江西省修水縣第一中學(xué) (332400) 冷清榮

圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題是高考?？嫉囊粋€(gè)熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，本文通過(guò)一道模擬題對(duì)其進(jìn)行探究、類比及其推廣.

一、試題展示與解析

圖1

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線AM,AN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P,Q，記直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2，判斷k1k2是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.

二、結(jié)論的推廣及其證明

評(píng)注：本解法中沒(méi)利用韋達(dá)定理，而且也沒(méi)有完整求出P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，計(jì)算更加直觀簡(jiǎn)潔.

圖2

類似地，我們可進(jìn)一步推廣到拋物線，得到一個(gè)美觀簡(jiǎn)潔而且與直線l:x=t位置無(wú)關(guān)的結(jié)論.

圖3

推廣3 如圖3，已知拋物線F:y2=2px,(p>0)，點(diǎn)H是直線l:x=t上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)H為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓與直線l交于M,N兩點(diǎn)，若直線OM,ON與橢圓F的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P,Q，記直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2，判斷k1k2是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.