鄭赟杰 王晨陽 謝雙媛 許靜平 羊亞平

(同濟大學物理科學與工程學院,教育部人工微結(jié)構(gòu)材料重點實驗室,上海 200092)

在以往的腔量子電動力學(QED)系統(tǒng)中原子氣通常被處理成單個原子,從而得到諸如拉比劈裂、單光子阻塞等現(xiàn)象.受益于超導電路QED 的發(fā)展,超導量子比特(SQUID)可以被看成人工原子,它們之間通過LC 諧振子失諧的耦合會構(gòu)成人工原子間的等效相干耦合.基于此,研究了具有相干耦合的多個人工原子對單模腔輸入輸出的影響,并從綴飾態(tài)的角度對透射譜進行了分析.結(jié)果發(fā)現(xiàn)包含多個相干耦合人工原子的單模腔,其透射譜與只含單個原子的腔顯著不同,更重要的是透射峰的數(shù)目并不會隨著人工原子數(shù)的增加而增加,最多只有3 個透射峰.為了解釋這種透射譜的規(guī)律,應用全量子理論,計算了整個系統(tǒng)在不含耗散時單能量子情況下的本征值和本征態(tài).原則上,有幾個粒子,就會形成幾個綴飾態(tài),理論上就會出現(xiàn)幾個透射峰.然而本文發(fā)現(xiàn)存在一些不包含光子成分的綴飾態(tài),它們并不貢獻透射峰.而原子數(shù)增多后會出現(xiàn)透射峰劈裂,這對應著能級避免交叉現(xiàn)象,本文從綴飾態(tài)角度進行了說明.從這些綴飾態(tài)的具體形式上很多都具有多體糾纏的性質(zhì).因此采用這樣一種包含多個相干耦合人工原子的單模腔,將有利于構(gòu)建多體糾纏態(tài),在未來也可以通過透射率的變化,探知腔內(nèi)多體糾纏態(tài)的形式.

1 引言

腔量子電動力學(quantum electrodynamics,QED)的研究歷史可以追溯到1946 年提出的Purcell 效應—當原子處于一個與之共振的諧振腔時,其自發(fā)輻射的性質(zhì)會發(fā)生改變,并受到腔的調(diào)制[1].1963 年,Jaynes-Cummings 模型的提出讓腔QED 的研究進入了新的階段[2],后來,研究者們在實驗上將原子放置在鏡子之間或空腔中,證實了腔可以大大抑制或增強原子的自發(fā)輻射,并完成了腔QED 的正式命名[3].1985 年,Gardiner 和Collett[4]提出了一種量子彌散理論,不僅考慮了存在熱庫時的輸入與輸出性質(zhì),而且發(fā)展出了量子朗之萬方程,從而在已知輸入統(tǒng)計量和其他相關(guān)參數(shù)的條件下,可以計算系統(tǒng)的輸出.2007 年,基于前人的成果,Auffèves-Garnier 等[5]分析了含一個兩能級原子的腔的輸入輸出關(guān)系,包括線性情況下由于原子存在而誘導的全反射,以及當輸入場繼續(xù)增強時,原子非線性吸收所產(chǎn)生的透射率變化等.在Alexia 等[5]研究的基礎(chǔ)上,Xu 等[6,7]于2014 年和2017 年詳細討論了含有兩能級原子的不對稱單模腔的光學雙穩(wěn)態(tài)和輸出光場的量子統(tǒng)計特性等.而這些工作主要基于單原子模型,即使實驗上采用了原子氣,其實驗結(jié)果依然可以用單原子模型解釋,這是因為由于熱運動使原子之間的相干可以忽略[8].隨著原子冷卻技術(shù)的發(fā)展,原子的位置可以精確操控,因此對幾個或多個原子在腔中的集體輻射行為開始進行研究,主要是討論超輻射和亞輻射問題[9?12].在這些研究中,原子之間的相干性很重要,但從相互作用的角度看依然認為原子僅與腔模相互作用,原子之間的相干來自于與共同腔模的耦合.

電路QED 的發(fā)展,為拓展QED 的研究范圍和實現(xiàn)普通腔QED 很難實現(xiàn)的研究對象創(chuàng)造了條件[13?15].最近Nie 等[16]使用三維集成電路來構(gòu)建了SQUID(superconducting quantum interference device)的Su-Schrieffer-Heeger 模型,在他們的模型中SQUID 可以看成人工原子,相鄰人工原子之間的相干耦合由失諧的LC 諧振器連接實現(xiàn).同年,Nie 等[16]利用同類模型研究了拓撲帶隙在邊緣態(tài)量子操縱中的作用,基于拓撲量子比特陣列的奇偶特性,提出了一種光譜學方法來觀察拓撲相變.將可調(diào)的弱探測場作為腔場,與原子陣列的不同本征態(tài)耦合,通過大失諧下的虛光子介導影響量子位的相互作用,主要目的是研究拓撲帶隙對小型量子比特陣列的影響[17].基于Nie 等[16]利用三維集成電路構(gòu)造的人工原子鏈系統(tǒng),本文理論上將多個相干耦合的人工原子放置在微腔中,探討原子間的相干耦合對輸入輸出關(guān)系尤其是透射譜的影響,以及與單原子-腔系統(tǒng)的不同之處.此外還利用全量子理論,即將共振的腔與原子陣列視為一個系統(tǒng),計算其單光子綴飾態(tài),解釋了透射譜行為,并簡單討論了通過這樣的相干耦合的多原子-腔系統(tǒng)制備多體糾纏態(tài)的可能性.

本文首先介紹了理論模型和透射譜的計算方法,展示了透射譜的計算結(jié)果,討論了人工原子數(shù)目、原子間耦合、原子-腔模耦合、原子的自發(fā)衰減和腔損耗對透射譜的影響,并利用全量子的綴飾態(tài)理論對透射譜進行了解釋,分析了一些特征透射峰對應的綴飾態(tài),并對多體糾纏態(tài)進行了討論.同時簡單討論了腔的耗散與原子的自發(fā)輻射對透射峰的影響.

2 理論模型和方法

考慮在一維單模微腔中存在規(guī)則排列的多個SQUID 人工原子,如圖1(a)所示.圓點代表SQUID人工原子,它們可以看成兩能級的全同粒子,其基態(tài)為|g〉,激發(fā)態(tài)為|e〉,躍遷頻率為ωa.相鄰圓點之間用粗細線相連,代表它們之間的最近鄰相干耦合.人工原子間的相干耦合得益于量子芯片領(lǐng)域的進步,尤其是使用多層制造工藝的三維集成電路的產(chǎn)生與發(fā)展[13?15].在最近的工作中,如圖1(b)所示,在三維超導電路中構(gòu)造了人造原子SQUID 陣列,相鄰人工原子通過LC 諧振器連接起來,LC 諧振器的頻率被調(diào)制成與人工原子大失諧,從而在人工原子與LC 諧振器相互作用時,并不會有實光子傳遞到LC 諧振器上.通過對人工原子和LC 諧振器相互作用的哈密頓量做Schrieffer-Wolff 變換,獲得人工原子間相干耦合的有效哈密頓量,其相干耦合強度可以通過系統(tǒng)參數(shù)進行調(diào)節(jié)[16].這里考慮偶數(shù)個人工原子組成的原子鏈,每兩個原子為一組,分別用2n－1 和2n進行編號,n為組序號,組內(nèi)原子間的耦合強度為tA,組間相鄰原子間的耦合強度為tB.

圖1 (a) 存在輸入-輸出端口的Su-Schrieffer-Heeger 人工原子鏈-單模腔耦合系統(tǒng)示意圖;(b)三維電路QED 示意圖[16]Fig.1.(a) Schematic diagram of Su-Schrieffer-Heeger artificial atom chain-single-mode cavity coupling system with input-output ports;(b) three-dimensional circuit QED schematic diagram[16].

所有人工原子都與腔模耦合,其耦合強度為?i.此外腔模通過腔壁與左右兩側(cè)的電磁模庫耦合.系統(tǒng)的哈密頓量(?=1)可表示為

其中,a,bk和cl分別是腔模、輸入端口(左側(cè))和輸出端口(右側(cè))處電磁場模的湮滅算符,ωc,ωk和ωl為其相應的頻率.Szi=(|e〉〈e|?|g〉〈g|)/2 與是第i個人工原子的算符.g1與g2分別是腔模和左側(cè)與右側(cè)電磁場模之間的耦合強度.n為原子組的序號,n≥1,原子序號i可用組號n表示.

方程(1)中第1 和第2 行代表人工原子鏈的哈密頓量,其中第1 項是自由人工原子的哈密頓量,第2 項是組內(nèi)人工原子之間的相互作用,耦合系數(shù)為tA,第3 項是組間相鄰人工原子間的相互作用,耦合系數(shù)是tB.第3 行第1 項是腔模光子的哈密頓量,第2 項是腔模與人工原子的相互作用,耦合系數(shù)是?i.第4 和第5 行的4 項依次代表左側(cè)、右側(cè)處電磁場模的哈密頓量以及腔模與左側(cè)場模和右側(cè)場模相互作用的哈密頓量.

這里主要討論的是如果入射一束探測場,透射譜是怎么樣的? 多個原子間的相干耦合是否會對透射譜產(chǎn)生影響,以及產(chǎn)生怎樣的影響? 經(jīng)過推導(詳細過程見附錄A),引入原子的自發(fā)輻射率γi和腔的損耗γcav,得到各算符的期望值a=〈a〉)微分方程為

其中,?=ωL ?ωa和δ=ωL ?ωc分別為入射場與人工原子以及與腔模之間的頻率失諧.bin是單模入射場幅值,bt是透射場幅值.κ1和κ2與g1和g2相關(guān),分別對應左側(cè)和右側(cè)腔鏡的泄漏率,而κ=(κ1+κ2)/2.由于假定腔的品質(zhì)因子很高,所以在后續(xù)計算中假定γcav≈0 .

在穩(wěn)態(tài)情況下計算出各個期望值的穩(wěn)態(tài)值,從而對于頻率為ωL的弱入射場,得到了整個系統(tǒng)的透射系數(shù):

而對應的透射率為

接下來討論隨著腔內(nèi)人工原子數(shù)的增加以及各種耦合系數(shù)的改變,透射譜的性質(zhì).

3 透射譜的數(shù)值計算

針對以上模型,即含有偶數(shù)個人工原子的單模腔,本節(jié)將計算隨著弱探測場頻率變化時的透射譜,尤其是探索對透射譜造成影響的各項因素,包括腔內(nèi)人工原子組數(shù)n、人工原子間耦合強度tA與tB,以及人工原子與腔模耦合強度?i,并找出其規(guī)律.在后續(xù)的討論中,令人工原子與腔模共振,即ωa=ωc,左右腔壁的泄漏率相等,即κ=κ1=κ2,所有原子的自發(fā)輻射率一樣,即γi=γ,并以耦合強度?0作為所有系數(shù)的單位.

對于只存在一個原子的單模腔,其透射譜的性質(zhì)已經(jīng)很清楚,即原子與腔模共振時會發(fā)生拉比劈裂,產(chǎn)生分列于腔模頻率兩側(cè)的雙透射峰,兩個透射峰的頻率差與原子-腔的耦合系數(shù)成正比.而原子衰減率γ以及腔模泄漏率κ的提高會使得透射峰的半高寬增寬,κ和γ對透射峰的具體影響將在第5節(jié)討論.

3.1 腔內(nèi)存在雙原子的情況

首先考慮腔內(nèi)存在一組兩個人工原子的情況,原子間耦合系數(shù)為tA.在圖2(a)中,令人工原子與腔模的耦合系數(shù)都相等,即?1=?2=?0,計算透射譜隨著人工原子間耦合系數(shù)tA的變化.從圖2(a)可見,當tA=0 時,兩個人工原子相當于一個大原子,透射峰為典型的拉比劈裂雙峰.逐漸增大tA,透射峰逐漸變成不對稱的雙峰,且藍移透射峰(δ >0)的峰值要小于紅移透射峰(δ <0)的峰值,同時紅移的透射峰的中心頻率逐漸趨近于δ=0 .當tA>5?0時,藍移透射峰消失,只剩下紅移透射峰,即雙峰透射譜變成單峰透射譜.繼續(xù)增大tA,紅移的單峰透射率逐漸增大并趨于1,且透射峰的中心頻率趨向于腔的共振頻率.這可以理解為當tA??0時,兩個人工原子相互耦合,形成綴飾態(tài),但綴飾頻率與原有頻率失諧很大,也與腔模失諧,對腔模來說相當于沒有原子,從而產(chǎn)生了中心頻率在腔模頻率的透射峰.

圖2 腔中存在一組共兩個人工原子時,透射率隨入射場與腔模失諧 δ 和原子間耦合 tA 的變化 (a)雙原子與腔模的耦合強度一致,?1=?2=?0;(b)雙原子與腔模的耦合強度不同,?1=2?0,?2=0.1?0,采用參數(shù)κ=γ=0.1?0Fig.2.In the case of a set of altogether two artificial atoms in the cavity,transmittance varies with the detuning δ between incident field and cavity mode and interatomic coupling tA : (a) The coupling strength of diatoms and cavity mode is consistent,?1=?2=?0;(b) the coupling strength between diatoms and cavity modes is different,?1=2?0,?2=0.1?0,the parameters are κ=γ=0.1?0 .

在圖2(b)中討論了兩個人工原子與腔模的耦合強度不同,即?1=2?0,?2=0.1?0時的透射譜隨人工原子間耦合系數(shù)tA的變化.當tA=0 時,雖然兩個人工原子與腔模的耦合系數(shù)不同,但依然可以看成一個等效原子,所以透射譜仍呈現(xiàn)為對稱的拉比劈裂雙峰結(jié)構(gòu).隨著tA開始增大,雙峰的峰值逐漸降低.當tA=0.7?0時,在接近失諧δ=0 的頻率處出現(xiàn)了新的透射峰.繼續(xù)增大tA,兩側(cè)的雙峰峰值繼續(xù)降低,而中央透射峰峰值變大,呈現(xiàn)出三峰結(jié)構(gòu).對比圖2(a)和圖2(b)發(fā)現(xiàn),當tA>5?0時,與圖2(a)類似,圖2(b)也由三峰結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閱畏?且主峰頻率趨向于腔的共振頻率.

由以上結(jié)果可以確認: 人工原子間的相干耦合對腔原子系統(tǒng)的透射譜會產(chǎn)生很大影響.且人工原子與腔模的耦合系數(shù)也會對透射譜的形狀產(chǎn)生影響.從上面的討論可知,對于腔中存在兩個原子的情況,最多可以存在3 個透射峰,那么繼續(xù)增加相干耦合的原子數(shù)目,透射峰的數(shù)目是否會繼續(xù)增加呢?

3.2 腔內(nèi)存在4 個人工原子的情況

現(xiàn)在考慮腔內(nèi)存在兩組4 個人工原子的情況.固定組內(nèi)原子間耦合系數(shù)tA=?0,計算了透射譜隨著組間原子耦合系數(shù)tB的變化,如圖3(a)所示.當tB=0 時,兩組原子缺乏關(guān)聯(lián),近似于腔內(nèi)雙原子的情況,對應于圖2(a)中tA=?0時的雙峰結(jié)構(gòu).但隨著tB的增大,紅移透射峰(δ <0)的峰值基本不變,對應頻率輕微偏向腔的共振頻率,而藍移透射峰(δ >0)峰值逐漸減小,并逐漸遠離共振頻率.當tB接近于 2?0時,在δ=0 附近出現(xiàn)新的透射峰,繼續(xù)增大tB,其峰值增大并略微藍移.

而圖3(b)則固定原子間耦合為tA=?0和tB=3?0,展示了原子與腔模耦合強度?對透射譜的影響.若?=0,原子不與腔相互作用,入射場僅與腔模共振,則在腔的共振頻率處形成單峰透射譜,最大透射率接近1.隨著?的增大,原本的透射峰分裂為紅移、藍移的雙峰.紅移透射峰的峰值接近0.8 且較為穩(wěn)定,但對應頻率不斷紅移;藍移透射峰的頻率接近共振,但峰值迅速降低,當? >5?0時峰值忽略不計.與此同時,當? >?0時,在頻率δ=3.5?0處出現(xiàn)新的透射峰,隨著?的增大,其峰值增大并線性藍移.

圖3 的結(jié)果再次驗證了: 在4 原子條件下,透射峰的數(shù)量及對應頻率可以通過原子與腔模耦合強度?和原子間耦合強度tA,tB來調(diào)控,但最多只存在3 個透射峰.

3.3 腔內(nèi)存在6 個人工原子的情況

當腔內(nèi)存在3 組共6 個人工原子時,與前文類似,透射譜的透射峰數(shù)目并沒有增加,最多只存在三峰,因此選擇一些代表性的計算結(jié)果加以展示.

如圖4(a)所示,固定組內(nèi)原子間耦合系數(shù)tA=?0,計算了透射譜隨組間人工原子耦合系數(shù)tB的變化.透射譜變化的過程整體與圖3(a)一致,這說明在采用相同參數(shù)的情況下,原子組數(shù)從2 組增加到3 組基本不會改變透射譜的演化規(guī)律,tB對透射譜的影響不會隨著原子數(shù)的增加發(fā)生質(zhì)的改變.圖4(a)與圖3(a)只存在一些細節(jié)上的差異,例如透射峰對應頻率與共振頻率的失諧加大,中央透射峰出現(xiàn)時對應的tB稍大,以及紅移透射峰在tB=4?0附近出現(xiàn)了較為明顯的劈裂現(xiàn)象,如圖中紅框所示.

圖3 腔中存在兩組共4 個人工原子時,(a) 透射譜隨原子間耦合強度 tB的變化,?=2?0 ;(b) 透射譜隨原子與腔模耦合強度?的變化,tB=3?0 .采用參數(shù)為tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0Fig.3.(a) In the case of two sets of altogether four artificial atoms in the cavity,transmission spectrum varies with the interatomic coupling intensity tB ,?=2?0;(b) The transmission spectrum varies with the coupling strength ? between the atom and the cavity mode,tB=3?0 .The parameters are tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0 .

圖4 腔中存在3 組共6 個人工原子時,(a) 透射譜隨原子間耦合強度 tB的變化,?=2?0 ;(b) 透射譜隨原子與腔模耦合強度?的變化,tB=3?0 .采用參數(shù)為 tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0,紅圈內(nèi)為本文定義的劈裂Fig.4.(a) In the case of three sets of altogether six artificial atoms in the cavity,transmission spectrum varies with the interatomic coupling intensity tB ,?=2?0;(b) the transmission spectrum varies with the coupling strength ? between the atom and the cavity mode,tB=3?0 .The parameters are tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0 .The splits defined in this article are circled in red.

而圖4(b)則固定了原子間耦合為tA=?0和tB=3?0,展示了原子與腔模耦合強度?對透射譜的影響,結(jié)果與圖3(b)展示的透射譜演化基本一致,說明了隨著原子組數(shù)的增長,原子與腔模耦合強度?對透射譜的影響幾乎不變.圖4(b)與圖3(b)之間只存在細節(jié)上的不同,例如透射峰對應頻率與共振頻率的差異加大,中央透射峰隨?的衰減加快,以及紅移透射峰在?=1.5?0附近出現(xiàn)了較為明顯的劈裂現(xiàn)象,如圖中紅框所示.

此外也計算了4 組共8 個原子和5 組共10 個原子的情況,發(fā)現(xiàn)隨著原子組數(shù)的增加,透射譜的性質(zhì)與腔中存在2 組共4 個原子基本一致,因此不做贅述.然而需要注意的是,在圖4 中紅圈內(nèi)出現(xiàn)的透射峰劈裂并非孤例,實際上它多有發(fā)生,但由于劈裂的細微和系統(tǒng)損耗對透射峰半高寬的影響有時難以在圖片中顯著呈現(xiàn).如何解釋上述透射譜的變化規(guī)律和透射峰的劈裂,則需要從全量子的角度進行分析.

4 用綴飾態(tài)理論解釋透射譜性質(zhì)

本節(jié)根據(jù)全量子理論[18],通過綴飾態(tài)能級和各能級的平均光子數(shù)來解釋透射譜的性質(zhì)以及透射峰的劈裂現(xiàn)象.在分析中還發(fā)現(xiàn)各透射峰對應的綴飾態(tài)都是一系列腔內(nèi)糾纏態(tài),這將有利于多體糾纏態(tài)的制備.

因為本文研究的是弱光入射時的輸入輸出問題,屬于線性區(qū)域,在轉(zhuǎn)換成相應的全量子理論時,則是忽略腔的泄漏以及原子的自發(fā)輻射率,僅僅將腔模和原子鏈看成一個整體,計算其本征值和本征態(tài)[19,20].由于對應于弱光入射時的輸入輸出問題,則其希爾伯特空間的選取僅僅考慮單量子空間.這種單量子空間僅考慮只存在一個激發(fā)子的原子-腔直積態(tài),即其中第1 個態(tài)表示原子全部處于基態(tài),但腔中存在一個光子;第2 個態(tài)表示腔中沒有光子,但第i個原子處于激發(fā)態(tài).詳細推導見附錄B.

通過對角化得到的本征態(tài)是以上直積態(tài)的相干疊加態(tài).若外加探測場的頻率與本征態(tài)的本征頻率一致,就能激發(fā)這個本征態(tài).理論上對于相互作用的多體系統(tǒng),如果有幾個客體,那么就會存在幾個本征態(tài).但是否產(chǎn)生透射峰,則需要根據(jù)(2d)式來判定.從(2d)式可見,透射光幅值bt與腔內(nèi)光場幅值a成正比,因此要想得到透射峰則需要該本征態(tài)中包含光子成分,因此在對角化后,對每個本征態(tài)都計算其平均光子數(shù),如果平均光子數(shù)不為0,則對應透射峰,且平均光子數(shù)越大,透射率越高.

首先,采用與圖2(a)相同的參數(shù),計算腔中存在兩個人工原子時的本征值和本征態(tài).綴飾態(tài)本征值隨原子間耦合強度tA的變化如圖5(a)所示.可見在任何參數(shù)下都存在3 個本征態(tài),按照本征值從小到大分別用紅、綠、藍三色代表不同的本征態(tài).對比圖2(a)中的透射峰的中心頻率,發(fā)現(xiàn)其與圖5(a)中的兩個本征值對應.此時有3 個本征態(tài),但只存在兩個透射峰.為了解釋該現(xiàn)象,在圖5(b)—(d)中分別計算了3 個本征態(tài)的原子占居數(shù)〈Sz1〉,〈Sz2〉和平均光子數(shù)〈a+a〉,并用虛線、點線、實線表示.由圖5(a)可見,本征態(tài)1 和本征態(tài)2 的本征值在tA=?0處存在避免交叉點,已用紅框圈出,圖5(e)為避免交叉點的放大圖.而相應地,圖5(b)中本征態(tài)1 的平均光子數(shù)在此處突變?yōu)?,圖5(c)中本征態(tài)2 的平均光子數(shù)在此處由0 突變到圖5(b)中變化前的值.嚴格來說,這是兩個存在相互作用的本征態(tài)能級進行了平均光子數(shù)的突變交換.需要注意的是,雖然存在3 個本征態(tài),但是對于某一參數(shù),只有兩個本征態(tài)具有非零的平均光子數(shù),其中圖5(d)顯示本征態(tài)3 始終具有非零的平均光子數(shù),且隨著tA的增大近乎指數(shù)衰減,這對應于圖2(a)中藍移的透射峰峰值隨著tA快速下降.對于本征態(tài)1 和2,當tA?0時只有本征態(tài)2 具有非零的平均光子數(shù),平均光子數(shù)隨著tA的增大逐漸趨于1,這對應著圖2(a)中的紅移透射峰峰值逐漸增大.因此,利用單量子綴飾態(tài)很好地解釋了透射峰的性質(zhì).

圖5 腔內(nèi)雙原子條件下,(a)綴飾態(tài)的能級;(b)—(d)各能級對應的原子占據(jù)數(shù) 〈Szi〉與腔內(nèi)平均光子數(shù) 隨 tA 的變化;(e)避免交叉點放大圖.其他參數(shù)為 ?1=?2=?0 ;按照本征值從小到大分別用紅、綠、藍三色代表不同的本征態(tài)Fig.5.In the case of two atoms in the cavity,(a) the energy levels of the dressed states;(b)–(d) the corresponding atomic excitation probability of each energy level and the average number of photons in the cavity change with tA ;(e) a larger version of avoid crossing points.The parameters are ?1=?2=?0 .The eigen states are represented by red,green,and blue in order of eigen values from smallest to largest.

此外,綴飾態(tài)還存在更多的應用.系統(tǒng)的透射峰與平均光子數(shù)不為零的綴飾態(tài)能級相對應,那么只要調(diào)整入射光的頻率,使其與透射峰對應,就能通過計算綴飾態(tài),來確認腔內(nèi)原子與光場的狀態(tài).如果使用恰當?shù)膮?shù),再選擇特定的透射峰,就能獲得特定的糾纏態(tài).例如,如圖5(d)所示,選定本征態(tài)3,對應于圖2(a)的藍移透射峰,當原子間耦合tA=1?0時,腔內(nèi)原子與光場的狀態(tài)為

這相當于一個三粒子的最大糾纏態(tài).

四原子的情況與兩原子的情況類似,接下來詳細分析腔內(nèi)光子與3 組共6 個人造原子形成的綴飾態(tài),為了便于與前文對比,采用與圖4(a)相同的參數(shù).如圖6 所示,繪制了腔內(nèi)存在六原子時,綴飾態(tài)能級圖隨原子間耦合強度tB的變化,不同顏色分別代表不同的能級,并依照本征值的大小編號,能級大小與圖4(a)的失諧δ相對應,而不同線型分別代表6 個人造原子的激發(fā)概率和腔內(nèi)的平均光子數(shù).與此前類似,本征態(tài)1 與2、本征態(tài)2 與3 的能級曲線分別在tB=3.15?0,tB=4?0處出現(xiàn)了避免交叉點,已用紅框圈出,圖6(i)和圖6(j)為避免交叉點的放大圖.分別對比圖6(b)和圖6(c)、圖6(c)和圖6(d),可以發(fā)現(xiàn)本征態(tài)1,2 和3 在避免交叉點附近存在耦合,同樣都進行了光子數(shù)和原子態(tài)的交換.本征態(tài)1,2 和3 共同對應圖4(a)的紅移透射峰;本征態(tài)4 和6 的平均光子數(shù)始終接近0,對透射無貢獻;本征態(tài)5 對應于接近共振的透射峰;而本征態(tài)7 對應于圖4(a)中逐漸降低的藍移透射峰.綜上所述,圖6 所畫綴飾態(tài)與圖4(a)的透射譜同樣吻合.

圖6 腔內(nèi)六原子條件下,(a)綴飾態(tài)的能級;(b)—(h)各能級對應的原子占居數(shù) 〈Szi〉與腔內(nèi)平均光子數(shù)隨 tB 的變化;(i),(j)避免交叉點放大圖.采用參數(shù)為 ?=2?0,tA=?0 ;不同顏色分別代表不同的能級,并依照本征值的大小編號Fig.6.In the case of six atoms in the cavity,(a) the energy levels of the dressed states;(b)–(h) the corresponding atomic excitation probability of each energy level and the average number of photons in the cavity change with tB ;(i),(j) two larger versions of avoid crossing points.The parameters are ?=2?0,tA=?0 .Different colors represent different energy levels and are numbered according to the magnitude of the eigenvalue.

特別地是,對于tB=4?0時本征態(tài)2 與3 的避免交叉點,在圖4(a)的透射譜中出現(xiàn)了小小的劈裂,而本征態(tài)1 和2 同樣存在能級避免交叉現(xiàn)象,卻無法在圖4(a)中觀察到明顯的劈裂.對比了圖6(b),(c)和(d)中本征態(tài)1,2 和3 的各組分分布,發(fā)現(xiàn)在tB=3.15?0附近兩個態(tài)的平均光子數(shù)是突變的,而在tB=4?0附近兩個態(tài)的平均光子數(shù)是連續(xù)變化的.因此,可認為當兩個綴飾態(tài)的本征頻率在某一參數(shù)下交疊,但其各自的平均光子數(shù)在這一參數(shù)附近并沒有發(fā)生突變交換,那么在能級出現(xiàn)避免交叉現(xiàn)象的同時,透射譜中也將展現(xiàn)出明顯的劈裂現(xiàn)象.而圖5(a)中本征態(tài)1 和2 在tA=?0處避免交叉,以及圖6(a)中本征態(tài)1 和2 在tB=3.15?0的避免交叉,他們對應的平均光子數(shù)在這兩個參數(shù)附近都出現(xiàn)了突變交換,因此雖然這些本征態(tài)之間存在相互作用,但是并沒有在透射譜中產(chǎn)生明顯的劈裂.

避免交叉的概念在核物理、原子物理等諸多領(lǐng)域中十分常見,它存在不同的定義,而我們根據(jù)參考文獻[21],從動力學角度進行解釋.需要注意一點,本征態(tài)在避免交叉點前后會交換特征[21],在圖6中的表現(xiàn)為兩個本征態(tài)的原子占居數(shù)〈Szi〉 和平均光子數(shù)〈a+a〉都出現(xiàn)交換,而平均光子數(shù)的連續(xù)交換則導致了圖4(a)中紅移透射峰的劈裂現(xiàn)象.

腔內(nèi)存在3 組共6 個原子的情形下,依舊可以采用適當?shù)膮?shù),并選擇特定的透射峰,從而制備特定的糾纏態(tài).例如,如圖6 所示,選定能級3,對應于圖4(a)的紅移透射鋒,當原子間耦合tA=8?0時,腔內(nèi)原子與光場的狀態(tài)為

此時,平均光子數(shù)較高,而人工原子鏈中處于首尾對稱位置的人工原子激發(fā)的概率幅一致,且越靠近原子鏈中心,其激發(fā)越受抑制.

5 原子自發(fā)輻射和腔的損耗

接下來討論原子自發(fā)衰減γ和腔的泄漏率κ對透射譜的影響,僅選取2 組共4 個人工原子的情形加以介紹.

如圖7 所示,原子自發(fā)衰減γ和腔的泄漏率κ對透射峰的中心頻率基本沒有影響,但會明顯地改變透射峰的半高寬和透射率的大小.對比圖7(a)與圖7(b),可發(fā)現(xiàn)透射峰的半高寬隨著原子自發(fā)衰減γ的增大而增寬,但透射率卻出現(xiàn)了明顯的下降.再對比圖7(a)與圖7(c),雖然腔的泄漏率κ對透射峰峰寬的影響與原子的自發(fā)衰減類似,但透射率反而大幅增長,這一點結(jié)合模型很好理解,κ代表了腔端口處的泄漏率,所以κ的增大有利于光的透射.需要注意的是,透射峰半高寬的增大容易導致相鄰本征態(tài)能級的透射峰合并,結(jié)合前文,這會使透射峰劈裂現(xiàn)象有時難以觀察到.

圖7 (a) κ=γ=0.1?0條件下的透射譜;(b)原子自發(fā)衰減增大后的透射譜,κ=0.1?0,γ=0.5?0 ;(c)腔的泄漏率增大后的透射譜,κ=0.5?0,γ=0.1?0 .采用參數(shù)為?=?0,tA=?0,tB=3?0Fig.7.(a) Transmission spectrum under κ=γ=0.1?0 ;(b) the transmission spectrum after the increase of atomic spontaneous attenuation,κ=0.1?0,γ=0.5?0;(c) the transmission spectrum after the increase of leakage rate of cavity,κ=0.5?0,γ=0.1?0.The parameters are ?=?0,tA=?0,tB=3?0 .

此外發(fā)現(xiàn)透射峰在部分頻率下受到抑制,呈現(xiàn)出尖銳的非對稱的光譜線形,出現(xiàn)Fano 共振現(xiàn)象.以圖7(c)為例,3 個透射峰都不遵守對稱的洛倫茲線形,在δ=0和δ=4?0附近,透射峰受到的抑制尤為明顯.這是入射光頻率作為連續(xù)態(tài)的背景,而腔內(nèi)綴飾態(tài)呈離散態(tài)的響應,二者相干耦合所導致的非對稱的Fano 共振光譜[22].

可以總結(jié)出,原子自發(fā)衰減γ和腔的泄漏率κ對透射譜的影響規(guī)律:γ和κ對透射峰的對應頻率無明顯影響,但會顯著改變透射峰的半高寬和透射率的大小.峰的半高寬隨著原子的自發(fā)衰減γ或腔的泄漏率κ的增大而增大,而透射率隨γ的增大而減小,隨著κ的增大而增大.

6 總結(jié)

本文研究了內(nèi)含相干耦合人工原子的單模腔在線性區(qū)域內(nèi)的透射譜性質(zhì),并從單光子綴飾態(tài)角度進行了解釋.在光子透射的線性區(qū)域,單模腔內(nèi)至多存在一個光子,由綴飾態(tài)理論可以猜想透射峰數(shù)目最多為2n+1 個(n為原子組的序數(shù)),此結(jié)論在單、雙原子的情況下得到驗證.但腔內(nèi)原子數(shù)更多時并不遵循以上規(guī)律,最多只有3 個透射峰,這是因為有些綴飾態(tài)中沒有光子成分,不貢獻透射峰.透射峰對應的頻率可以利用原子與腔模耦合強度和原子間耦合強度加以調(diào)控,而原子的自發(fā)衰減和腔的損耗對透射峰的對應頻率無明顯影響,但會顯著改變透射峰的峰寬和透射率的大小.雖然本文考慮的SSH 鏈都以2 個人工原子為一組,但是人工原子數(shù)為奇數(shù)的情形也做過驗證,在模型、公式、圖像上都與偶數(shù)個原子的情形存在些微區(qū)分,不便贅述,但二者遵循相同的演化規(guī)律,本文的主要結(jié)論仍然適用.

基于本工作,將相干耦合的多原子系統(tǒng)與腔模耦合,通過輸入輸出關(guān)系,可利用透射譜測定原子鏈的耦合、原子與腔模的耦合等變量.實際應用中,可以利用透射譜檢測腔的品質(zhì)因子、端口的衰減率及原子的自發(fā)輻射常數(shù).單量子綴飾態(tài)的計算可以解釋透射譜的演變規(guī)律,發(fā)現(xiàn)一些透射峰與綴飾態(tài)一一對應,而這些綴飾態(tài)就是一些特殊的多體糾纏態(tài),而糾纏態(tài)中各組分的比重也可以通過調(diào)控原子鏈的耦合、原子與腔模的耦合和入射光的頻率等變量來調(diào)節(jié).對于如何利用現(xiàn)有結(jié)果進行多體糾纏態(tài)的制備,SSH 鏈的拓展以及本模型在拓撲領(lǐng)域的應用,我們將在后續(xù)工作中進行細致和系統(tǒng)的研究.

附錄A: (2a)—(2d)式的推導

針對系統(tǒng)的哈密頓量方程(1),首先根據(jù)海森伯方程

定義從端口1 入射的入射場算符bin為

將(A3)式對所有模式k做累加,利用(A4)式,同時對有關(guān)腔模湮滅算符a的積分做馬爾科夫近似,可得

最后,可以得到入射場算符bin與反射場算符br、透射場算符bt之間的關(guān)系[4?7](見圖1(a)):

其中,κ1=g12τk,κ2=g22τk為端口1 和端口2 處的腔模泄漏率.

結(jié)合原子的自發(fā)輻射率γ、腔模的耗散率γcav,以及定義腔模通過兩個端口的總泄漏率κ=(κ1+κ2)/2,并令入射探測場bin為頻率為ωL的單色場,得到了包含各種耗散的系統(tǒng)的海森伯方程:

對于這種輸入輸出問題,采用平均場近似,利用算符的期望值來代替算符,如s=〈S?〉和場的振幅a=〈a〉,bin=〈bin〉,bt=〈bt〉,同時假定是弱場輸入,從而對于所有人工原子可以設(shè)=?1/2,這樣就可以在穩(wěn)定輸入的情況下,計算透射和反射問題[19,20].

最終得到的Heisenberg-Langevin 方程為

附錄B: 綴飾態(tài)的推導

當腔內(nèi)SSH 鏈存在n組原子(2n個全同粒子),且腔內(nèi)量子數(shù)為1 時,可能存在2n+1 個本征態(tài)(稱為裸態(tài)),具體為

因為綴飾態(tài)只取決于單模腔和腔內(nèi)SSH 鏈構(gòu)成的系統(tǒng),所以計算綴飾態(tài)時,須要將(1)式內(nèi)的總哈密頓量簡化為

將等式(B2)的總哈密頓量分別作用到各個裸態(tài)上,求出在裸態(tài)基下,總哈密頓量的矩陣元,并整理成矩陣形式:

通過(B3)式,可以求解綴飾態(tài)的本征值(能級),以及各能級對應的綴飾態(tài)的表達式.