)的文本[1].”“教科書依然是課堂教學(xué)的命脈；在許多情形下, 課程實(shí)際上就取決于教材[2].”教材是學(xué)科知識(shí)的具體展臺(tái), 是師生教與學(xué)的主要教學(xué)材料. 任丹鳳[3]提出：“教材的優(yōu)劣與教材編寫者的教育教學(xué)理念、學(xué)科知識(shí)功底和教學(xué)法理論水平、心理學(xué)知識(shí)、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)教材的革新意識(shí)有著密切的關(guān)系. ” 研究教材、開發(fā)教材、質(zhì)疑教材、評(píng)價(jià)教材是教育工作者的基本素養(yǎng)[4-8]. 由于川南地區(qū)某些中學(xué)使用人教A版教材，其中基本不等式章節(jié)承前啟后，非常重要，同時(shí)也具備較好的探究價(jià)值. 本文探討人教A版教材基本不等式章節(jié)在問題引入、基本概念、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、思維引導(dǎo)、結(jié)果推廣、證明方法多樣性、經(jīng)典案例選取、插圖等編寫方面的合理性與優(yōu)化問題, 給出了評(píng)價(jià)與修改建議. 促進(jìn)師生在教學(xué)中思考，幫助編寫者在改編中作為參考，不斷完善改進(jìn).

1 問題引入的方式

數(shù)學(xué)教材編排的一般模式是：問題引入—實(shí)驗(yàn)猜想—驗(yàn)證證明—多元表征—應(yīng)用舉例—分層練習(xí)—數(shù)學(xué)閱讀. 其中，問題引入作為章節(jié)知識(shí)引航者，引入設(shè)計(jì)尤其重要.

“基本不等式”是人教A版高中《數(shù)學(xué)》教材必修五第3章第4節(jié)的內(nèi)容. 該章節(jié)以 2002年北京召開的第24屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的弦圖作為情景引入, 提出如下問題: “你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?”

該引入的問題有點(diǎn)寬泛，導(dǎo)向不夠明確，學(xué)生極大可能推導(dǎo)出勾股定理，而很難導(dǎo)出算術(shù)幾何均值不等式這個(gè)主題. 為了直擊主題，建議以更加直接的方式設(shè)問，例如，考慮選取下面的問題引入課題.

根據(jù)皮亞杰的學(xué)習(xí)心理學(xué)，當(dāng)新的問題難以使用已有知識(shí)解決時(shí)，也就造成了學(xué)生認(rèn)知的失衡或沖突. 上述問題明確且容易造成這樣的失衡，更加有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，從而促使學(xué)生更深入地參與課程活動(dòng).

類似地，可設(shè)對(duì)偶的問題：

考慮一個(gè)邊長為x和y的長方形，因此它的周長為2x+2y，面積為xy.同樣，所有邊長為(x+y)/2的正方形的面積均為(x+y)2/4，并且與長方形的周長相同，均為2x+2y，但是面積不同，問：等周長的長方形中哪個(gè)長方形面積最大?

算術(shù)幾何均值不等式的最簡單的非平凡情況也意味著，對(duì)于長方形與正方形的面積，(x+y)2/4≥xy，換句話說，在所有周長相等的長方形中只有正方形具有最大的面積.

2 基本概念的商榷

首先，在教材的整個(gè)章節(jié)中，沒有給出基本不等式的正式定義，對(duì)于“基本”這個(gè)前綴形容詞也沒有內(nèi)涵解釋，概念模糊不清. 建議采用人們現(xiàn)在都接受的名稱：算術(shù)幾何平均不等式.

實(shí)際上，一些常見的、重要的基本不等式還有三角函數(shù)相關(guān)不等式、伯努利不等式等，用基本不等式特指算術(shù)幾何平均不等式有兩方面不妥. 一方面，學(xué)生容易模糊不等式的范圍；另一方面，容易造成認(rèn)知上的錯(cuò)誤，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為其他不等式可能均由基本不等式導(dǎo)出.

3 人文典故的點(diǎn)綴

數(shù)學(xué)教材要強(qiáng)調(diào)知識(shí)生成過程中的數(shù)學(xué)思想方法，需要通過數(shù)學(xué)學(xué)科背景中的歷史淵源、人文典故、哲學(xué)內(nèi)涵、思政等元素進(jìn)行文化育人，提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)[9-10]．

該教材除了使用第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)以外，沒有任何關(guān)于算術(shù)幾何平均不等式產(chǎn)生、證明、推廣的人文典故介紹. 事實(shí)上，均值不等式有豐富的歷史文化背景.

公元前1822年至公元前1762年，古巴比倫數(shù)學(xué)泥板的“和差術(shù)”(見圖1)(a+b)2-(a-b)2=4ab以及代數(shù)證明，可輕松證明基本不等式．

圖1 古巴比倫數(shù)學(xué)泥板

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》卷六命題8的推論中定義了幾何中項(xiàng)：“如果在一個(gè)直角三角形中，從直角點(diǎn)作一條垂直于斜邊的垂線，那么這條垂線段是斜邊上兩條分得的線段的比例中項(xiàng)．”即著名的射影定理(見圖2)．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了三類中項(xiàng)：算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)與調(diào)和中項(xiàng)(見圖2、4)．

圖2 幾何平均與射影定理

公元前 2 世紀(jì)左右，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾多魯斯在《論等周圖形》一書中給出了等周問題:“在邊數(shù)相同的等周多邊形中, 等邊且等角的多邊形面積最大”[11].

公元3世紀(jì)，三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》中的“勾股圓方圖”進(jìn)行注解，做出了著名的趙爽弦圖(見圖3)．該圖不僅用于勾股定理的證明，還可以利用圖形之間的面積關(guān)系，得到基本不等式的幾何證明．

圖3 趙爽弦圖

公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯開始研究這些中項(xiàng)的圖形表示(見圖4)．他率先從一個(gè)半圓形與直角三角形出發(fā)，找到了調(diào)和中項(xiàng)的作圖法．得到了DE≤DC≤DO≤DF，即調(diào)和中項(xiàng)≤幾何中項(xiàng)≤算術(shù)中項(xiàng)≤均方根[12]。

圖4 調(diào)和中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)、算術(shù)中項(xiàng)與均方根

2016年，第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽(見圖5)，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)家將基本不等式用幾何直觀方式拓展成不等式鏈．

在展示這些數(shù)學(xué)歷史背景、人文故事的同時(shí)，將數(shù)學(xué)家的探索過程融入其中，讓學(xué)生穿越時(shí)空，與這些偉大的數(shù)學(xué)家對(duì)話交流，走進(jìn)他們心靈深處，了解思想之源，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心、榮譽(yù)感；體會(huì)數(shù)學(xué)家孜孜不倦、不斷進(jìn)取、開拓創(chuàng)新的精神，潛移默化，潤物無聲，從而達(dá)成“德育之效”．

圖5 第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽

由于教材有篇幅、字?jǐn)?shù)的限制，以及簡潔性的要求，建議補(bǔ)充少量有價(jià)值的人文元素，或在閱讀材料中補(bǔ)充關(guān)鍵性的史料，拓寬學(xué)生的視野．

4 拓展性思維的引導(dǎo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2020年)》指出： “素材應(yīng)具有基礎(chǔ)性、時(shí)代性、典型性、多樣性和可接受性”，“課程內(nèi)容的呈現(xiàn), 應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律, 以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律, 體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則”的轉(zhuǎn)變. 此外，曾天山[13]認(rèn)為教科書對(duì)學(xué)生的拓展性思維起著引導(dǎo)作用.

人教A版教材僅給出了均值不等式中最特殊的一個(gè)，沒有進(jìn)行推廣，沒有給出一般情形；其次，證明方法給出代數(shù)與幾何各一個(gè)方法，缺乏證明方法的多樣性. 放棄追求知識(shí)的繁殖能力，忽視了培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與再創(chuàng)造的激情.

因?yàn)榫挡坏仁絻?nèi)在的簡潔對(duì)稱美以及廣泛的應(yīng)用與推廣，非常適合拓展．這能夠使學(xué)生有效地了解均值不等式的本質(zhì)，理解學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，對(duì)后續(xù)研究性的學(xué)習(xí)有著事半功倍的效果．

4.1 不等式(鏈)的推廣

強(qiáng)化不等式鏈的統(tǒng)一幾何解釋以及應(yīng)用，達(dá)到對(duì)知識(shí)的拓展和思想方法的靈活運(yùn)用．

構(gòu)造如圖2所示的圖像，設(shè)置算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、圓的半徑和直角三角形射影定理之間的知識(shí)遷移．先探索幾何平均數(shù)的幾何表示．接著構(gòu)造兩個(gè)新的直角三角形(見圖4)，進(jìn)而得到調(diào)和平均數(shù)和均方根的幾何表示．將均值不等式從2項(xiàng)，拓展到均值不等式鏈的4項(xiàng)．

以第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽為例，它的主題圖案(見圖5)是由一連串直角三角形(見圖6)演化而成，請學(xué)生自主探索，寫出更多項(xiàng)的均值不等式鏈．

圖6 構(gòu)造不等式鏈幾何圖形

在抓住本質(zhì)之后，掌握了2項(xiàng)的基本不等式可以由1個(gè)直角三角形斜邊與直角邊的大小關(guān)系得到，可以進(jìn)一步構(gòu)造多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的直角三角形(以斜邊作為另外一個(gè)新三角形的直角邊，或以直角邊作為另外一個(gè)新三角形的斜邊，一直類似構(gòu)造，得到一串直角三角形)，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)一系列項(xiàng)的基本不等式鏈．因此，抓住了本質(zhì)，才有機(jī)會(huì)進(jìn)一步拓展，超越現(xiàn)有的知識(shí)內(nèi)容，不斷進(jìn)行創(chuàng)造與發(fā)展．

圖7 練習(xí)拓展

對(duì)于數(shù)學(xué)教育大會(huì)會(huì)徽，可以設(shè)置如下練習(xí)題：如圖7所示，其中

OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，

若將此類三角形連續(xù)做下去，記四邊形OA1A2A3，OA2A3A4，…，OAnAn+1An+2，…面積的倒數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，且這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則a1的值為，S99的值為．

分析：結(jié)合直角三角形的特征、勾股定理、面積公式以及基本不等式，使用裂項(xiàng)相消法即可求解Sn以及{an}的通項(xiàng)公式，代入相應(yīng)數(shù)值，此題可解．

解：由題意得

故

由基本不等式衍生出眾多不等式鏈，例如重要不等式鏈：若a>0，b>0，則

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．如何將此不等式鏈擴(kuò)展到3個(gè)數(shù)?若a>0，b>0，c>0，則有

以及恒成立的不等式

a2+b2≥2ab(a∈R，b∈R)；
a2+b2+c2≥ab+bc+ac
(a∈R，b∈R，c∈R)．

4.2 證明方法的多樣性

除了教材上幾何解釋和代數(shù)證明兩種方法以外，還有梯形中項(xiàng)圖以及其拓展圖、直角三角形外接圓(結(jié)合射影定理)、直角三角形鏈、兩個(gè)外切圓構(gòu)造等眾多幾何證法．我們列舉其中三種.

4.2.1 梯形中項(xiàng)

圖8 梯形中項(xiàng)

4.2.2 構(gòu)造直角三角形外接圓

圖9 構(gòu)造直角三角形外接圓

4.2.3 構(gòu)造兩個(gè)外切圓

如圖10所示，構(gòu)造直徑分別為a、b的兩外切圓，則

圖10 構(gòu)造兩個(gè)外切圓

教材中對(duì)均值不等式依次給出了幾何與代數(shù)證明，方法較單一，不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng). 選擇多種證明方法，能讓學(xué)生靈活運(yùn)用所獲得的知識(shí)，達(dá)到“舉一反三”“由此及彼”“觸類旁通”的效果．建議其他有趣的方法可以放在思考題或練習(xí)題里面，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

5 經(jīng)典案例的運(yùn)用

楊騫[14]認(rèn)為，在選材時(shí), 應(yīng)力求反映這樣幾點(diǎn): 與生活和生產(chǎn)實(shí)際密切相關(guān), 與其他學(xué)科相互配合、相互滲透; 既有真的結(jié)論, 又有假的命題; 數(shù)學(xué)美的因素; 數(shù)學(xué)的工具性. 在編排時(shí), 應(yīng)力求：體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的規(guī)律; 建立以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)應(yīng)用為重點(diǎn)的螺旋式上升的體系; 建立以歸納思想為主、邏輯方法為輔的開放體系; 建立過程與結(jié)果相匹配的動(dòng)態(tài)體系.

教材中列舉了菜園面積與周長問題和水池造價(jià)最低問題. 這兩個(gè)問題雖然常見，但不夠經(jīng)典. 此處所謂的經(jīng)典案例是指被廣泛使用，或涉及多學(xué)科知識(shí)交叉，或涉及人文故事，而且有專門的名詞與條目的案例. 建議補(bǔ)充或選取 “羊圈問題”“不等臂的天平問題”“采購員購糧問題”“平均速度問題”等經(jīng)典問題，突出均值不等式應(yīng)用的價(jià)值，同時(shí)體現(xiàn)人文歷史價(jià)值．

5.1 羊圈問題

小明的爸爸圈出了一塊長40米，寬15米的長方形土地，面積剛好是600平方米．但他只準(zhǔn)備了圍100米的籬笆．如果把羊圈圍成長40米，寬15米的長方形，其周長將是110米．現(xiàn)在的方案是要么按照原計(jì)劃修建，但就要再多花費(fèi)10米長的材料錢；要么是縮小面積，但每頭羊的平均居住面積就會(huì)減少．小明的爸爸感到很為難，他既不想多花錢，也不想縮小范圍．

于是聰明的小明提出了一個(gè)方案幫助爸爸解決了這個(gè)問題．他將原來15米的邊長延長到25米；又將原來的40米邊長縮短到25米．這樣，原來計(jì)劃中的羊圈變成了一個(gè)邊長為25米的正方形，其周長是100米，而面積是625平方米．如此一來，籬笆也夠了，面積還變大了．

小明是如何想到的?實(shí)際上，設(shè)籬笆長為x米，則寬為(50-x)米，于是

當(dāng)且僅當(dāng)x=50-x，即x=25時(shí)．羊圈面積最大，為625平方米．

5.2 不等臂天平問題

有一臺(tái)不等臂天平，把物體放在左盤，稱出其質(zhì)量M1，再將同一物體放入天平的右盤，稱出其質(zhì)量M2，求該物體質(zhì)量．

一個(gè)自然猜想是，該物體質(zhì)量等于兩次測量的平均值．下面驗(yàn)證這個(gè)猜想．

精選典型案例，不僅可以激發(fā)學(xué)生興趣，啟發(fā)心智，還能夠促進(jìn)學(xué)生持續(xù)地研究．通過典型案例，引導(dǎo)學(xué)生明確教學(xué)意圖、拓展與其他學(xué)科知識(shí)聯(lián)系、熟悉數(shù)學(xué)思想方法、強(qiáng)化情感態(tài)度和價(jià)值觀．學(xué)生通過操作練習(xí)、學(xué)習(xí)與思考，全面把握知識(shí)的本質(zhì)．

6 插圖呈現(xiàn)的完善改進(jìn)

由于數(shù)學(xué)的抽象性，適當(dāng)用插圖幫助學(xué)生理解是很有必要的. 另外, 教科書中的很多內(nèi)容, 用文字描述需要很大的篇幅, 然而用插圖形象直觀地呈現(xiàn), 相關(guān)內(nèi)容則變得一目了然. 教材插圖是師生學(xué)習(xí)理解教材內(nèi)容的重要媒介. 宋振韶[15]認(rèn)為從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看, 教科書插圖有裝飾、解釋和促進(jìn)3種功能. 陳翠花等[16]闡述了教科書插圖的教育和課程意義: 教科書插圖直觀形象, 有助于抽象概念的理解; 內(nèi)涵豐富, 有助于開闊視野; 少言無聲, 有助于豐富想象力; 靜止穩(wěn)定, 有助于進(jìn)行觀察; 情景呈現(xiàn), 有助于進(jìn)行探究;“形”“神”結(jié)合, 有助于加深印象; 形式的情感化，有助于國情世情教育：內(nèi)容的生活化，有助于增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

對(duì)照上述插圖功能與意義，我們對(duì)該章節(jié)插圖有如下建議：

(1)刪減冗余圖形.有兩幅圖3.4-1和3.4-2均用于表述引入的問題，位置排放分離且雜亂，建議合并橫放. 由于3.4-2中第二幅子圖已經(jīng)直接給出數(shù)學(xué)化簡圖，因此3.4-2中的第一幅子圖多余，可以刪掉或替換成著名的趙爽弦圖.

(2)圖標(biāo)與內(nèi)容相匹配. 教材中探究的圖標(biāo)是一把門鎖，然而定義兩個(gè)平均數(shù)的圖標(biāo)是一把鑰匙，與探究的門鎖表達(dá)意思不相稱. 此外，門鎖的設(shè)計(jì)有點(diǎn)歪，未放正，而且不直觀.

(3)展示插圖的促進(jìn)功能. 圖3.4-3用于表述探索的內(nèi)容. 編者的主要用意是用射影定理以及直角三角形的斜邊長大于直角邊長推導(dǎo)均值不等式. 其中，最關(guān)鍵的是直角三角形，插圖3.4-3缺少這樣啟發(fā)性的輔助圖形，為了更好地引導(dǎo)學(xué)生，需要補(bǔ)充畫出一個(gè)輔助的直角三角形，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到射影定理以及直角三角形邊長不等式，達(dá)到插圖的促進(jìn)功能.

(4)增加插圖的注釋. 例2、習(xí)題A組第2題、B組第2題的三幅圖形出現(xiàn)類似的問題，首先三幅圖編號(hào)缺失，解釋功能缺失，沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 為了解釋應(yīng)用題的內(nèi)容，需要相應(yīng)補(bǔ)充他們抽象化、數(shù)字化的配圖，對(duì)水池抽象化圖，同時(shí)，應(yīng)標(biāo)注出水池的深度、長與寬的數(shù)值，方便學(xué)生理解. 插圖通過展示抽象化、數(shù)學(xué)化的示范，培養(yǎng)學(xué)生抽象化的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 習(xí)題的兩幅圖亦可做類似處理.