江西省萍鄉(xiāng)市教學(xué)研究室 (337000) 胡 斌

基金項(xiàng)目：江西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度普通類重點(diǎn)課題——高中數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)提升的實(shí)踐研究(21PTZD022)

幾何體外接球問題是立體幾何中非常有趣且培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的一類經(jīng)典問題，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵.解決與球有關(guān)的問題對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)有較高的要求，在求解此類問題時(shí)，很多學(xué)生往往不得要領(lǐng).教學(xué)中常用的方法是針對(duì)不同幾何體的特性進(jìn)行歸類總結(jié)為如補(bǔ)形法、墻角模型法、向量法等，類型多，但普適性不強(qiáng).本文通過利用球內(nèi)相關(guān)量的幾何關(guān)系，挖掘不同幾何體的共性，從給定的前提和條件出發(fā)，總結(jié)出求解立體幾何中外接球問題(主要是求外接球的半徑R)的三種模型.

模型一 幾何體中存在某一條側(cè)棱(或母線)垂直底面

圖1

圖2

例1 如圖2，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為( ).

評(píng)注：模型一的關(guān)鍵在于需要有線面垂直，利用“外接球球心與底面外接圓圓心的連線垂直于底面”這一結(jié)論，適用面廣，條件易滿足，只要有線面垂直即可適用，也可如例1這樣，把圖形調(diào)整后滿足模型一的條件，從本質(zhì)上構(gòu)建出數(shù)學(xué)問題的直觀模型，需注意，此處的“線”需為側(cè)棱或母線.

模型二 幾何體中存在某一條側(cè)棱(或母線)滿足其頂點(diǎn)在底面的投影位于底面外心

圖3

背景：如圖3，某幾何體的外接球?yàn)榍騉，半徑為R，底面的外接圓為截面圓C，半徑為r，其側(cè)棱(或母線)PA(A為底面頂點(diǎn)或底面圓周上一點(diǎn))滿足：頂點(diǎn)P在底面的投影為圓心C，則易知球心O在PC上，且OC=PC-R.

例2 如圖4(1)，已知平面四邊形ABCD滿足AB=AD=2，∠A=60°，∠C=90°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，如圖4(2)，則四面體ABCD的外接球體積為.

(1)

(2)

評(píng)注：模型二的關(guān)鍵在于需要有三點(diǎn)一線(側(cè)棱端點(diǎn)、球心、圓心)，通過多面體的一條側(cè)棱或旋轉(zhuǎn)體的一條母線和球心或接點(diǎn)作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.摒棄復(fù)雜圖形的分析過程，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)，剖析問題本質(zhì).

模型三 幾何體中任意一條側(cè)棱(或母線)既不垂直底面，其頂點(diǎn)在底面的投影也不位于底面外心

圖5

背景：如圖5，某幾何體的外接球?yàn)榍騉，半徑為R，底面的外接圓為截面圓C，半徑為r，其任意一條側(cè)棱(或母線)(不妨取為PA，A為底面頂點(diǎn)或底面圓周上一點(diǎn))滿足：PA與⊙C不垂直，且頂點(diǎn)P在底面的投影H與圓心C不重合(H與C的距離CH叫做偏心距)，過O作OQ⊥PH，垂足為Q.則易知OC∥PH，OQ∥CH；設(shè)PQ=x，則OC=QH=PH-x.

圖6

評(píng)注：模型三不像模型一和模型二那樣具有條件的限制，任何一個(gè)立體圖形，只要能找到高和偏心距，即可構(gòu)建關(guān)于外接球半徑的方程組，從而求出立體圖形的外接球半徑.其核心思維主要是利用球心的性質(zhì)，搭建兩個(gè)直角三角形為橋梁，不失一般性，本模型可解決前兩個(gè)模型之外的無特殊條件的大部分幾何體的外接球問題.

關(guān)于外接球問題，根據(jù)立體圖形的不同特征有很多成熟的結(jié)論.本文站在探尋本質(zhì)，尋求直觀的立場(chǎng)上，嘗試從另一個(gè)角度出發(fā)，抓住一個(gè)條件的改變導(dǎo)致立體圖形的本質(zhì)變化，從而建立起從特殊到一般的模型系，進(jìn)一步構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，建立形與數(shù)的聯(lián)系，借助空間認(rèn)識(shí)事物，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，有助于剖析問題的本質(zhì)特征，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)的優(yōu)勢(shì)和可提升的實(shí)踐依據(jù).