張 瑞, 類淑河

(1. 太原工業(yè)學(xué)院,山西 太原 030008; 2. 中國(guó)海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

引 言

波浪和海流幾乎總是同時(shí)存在，各自獨(dú)立又相互影響，構(gòu)成了海洋動(dòng)力機(jī)制必不可少的組成部分。波浪和海流間的相互作用對(duì)許多海洋現(xiàn)象也有著重要影響，比如，風(fēng)暴潮、海洋表層溫度、海底泥沙運(yùn)動(dòng)等等。理解其物理機(jī)制和過程，對(duì)開發(fā)利用海洋資源、預(yù)防海洋災(zāi)害等方面有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在實(shí)際情況中，波流場(chǎng)中的流速沿水深是非均勻的，即流速隨著水深發(fā)生變化[1]。關(guān)于波浪與非均勻流相互作用的研究，學(xué)者從理論分析、數(shù)值模擬、現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)研究等方面進(jìn)行了探討[2-5]。

實(shí)驗(yàn)所得的波流信號(hào)通常離散且不連續(xù)，本質(zhì)上為時(shí)間序列?？梢詮膬蓚€(gè)方面討論時(shí)間序列的相關(guān)性，即時(shí)域分析和頻域分析。時(shí)域分析是在時(shí)間尺度上研究序列的變化，常用的方法有線性相關(guān)系數(shù)、Granger因果分析、Copula函數(shù)等[6]，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)越性的體現(xiàn)，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也成為有力的工具[7]。頻域分析是把時(shí)間序列視為不同頻率分量的疊加，交叉譜是常用于分析相關(guān)性的方法[8-9]。但是，僅從單一角度分析得到的結(jié)論未必對(duì)所有時(shí)間范圍和頻率均顯著相關(guān)，小波相干可同時(shí)從時(shí)域和頻域兩角度分析時(shí)間序列間的動(dòng)態(tài)相關(guān)性[10]。波流信號(hào)作為時(shí)間序列，同樣可采用小波相干進(jìn)行相關(guān)性分析，使得分析波流在不同時(shí)間尺度下的周期相關(guān)性成為可能，并有望產(chǎn)生實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

本文主要目標(biāo)是基于交叉譜和小波相干對(duì)波流相關(guān)性進(jìn)行分析。第一部分介紹交叉譜和小波相干的定義及估計(jì)方法。第二部分基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用交叉譜和小波相干估計(jì)不同水深時(shí)的波流相關(guān)性。第三部分給出了相應(yīng)的結(jié)語(yǔ)與討論。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 交叉譜及估計(jì)

設(shè)二維零均值平穩(wěn)時(shí)間序列{x(t),y(t)}，t=0,±1,±2,…，則x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為：

Rxy(τ)=E[xtyt+τ],τ=0,±1,±2,…

(1)

其中E[.]表示數(shù)學(xué)期望。

(2)

為排除量綱影響，對(duì)交叉譜標(biāo)準(zhǔn)化后平方，引入凝聚譜：記x(t)的單譜為Sxx(f)，y(t)的單譜為Syy(f)，則兩時(shí)間序列的凝聚譜可表示為:

(3)

凝聚譜是從頻域角度對(duì)相關(guān)性進(jìn)行分析的方法，其取值范圍為[0,1]。凝聚譜值越接近于1，說(shuō)明x(t),y(t)在相應(yīng)頻率分量上的相關(guān)性越強(qiáng)，相反，若取值越接近于0，相關(guān)性越弱。凝聚譜可采用Welch方法[11-12]、多窗譜方法(Multitaper Method，簡(jiǎn)稱“MTM方法”)[13]和最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法(The Minimum Variance Distortionless Response Method，簡(jiǎn)稱“MVDR方法”)[14]等進(jìn)行估計(jì)。對(duì)實(shí)驗(yàn)室波流信號(hào)來(lái)說(shuō)，文獻(xiàn)[9]從數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)兩個(gè)角度分析比較，發(fā)現(xiàn)MVDR方法有更強(qiáng)的相關(guān)信號(hào)識(shí)別能力和頻率分辨能力，不易出現(xiàn)偽峰，估計(jì)結(jié)果更加可靠。通常，凝聚譜估計(jì)值均大于0，但并不意味著兩信號(hào)在任何頻率上均相關(guān)，需進(jìn)行非零相關(guān)性檢驗(yàn)[11,15]。

1.2 小波相干

小波指小區(qū)域的波，定義為：

(4)

時(shí)間序列x(t)的連續(xù)小波變換定義為：

(5)

其中，*代表復(fù)共軛，x(t)∈L2。

設(shè)對(duì)于時(shí)間序列x(t),y(t)，連續(xù)小波變換分別為Wx,Wy，則小波交叉譜定義為:

(6)

小波相干可由小波交叉譜標(biāo)準(zhǔn)化后平方得到，定義為:

(7)

其中，S為平滑算子。小波相干在[0,1]區(qū)間取值，其值越接近于1，x(t),y(t)在對(duì)應(yīng)頻率和時(shí)間段上相關(guān)性越強(qiáng)；相反，其值越接近于0，則相關(guān)性就越弱。由于小波相干理論分布未知，其統(tǒng)計(jì)顯著性基于蒙特卡洛方法檢驗(yàn)[10]。

2 實(shí)驗(yàn)室波流數(shù)據(jù)分析

2.1 數(shù)據(jù)及其預(yù)處理

實(shí)驗(yàn)在中國(guó)海洋大學(xué)物理海洋實(shí)驗(yàn)室大型風(fēng)-浪-流水槽中進(jìn)行，水槽長(zhǎng)65 m，寬1.2 m，高1.5 m，實(shí)驗(yàn)時(shí)水深d約為0.7 m，主導(dǎo)波長(zhǎng)L約為0.7 m，相對(duì)水深>0.5，可視為深水[1,16]。波面位移采用實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的OUC-2型鉭絲測(cè)波儀(以下簡(jiǎn)稱“測(cè)波儀”)測(cè)量，采樣頻率大約為26.78 Hz，數(shù)據(jù)記錄滿15 000個(gè)點(diǎn)后自動(dòng)停止，時(shí)長(zhǎng)約9 min 20 s。水下的流速采用聲學(xué)多普勒流速測(cè)量?jī)x(ADV-1流速測(cè)量?jī)x，以下簡(jiǎn)稱“ADV”)測(cè)量，ADV的采樣頻率為25 Hz，相應(yīng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度在14 000個(gè)點(diǎn)左右。

不失一般性，選取34.2 m風(fēng)區(qū)、風(fēng)速8 m/s時(shí)，ADV探頭深度15,20,25,30,35,40 cm六個(gè)水平下的波面位移和鉛直流速信號(hào)。由于ADV與測(cè)波儀的采樣頻率不同，為進(jìn)行下一步分析，對(duì)鉛直流速序列進(jìn)行線性插值，使其與波面位移序列對(duì)應(yīng)。鉛直流速有兩次觀測(cè)，將兩次觀測(cè)取平均以減小測(cè)量誤差，又流速信號(hào)不平穩(wěn)，用Butterworth濾波器濾去頻率小于0.5 Hz的信號(hào)，去除低頻信號(hào)，使時(shí)間序列平穩(wěn)。最后將波面位移和預(yù)處理之后的鉛直流速序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

圖1 凝聚譜估計(jì)Fig.1 The estimation of magnitude-squared coherence

2.2 交叉譜估計(jì)

采用MVDR方法(窗寬256，分辨率為400)對(duì)六組波流信號(hào)進(jìn)行凝聚譜估計(jì)，結(jié)果如圖1所示，橫軸為頻率，其單位為Hz，縱軸為凝聚譜估計(jì)值，無(wú)量綱。做非零相關(guān)性檢驗(yàn)，在0.95的置信水平下，臨界值為0.054。即凝聚譜估計(jì)超過0.054，認(rèn)為波流在相應(yīng)頻率上顯著相關(guān)。

ADV探頭處于不同深度時(shí)，凝聚譜估計(jì)走勢(shì)相似，在頻段0～4 Hz，凝聚譜估計(jì)均高于臨界值，呈現(xiàn)出明顯的譜峰，表明在該頻段內(nèi)波流信號(hào)顯著相關(guān)。隨著頻率增加，凝聚譜估計(jì)呈現(xiàn)衰減趨勢(shì)，約大于5 Hz之后，凝聚譜估計(jì)小于臨界值，表明在該頻段相關(guān)性變得不顯著。但是在譜峰頻率fp附近，不同水深的凝聚譜估計(jì)值存在明顯差異。當(dāng)測(cè)量深度為20 cm時(shí)，譜峰值最高，大約為0.55。當(dāng)測(cè)量深度為15 cm時(shí)，譜峰值約為0.35。當(dāng)測(cè)量深度為25 cm時(shí)，譜峰值為0.50。當(dāng)測(cè)量深度大于30 cm時(shí)，譜峰值明顯偏小，約在0.20。綜上發(fā)現(xiàn)，在中層水深時(shí)，波流相關(guān)性最強(qiáng)，隨著深度的增加或減小，相關(guān)性程度大致呈下降的趨勢(shì)。

2.3 小波相干估計(jì)

對(duì)六組實(shí)驗(yàn)室波流信號(hào)進(jìn)行小波相干估計(jì)，結(jié)果如圖2所示，橫軸為時(shí)間，縱軸為周期，單位均為采樣間隔，約為0.037 s。所圍區(qū)域顏色越暖，對(duì)應(yīng)小波相干估計(jì)值越接近于1，波流信號(hào)的相關(guān)性越強(qiáng)；反之，若所圍區(qū)域顏色越冷，估計(jì)值越接近于0，波流信號(hào)的相關(guān)性越弱。ADV探頭處于不同深度時(shí)，小波相干估計(jì)圖非常相似，縱軸刻度約為10～40時(shí)，即周期為0.37～1.48 s，對(duì)應(yīng)頻率約為0.67～2.70 Hz，圖像出現(xiàn)帶狀暖色區(qū)域，說(shuō)明在該頻率區(qū)間上波流相關(guān)性較強(qiáng)，此結(jié)論與凝聚譜估計(jì)結(jié)果(0～4 Hz)相比，有重疊但范圍相對(duì)小。

在帶狀暖色區(qū)域，不同深度的小波相干估計(jì)圖又存在差異。當(dāng)位于水深15 cm處時(shí)，橫軸3 000～7 000之間，即采樣中前期，暖色區(qū)間相對(duì)密集，波流相關(guān)性強(qiáng)，相比較而言，在其他時(shí)間段內(nèi)相關(guān)性較弱；當(dāng)位于水深20 cm處時(shí)，在橫軸500～14 000之間，即采樣中后期，暖色區(qū)域密集，持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，說(shuō)明在該時(shí)間段波流相關(guān)性較強(qiáng)；當(dāng)位于水深25 cm時(shí)，在橫軸5 000～11 000之間暖色區(qū)域密集，說(shuō)明在采樣中期波流相關(guān)性較強(qiáng)。當(dāng)位于水深30 cm及以上時(shí)，暖色區(qū)域明顯稀疏，說(shuō)明只在某些短時(shí)間段存在較強(qiáng)相關(guān)性。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，位于中層水深時(shí)，波流呈現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)性的時(shí)間段最長(zhǎng)，在淺層和深層水深時(shí)，波流呈現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)性的時(shí)間段較短。

圖2 小波相干估計(jì)Fig.2 The estimation of wavelet coherency

3 結(jié)語(yǔ)與討論

對(duì)實(shí)驗(yàn)室波流信號(hào)進(jìn)行凝聚譜估計(jì)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，不同水深時(shí)，在頻段0～4 Hz波流信號(hào)均顯著相關(guān)，隨著頻率增加，約大于5 Hz之后，相關(guān)性變得不顯著。但是在譜峰頻率fp附近，不同水深時(shí)的凝聚譜估計(jì)值存在明顯差異，在中層水深時(shí)，估計(jì)值最大，波流相關(guān)性最強(qiáng)，隨著深度的增加或減小，相關(guān)性程度大致呈下降趨勢(shì)。

對(duì)實(shí)驗(yàn)室波流信號(hào)進(jìn)行小波相干估計(jì)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，不同水深處，頻率約為0.67～2.70 Hz時(shí)，小波估計(jì)圖均出現(xiàn)帶狀暖色區(qū)域，說(shuō)明在該頻段波流相關(guān)性較強(qiáng)，此結(jié)論與凝聚譜估計(jì)結(jié)果(0～4 Hz)相比，有重疊但范圍相對(duì)小。在帶狀暖色區(qū)域，不同深度的小波相干估計(jì)圖又存在明顯差異，位于中層水深時(shí)，暖色部分明顯集中，波流呈現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)性的時(shí)間段最長(zhǎng)，在淺層和深層水深時(shí)，暖色部分相對(duì)稀疏，波流呈現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)性的時(shí)間段較短。

依上述兩種方法分析的結(jié)果可知，波流信號(hào)在頻率0～4 Hz或稍小范圍存在相關(guān)性，但是不同水深時(shí)，相關(guān)性程度有所差別。在中層水深，波流相關(guān)性較強(qiáng)，且持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)；在淺層和深層水深時(shí)，波流相關(guān)性有下降的趨勢(shì)，且持續(xù)時(shí)間相對(duì)較短。