□ 呂港麗 郜舒竹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在第二學(xué)段（3~4年級）數(shù)量關(guān)系部分明確提出“在具體情境中，認(rèn)識常見數(shù)量關(guān)系……總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間；能利用這些關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題”，并在對數(shù)感的定義中提到“數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟……建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系”。根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的描述可知，數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容之一，并且與數(shù)感、問題解決息息相關(guān)。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在解決問題時(shí)，往往會在理解題意和分析數(shù)量關(guān)系上存在困難，那么數(shù)量關(guān)系應(yīng)如何理解？學(xué)生該如何學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系？

一、數(shù)量關(guān)系的基本內(nèi)涵

“數(shù)量”一詞的廣泛使用，容易讓人將數(shù)與量的意義混淆，對數(shù)量關(guān)系認(rèn)識模糊。早在17世紀(jì)，德國著名哲學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）就對數(shù)與量的概念進(jìn)行了區(qū)分，他指出量（quantity）是物質(zhì)的屬性，體現(xiàn)某種度量（measurement）的可能性，而數(shù)（number）是由度量產(chǎn)生的結(jié)果。因此，度量搭建了量與數(shù)之間的橋梁，度量一個(gè)量時(shí)是將其與單位（unit）進(jìn)行比較，而度量的結(jié)果用數(shù)來表示。[1]英國哲學(xué)家羅素（Russell）將量分為廣延量（extensive quantity）與強(qiáng)度量（intensive quantity），其中可以直接度量的量稱為廣延量，如長度、高度等，但并非所有的量都可以直接度量，那些無法直接度量的量稱為強(qiáng)度量，如溫度、速度等。[2]湯普森（Thompson）指出廣延量可以用絕對單位來度量，絕對單位本身是與被度量的廣延量同類的量，而強(qiáng)度量只能用相對構(gòu)造的單位來度量，即強(qiáng)度量的單位來源于人心智的生成，如速度的單位是路程與時(shí)間的比率（rate），是人創(chuàng)造出來的。[3]

強(qiáng)度量的單位是兩個(gè)不同類量的比率，這是一種心理操作，屬于定量運(yùn)算（quantitative operation）。定量運(yùn)算是指人利用已知的量設(shè)想出新的量，是一種概念運(yùn)算，與對情境的理解有關(guān)，其中加法比較兩個(gè)量會產(chǎn)生差（difference），例如身高差。乘法比較兩個(gè)量會產(chǎn)生比（ratio）或比率（rate），例如速度。定量運(yùn)算是一種基于量的心理活動(dòng)，來源于人的自身經(jīng)驗(yàn)，例如將兩個(gè)量相加來源于將部分組成整體和將整體分開形成部分的經(jīng)驗(yàn)，而將兩個(gè)量相乘來源于以分配（share）為目的的匹配（match）與細(xì)分（subdivide）的經(jīng)驗(yàn)。[4]定量運(yùn)算區(qū)別于算術(shù)運(yùn)算，算術(shù)運(yùn)算是用于計(jì)算量的值的數(shù)值運(yùn)算，而定量運(yùn)算是對一個(gè)量如何存在的描述，定量運(yùn)算與在給定情境下實(shí)際用于計(jì)算量的值的算術(shù)運(yùn)算之間沒有直接的對應(yīng)關(guān)系。例如小明比小紅高15厘米，他們的身高差比跳跳和淘氣的身高差要大5倍，那么跳跳和淘氣的身高差是多少？解答：15÷5=3（厘米），在這種情況下，除法用于計(jì)算差值，盡管差值通常意味著減去。每一次定量運(yùn)算都建立了一種關(guān)系：用于定量運(yùn)算的已知量與運(yùn)算產(chǎn)生的新的量之間的關(guān)系。例如，將“這個(gè)班的女生人數(shù)”和“這個(gè)班的男生人數(shù)”進(jìn)行乘法比較，得到“女生人數(shù)與男生人數(shù)的比”，這三個(gè)相互關(guān)聯(lián)的量就構(gòu)成了一個(gè)定量關(guān)系（quantitative relationships），定量關(guān)系是三個(gè)量的概念，其中兩個(gè)量通過定量運(yùn)算確定第三個(gè)量。在算術(shù)關(guān)系中，三個(gè)相關(guān)數(shù)中任意兩個(gè)都可以決定第三個(gè)數(shù)，而如果一個(gè)量被認(rèn)為是由另外兩個(gè)量通過定量運(yùn)算產(chǎn)生的，那么它們之間的關(guān)系是不能改變的。

綜上所述，明確數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，首先要明晰數(shù)與量之間的區(qū)別與聯(lián)系，根據(jù)萊布尼茨的說法，量是物質(zhì)的屬性，而數(shù)是用來描述量的語言工具。人類通過度量來認(rèn)識量，而那些無法直接度量的量則通過心理上的定量運(yùn)算對其概念化，并建構(gòu)相互關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)。因此，數(shù)量關(guān)系更準(zhǔn)確地說是量之間的關(guān)系，而數(shù)是用來計(jì)算量的值的工具，公式則是描述計(jì)算量的值的算術(shù)方法的表達(dá)式。學(xué)生對情境的理解是通過構(gòu)建定量關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)來建立的，可見數(shù)量關(guān)系并非知識性的公式，而是學(xué)生在頭腦中建構(gòu)的關(guān)于量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，具有過程性和創(chuàng)造性，并且離不開學(xué)生的自身經(jīng)驗(yàn)。

二、定量推理

數(shù)量關(guān)系通常與數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系，一個(gè)數(shù)學(xué)問題一般可以用算術(shù)或代數(shù)的方法解決。其中算術(shù)解決方案包括顯示問題中的數(shù)字，并了解這些數(shù)字之間的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系在數(shù)字之間應(yīng)用正確的算術(shù)運(yùn)算。代數(shù)解決方案包括寫出一個(gè)含有未知數(shù)的方程并求解這個(gè)方程。除了這些方法，一個(gè)數(shù)學(xué)問題還可以通過關(guān)注量與量之間的關(guān)系來解決，這種方法被稱為定量推理（quantitative reasoning）。算術(shù)解決方案的重點(diǎn)是數(shù)之間的關(guān)系，代數(shù)解決方案的重點(diǎn)是將數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)符號，而定量推理解決方案的重點(diǎn)是表達(dá)定量關(guān)系并處理定量關(guān)系。[5]湯普森將定量推理定義為將一種情境分析成一種定量結(jié)構(gòu)（quantitative structure），即量和定量關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)。在此基礎(chǔ)上，摩爾（Moore）認(rèn)為定量推理提供了一個(gè)理論，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者以一種能夠進(jìn)行推理的方式來構(gòu)思量，即定量推理是指人構(gòu)思一種情境（例如，運(yùn)動(dòng)員賽跑），構(gòu)建他所構(gòu)思的情境的量（例如，經(jīng)過的時(shí)間或跑的距離），以及推理這些量之間的關(guān)系（例如，跑的距離、經(jīng)過的時(shí)間和平均速度之間的關(guān)系）的心理行為，學(xué)生通過定量推理建構(gòu)定量結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，發(fā)展數(shù)學(xué)理解和推理的能力。湯普森在介紹定量推理時(shí)，給出了這樣一個(gè)例子：“我從家走到學(xué)校需要30 分鐘，哥哥需要40 分鐘，哥哥比我早走6 分鐘，我將在幾分鐘內(nèi)超過他？”這是一個(gè)常見的行程問題，通常采用代數(shù)方法建立一個(gè)方程，然后求t，類似的問題經(jīng)常出現(xiàn)在代數(shù)教科書中。而定量推理方法的步驟如下：（1）想象一下“我”和哥哥走在一起：重要的是我們之間的距離，以及距離變?yōu)? 需要多長時(shí)間；（2）我們之間的距離以我們行走的速度差的速度縮??；（3）“我”用哥哥的時(shí)間走同樣的距離，所以“我”走路的速度是哥哥的；（4）由于“我”走路的速度是哥哥的，所以我們的速度差是哥哥速度的；（5）我們之間的距離以哥哥速度的縮小到0，所以距離變?yōu)?所需的時(shí)間是哥哥早走時(shí)間的3倍；（6）因此，18分鐘后“我”會超過哥哥。這個(gè)例子反映了定量推理強(qiáng)調(diào)通過關(guān)注問題情境中的量及定量關(guān)系來進(jìn)行思考和推理，在分析問題時(shí)，首先對情境中的量進(jìn)行非數(shù)字推理，然后揭示這些量之間的關(guān)系，再考慮數(shù)字之間的關(guān)系，以及用于計(jì)算量的值的算術(shù)運(yùn)算。

從20 世紀(jì)80 年代開始，問題解決一直是國際數(shù)學(xué)教育的重要研究課題，2011 年，問題解決首次在“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中出現(xiàn)，其內(nèi)涵直指“四能”，即發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。以往關(guān)于問題解決的研究表明，所有年級的學(xué)生在理解問題時(shí)都可能存在困難，例如，戈?duì)柖。℅oldin）指出，諸如動(dòng)詞句法、想象、數(shù)學(xué)符號、計(jì)劃、組織和控制以及情感系統(tǒng)等支持系統(tǒng)是問題解決的重要方面，對系統(tǒng)的任何干擾都可能導(dǎo)致解決問題的困難。[6]坦比奇克（Tambychik）和米拉（Meerah）指出，學(xué)生在問題解決的過程中存在困難的主要原因是缺乏數(shù)學(xué)技能，如算術(shù)技能、信息技能、語言技能、視覺空間技能（可視化數(shù)學(xué)概念、有意義地操縱幾何形狀和空間的技能）等。[7]湯普森還指出，問題解決過程中遇到的困難可能是由于未能引入定量推理技能，這種技能考慮了量之間基本、具體的關(guān)系。根據(jù)湯普森的觀點(diǎn)，定量推理技能的獲得既有助于理解算術(shù)中的數(shù)表達(dá)式和運(yùn)算，也有助于理解代數(shù)中的符號表達(dá)式和運(yùn)算，還有助于發(fā)展問題解決的技能。在這種情況下，還有一些研究者的研究也支持了這樣一個(gè)事實(shí)，即定量推理技能的發(fā)展可以確保問題解決技能的發(fā)展。例如，埃利斯（Ellis）對兩組學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力進(jìn)行了研究，一組主要關(guān)注定量關(guān)系，另一組主要關(guān)注與量無關(guān)的數(shù)字模式。研究結(jié)果表明，基于量和定量關(guān)系進(jìn)行教學(xué)的這一組學(xué)生可以更有意義地歸納現(xiàn)實(shí)生活問題中的期望關(guān)系。[8]摩爾和卡爾森（Carlson）在對大學(xué)生進(jìn)行的一項(xiàng)研究中，觀察到在解決現(xiàn)實(shí)世界問題中具有定量推理技能的學(xué)生可以更有意義地解決問題，定量推理是學(xué)生發(fā)展有意義的數(shù)學(xué)理解的核心。[9]此外，湯普森、斯特夫（Steffe）、伊扎克（Izsak）等研究者主張定量推理是代數(shù)推理的基礎(chǔ)，關(guān)注量之間的關(guān)系，而不是關(guān)注與有意義對象無關(guān)的數(shù)，可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)代數(shù)。[10]

定量推理不僅是有效解決問題的一種方法，更是一種思維方式，這種思維方式有助于學(xué)生打破算術(shù)思維的束縛，通過關(guān)注數(shù)學(xué)問題中的量及量的關(guān)系，更深入地理解問題的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)推理能力。因此，在課堂教學(xué)中，學(xué)生定量推理能力的培養(yǎng)是值得被關(guān)注的。

三、數(shù)量關(guān)系的教學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)量關(guān)系主要包括“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，速度×?xí)r間=路程”，很多教師將數(shù)量關(guān)系看作是知識性的內(nèi)容教給學(xué)生，在這種情況下，學(xué)生習(xí)得的是對計(jì)算公式的熟練運(yùn)用，卻沒有真正獲得對量及量的關(guān)系的深刻認(rèn)識。教師應(yīng)認(rèn)識到數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不能僅把關(guān)注點(diǎn)放在公式的學(xué)習(xí)和運(yùn)用上，更重要的是讓學(xué)生能夠在自主探尋情境中的量及量的關(guān)系的過程中，在頭腦中建構(gòu)定量關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展定量推理的能力。

（一）引導(dǎo)學(xué)生正確識別情境中的量

數(shù)量關(guān)系并非數(shù)與量的關(guān)系，而是量之間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)起點(diǎn)應(yīng)在于引導(dǎo)學(xué)生識別問題情境中的量，學(xué)生首先要找出有哪些量，才能進(jìn)一步理解量之間的關(guān)系。湯普森指出，學(xué)生往往傾向于用數(shù)來命名量，例如“哥哥的儲蓄有200 元”，通常將“200 元”看作是量而不是將“哥哥的儲蓄”看作是量，如果學(xué)生不能區(qū)分客體到底是一個(gè)量，還是對量的度量，那么他們解釋量之間的關(guān)系將會受到阻礙。分析數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確識別情境中的量及度量單位，并在此基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)亩窟\(yùn)算構(gòu)建定量關(guān)系，在這一過程中應(yīng)區(qū)分廣延量與強(qiáng)度量，其中廣延量（如長度、重量等）是能直接度量的量，可以直接用來進(jìn)行定量運(yùn)算，而強(qiáng)度量（速度、單價(jià)等）則是由定量運(yùn)算產(chǎn)生的結(jié)果，學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷建構(gòu)強(qiáng)度量概念的過程，才能更好地理解強(qiáng)度量。

（二）幫助學(xué)生通過定量運(yùn)算構(gòu)建定量關(guān)系

學(xué)生對復(fù)雜情境的理解依賴于定量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的建立，而定量關(guān)系的構(gòu)建來源于恰當(dāng)?shù)亩窟\(yùn)算，定量運(yùn)算是基于量的心理運(yùn)算，與學(xué)生的自身經(jīng)驗(yàn)息息相關(guān)。因此，在課堂上應(yīng)盡可能地為學(xué)生提供真實(shí)的情境或能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生借助情境和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，讓學(xué)生有體驗(yàn)和思考的空間，例如，皮亞杰（Piaget）在研究兒童速度概念的建構(gòu)時(shí)指出，兒童對速度的認(rèn)知是從可視的“超車”現(xiàn)象開始的[11]，那么在學(xué)生初次學(xué)習(xí)速度時(shí)，教師可以設(shè)置玩具小車的運(yùn)動(dòng)情境，讓學(xué)生在觀察過程中思考小車運(yùn)動(dòng)的快慢與運(yùn)動(dòng)時(shí)間、路程有什么關(guān)系，當(dāng)學(xué)生形成對路程、時(shí)間與速度之間關(guān)系的初步感知后，再逐漸引導(dǎo)學(xué)生抽象出比率關(guān)系。

（三）培養(yǎng)學(xué)生定量推理的思維方式

湯普森等人研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在問題解決的過程中，大多采用算術(shù)或代數(shù)的方法，很少進(jìn)行定量推理，如果學(xué)生的思維被算術(shù)運(yùn)算所束縛，可能會影響他們問題解決能力的發(fā)展。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從量及量的關(guān)系的角度來認(rèn)識和思考世界，例如，角的度量既可以用角度制也可以用弧度制來表示，并且二者可以相互轉(zhuǎn)換，其中弧度制是指用弧長與半徑的比率來度量對應(yīng)圓心角的大小，這是一種從量的角度來理解角的方式。通過這種方式，學(xué)生能更好地認(rèn)識角的特征，即角的大小與對應(yīng)圓弧的長度與半徑的比率有關(guān)，而與角的頂點(diǎn)無關(guān)，因此在小學(xué)階段學(xué)習(xí)角時(shí)，可以適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生探索圓心角與對應(yīng)弧長之間的關(guān)系。[12]

總之，數(shù)量關(guān)系指向的是量之間的關(guān)系，而數(shù)是用來計(jì)算量的值的工具。學(xué)生通過定量運(yùn)算在頭腦中建構(gòu)關(guān)于量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)對情境的理解，這是一個(gè)具有創(chuàng)造性的過程，離不開學(xué)生的自身經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，教師不應(yīng)僅關(guān)注學(xué)生對公式的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，更要讓學(xué)生在探索情境中的量及量的關(guān)系的過程中，學(xué)會用“量”的眼光觀察世界，用“量”的思維思考世界，發(fā)展定量推理的能力。