麗水學(xué)院教師教育學(xué)院(323000) 胡吉振 潘家樂 金璐瑤

華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順

華中師范大學(xué)教育學(xué)院 周東明

1 問題提出

中小學(xué)數(shù)學(xué),尤其是現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)幾乎都是徹底生活化的數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系已經(jīng)得到了很好的貫徹執(zhí)行.

中國古代數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系也是像今天的小學(xué)數(shù)學(xué)課本那樣關(guān)系是十分密切的.現(xiàn)實(shí)生活是豐富多彩、五彩繽紛的,但是現(xiàn)實(shí)生活是一個(gè)現(xiàn)象的世界或者說是一個(gè)事實(shí)的世界,數(shù)學(xué)的本質(zhì)畢竟是抽象的,過渡的生活化就幾乎等價(jià)于過渡的形象化或具體化,是遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)本質(zhì)的,而不是走向數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象化,這就造成了數(shù)學(xué)越生活化,數(shù)學(xué)越脫離自己的本質(zhì),數(shù)學(xué)就越不像本質(zhì)的數(shù)學(xué),這樣也不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和抽象思維的培養(yǎng).另外,一些學(xué)者提出在數(shù)學(xué)教育中,尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系,很多的老師會(huì)說到數(shù)學(xué)與化學(xué)、物理、生物等自然科學(xué)的聯(lián)系[1]232,而很少強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與人文科學(xué)的聯(lián)系,例如很少有學(xué)者強(qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì)學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)等人文科學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.即使是物理、化學(xué)、生物等這些自然科學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系,也就是數(shù)學(xué)在這些具體學(xué)科上的應(yīng)用,這些學(xué)科與數(shù)學(xué)有本質(zhì)的差別,它們都是研究客觀物質(zhì)世界中具體存在之物,但是數(shù)學(xué)本質(zhì)是抽象的,是研究觀念之物或想象之物的.從這個(gè)意義上講,二者的研究對象有本質(zhì)的差別,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)的聯(lián)系不外乎強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,數(shù)學(xué)的應(yīng)用性也許能培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,然而不一定能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.但是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,則是強(qiáng)調(diào)抽象與抽象的聯(lián)系,卻可能更好的培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維.哲學(xué)是人類對自然界、人類社會(huì)和思維的高度抽象概括,這種抽象是理論化的、系統(tǒng)化的體系,這與數(shù)學(xué)是一樣的,都是抽象化的,理論化、系統(tǒng)化的體系.從這個(gè)意義上講,哲學(xué)與數(shù)學(xué)是很類似的.因此筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)更應(yīng)該加強(qiáng)與以哲學(xué)為代表的人文科學(xué)的聯(lián)系,具體來講,其原因至少有以下三點(diǎn)理由.

2 三點(diǎn)理由

2.1 在歷史上與數(shù)學(xué)關(guān)系最密切的是哲學(xué)

無論是從中國古代數(shù)學(xué)與哲學(xué)關(guān)系的角度,還是從古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)關(guān)系的角度來講,數(shù)學(xué)與哲學(xué)都有著十分密切的聯(lián)系,這種聯(lián)系是自然而然的.中國古代數(shù)學(xué)最早是在哲學(xué)著作中出現(xiàn)的,或者說中國古代數(shù)學(xué)最初是包含在中國古代哲學(xué)之中,隨后才逐漸的從哲學(xué)這個(gè)母體中分離出來,成為一門獨(dú)立學(xué)科分支的.我國古代偉大哲學(xué)家、思想家、道家學(xué)說的創(chuàng)始人老子的《道德經(jīng)》中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識,例如“大直若屈(大的直線就和曲線一樣或直線就是曲線)”、“大方無隅(大的方形是沒有角的)”、[2]48“善算不用籌策(善于計(jì)算的人就擺脫了外在的計(jì)算工具,達(dá)到了一個(gè)更高的境界)”、[2]41“一生二,二生三,三生萬物”[2]42等;另一部哲學(xué)著作《易經(jīng)》中也是包含了豐富的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想;在《莊子·天下篇》就記載了名家惠施的“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”的極限思想.墨家著作《墨經(jīng)》上就有給一些基本的數(shù)學(xué)概念下“定義”、給數(shù)學(xué)命題“證明”的思想,例如圓被定義為:“圓一中同長也”.宋元數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》序中說:“數(shù)與道非二本,”這又一次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系是如此的密切,楊輝和李冶等數(shù)學(xué)家也把數(shù)學(xué)提高抽象到“道”的高度,也就是哲學(xué)的高度,他們認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅是技藝,而且還是“道”的學(xué)問.李冶在《敬齋古今黈遺·卷五》中寫道:“道術(shù)云者,謂眾人之所由也.故從所由言之,道即術(shù),術(shù)即道也,”[3]228李冶提倡的是“道技一體”的哲學(xué)觀念.

我們再看看古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系.首先,在古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)家是在哲學(xué)學(xué)園里工作的,例如柏拉圖學(xué)園是個(gè)哲學(xué)學(xué)園.柏拉圖雖然不是數(shù)學(xué)家,但是他是數(shù)學(xué)家的締造者,數(shù)學(xué)家的締造者比數(shù)學(xué)家還重要,在他的帶領(lǐng)下培養(yǎng)了很多的數(shù)學(xué)家,例如梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus)、特埃特圖斯(Theateus)、歐多克索斯等[4]35.而且在古希臘時(shí)期,很多的數(shù)學(xué)家又是哲學(xué)家,例如泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯等.在某種程度上講,古希臘數(shù)學(xué)也是屬于哲學(xué)的,并且古希臘人把數(shù)學(xué)的地位置放到了哲學(xué)的高端.古希臘大哲學(xué)家亞里士多德認(rèn)為,科學(xué)的第一原理和基本概念,如數(shù)學(xué)概念、形式邏輯的思維規(guī)律等,都是潛在于理性靈魂之中的[5]63,而柏拉圖強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是理念世界的真理[5]48,數(shù)學(xué)為哲學(xué)更好的學(xué)習(xí)或研究奠定基礎(chǔ)的,或者說數(shù)學(xué)是哲學(xué)的階梯[3]37.柏拉圖認(rèn)為上帝是一個(gè)幾何學(xué)家或我們這個(gè)宇宙是上帝以幾何學(xué)的形式設(shè)計(jì)的.甚至亞里士多德這個(gè)哲學(xué)家在數(shù)學(xué)上都留下了幾個(gè)定理,在歐幾里得的《幾何原本》中有幾個(gè)定理是屬于他的[3]43.這就彰顯了古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系是如此的密切.而且后來西方人繼承了古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切聯(lián)系的文化傳統(tǒng),在整個(gè)中世紀(jì)乃至近現(xiàn)代以來,數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系仍然是密切的,很多數(shù)學(xué)家依然是哲學(xué)家,例如笛卡爾、萊布尼茨、帕斯卡、羅素、懷特海等等.

2.2 數(shù)學(xué)與哲學(xué)的研究對象都具抽象性

數(shù)學(xué)在起源上與哲學(xué)有著密切的聯(lián)系,數(shù)學(xué)與哲學(xué)的研究對象都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的,都不是像物理、化學(xué)等自然科學(xué)那樣研究具體的形象的物質(zhì)形態(tài)(例如物理學(xué)家研究力、聲、原子和光等),而是研究“假大空”的學(xué)問,幾乎可以說都是“務(wù)虛”的學(xué)問,因?yàn)槎际菑默F(xiàn)實(shí)生活中抽象出來了,抽象出來就脫離了具體的事物,而是變成了一種精神或者說是觀念的東西.數(shù)學(xué)或哲學(xué)就是一種精神或一種觀念,是一種非物質(zhì)的東西,或者說是一種理論,這是二者的相同點(diǎn),但是以物理學(xué)為代表的自然科學(xué)是研究客觀世界具體的物質(zhì),有確定的研究對象.在人類歷史上,不僅一些物理學(xué)家是數(shù)學(xué)家,更多的是哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家.德國哲學(xué)家、邏輯主義的代表人之一弗雷格曾說,一個(gè)不懂哲學(xué)的數(shù)學(xué)家僅僅是半個(gè)數(shù)學(xué)家,一個(gè)不懂?dāng)?shù)學(xué)的哲學(xué)家僅僅是半個(gè)哲學(xué)家[6]205.但是沒有人說,一個(gè)不懂?dāng)?shù)學(xué)的物理學(xué)家僅僅是半個(gè)物理學(xué)家,一個(gè)不懂物理的數(shù)學(xué)家僅僅是半個(gè)數(shù)學(xué)家.從弗雷格的這個(gè)觀點(diǎn)來講,哲學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系其實(shí)是超過了物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系的.這也說明了數(shù)學(xué)家可以不是物理學(xué)家,物理學(xué)家也可以不是數(shù)學(xué)家,但是不懂哲學(xué)的數(shù)學(xué)家卻僅僅是半個(gè)數(shù)學(xué)家;不懂?dāng)?shù)學(xué)的哲學(xué)家也同樣僅僅是半個(gè)哲學(xué)家;最后,物理學(xué)家應(yīng)用數(shù)學(xué)僅僅是利用數(shù)學(xué)作為工具,而不是把數(shù)學(xué)作為研究對象,但是哲學(xué)家就不一樣了,在某種程度上他們把數(shù)學(xué)當(dāng)做研究對象.在西方很多的哲學(xué)家又是數(shù)學(xué)家,這就是西方文化的傳統(tǒng).哲學(xué)是科學(xué)的科學(xué),哲學(xué)是屬于人文科學(xué)的.哲學(xué)在某種程度上也給數(shù)學(xué)是雷同的,是對現(xiàn)實(shí)生活世界的概括與總結(jié).所以說我們更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,從更廣泛的意義上講,我們更要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與人文科學(xué)的聯(lián)系,再往深處說就是要淡化數(shù)學(xué)的科學(xué)性,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的人文性.加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系有那些好處呢?數(shù)學(xué)是抽象的,哲學(xué)也是抽象的,把二者聯(lián)系起來可能使學(xué)生更容易接受數(shù)學(xué)的抽象,更容易讓學(xué)生提出并思考數(shù)學(xué)問題,而且接受哲學(xué)思想,進(jìn)而可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和思辨能力.

2.3 哲學(xué)的反思性、質(zhì)疑性和批判精神有利于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

“哲學(xué)”這個(gè)詞的英文是“Philosophy”,在古希臘語中是“愛智之學(xué)”.但是后來人們對這個(gè)詞的理解可謂是智者見智仁者見仁的.黑格爾強(qiáng)調(diào)哲學(xué)就是哲學(xué)史,哲學(xué)史就是哲學(xué)[5]271.還有的學(xué)者認(rèn)為哲學(xué)無定論,例如中國現(xiàn)代著名哲學(xué)家馮友蘭就秉承這種觀點(diǎn)[7]5.我們撇開哲學(xué)的定義,直奔哲學(xué)的主題,哲學(xué)是沒有內(nèi)容的,哲學(xué)家都是在批判前人的觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上建立自己的學(xué)說體系.哲學(xué)不是知識,它是一種方法,它是一種反思、質(zhì)疑和批判的精神.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、教學(xué)與研究也是需要這種反思、質(zhì)疑與批判精神的.數(shù)學(xué)是需要反思的,是需要質(zhì)疑的,也是需要批判的,在數(shù)學(xué)上真正的是“我愛吾師,吾更愛真理”,這點(diǎn)是來不得半點(diǎn)含蓄的.在哲學(xué)上講思辨,在數(shù)學(xué)上也是需要講思辨的,純粹的數(shù)學(xué)就是形而上學(xué).演繹證明,甚至即使是歸納證明本身就是一種思辨的過程,就是一種說理的過程,當(dāng)然這個(gè)過程是抽象的,在這個(gè)過程中展示了或培養(yǎng)了人的抽象思維.在人類數(shù)學(xué)史上很多的數(shù)學(xué)家也是具有反思、質(zhì)疑與批判的精神.古希臘數(shù)學(xué)在“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”反思之后的結(jié)果就是擺脫了直觀與經(jīng)驗(yàn)的局限性,把數(shù)學(xué)的真理性訴諸于理性的演繹證明的基礎(chǔ)上.微積分誕生之初,微積分的理論基礎(chǔ)不是太牢靠,經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家貝克萊就發(fā)難于牛頓和萊布尼茨的微積分的理論基礎(chǔ),這就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”,哲學(xué)家或數(shù)學(xué)家的反思、質(zhì)疑、批判的精神促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,這種反思、質(zhì)疑和批判的精神也有利于更好的提出問題和解決問題.古希臘第一次數(shù)學(xué)危機(jī)之后,反思、質(zhì)疑和批判的結(jié)果就是認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)與直覺是不可靠的,唯有經(jīng)過演繹證明得出的結(jié)論才是真正的知識或絕對的真理,這樣古希臘數(shù)學(xué)在反思、質(zhì)疑和批判之后,就走向了演繹證明和公理化體系之路.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于微積分的基礎(chǔ)不牢靠引起的,為了給微積分奠定了一個(gè)可靠的理論基礎(chǔ),很多的數(shù)學(xué)家開始反思、質(zhì)疑和批判前人的數(shù)學(xué)工作,其中歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、柯西等數(shù)學(xué)家都作出杰出的貢獻(xiàn),最終被維爾斯特拉斯引入“ε?δ”語言而徹底的解決兩百年左右由微積分的基礎(chǔ)不牢靠給人類帶來的難題.由此可見,西方數(shù)學(xué)的進(jìn)步與這種哲學(xué)的反思、質(zhì)疑和批判的精神是有著密切的聯(lián)系的.

不僅在西方數(shù)學(xué)界是這樣,在中國古代數(shù)學(xué)界也是如此.《周髀算經(jīng)》上認(rèn)為“日影一寸,地差八千”,這種觀點(diǎn)很早就遭到數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑.公元422年(南北朝文帝元嘉十九年)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家何承天通過測量影長來否定這一說法[8]254.“日影一寸,地差八千”到了唐代也遭到數(shù)學(xué)家劉焯[8]254、李淳風(fēng)[9]89與僧一行[8]251-256的質(zhì)疑,甚至否定.這就是中國古代數(shù)學(xué)家的科學(xué)精神,中國古代數(shù)學(xué)家的這種反思、質(zhì)疑、批判的精神,用祖沖之的話說就是“不虛推古人”的精神.王孝通在“上輯古算經(jīng)表”中說:“其祖暅之《綴術(shù)》,時(shí)人稱之精妙,曾不覺‘方邑進(jìn)行’之術(shù),全錯(cuò)不通;‘芻亭方亭’之問,于理未盡.”可見王孝通對《綴術(shù)》是有微詞的.雖然很多的學(xué)者認(rèn)為王孝通是看不懂《綴術(shù)》而錯(cuò)誤的批判《綴術(shù)》,但是中國古代數(shù)學(xué)家敢于反思、質(zhì)疑、批判的精神也是值得肯定的.數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)對劉徽有微詞,同樣這種觀點(diǎn)在郭書春看來也是不正確的[9]90.即使是當(dāng)過老師的數(shù)學(xué)家劉焯為推行自己的《皇極歷》多次參加辯論[8]183.這種反思、質(zhì)疑、批判的精神其實(shí)早在數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之那里就存在了.劉徽注《九章算術(shù)》本身就是對《九章算術(shù)》在思想觀念上的改進(jìn).劉徽在圓周率上他也質(zhì)疑、批判過天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家張衡.“失之遠(yuǎn)矣”、“不顧疏密,雖有文辭,斯亂道破義,病也”.[10]359-362祖沖之更具有反思、質(zhì)疑和批判的精神,在他之前的數(shù)學(xué)家?guī)缀跞凰u一遍:“臣少銳愚尚,專功數(shù)術(shù),搜練古今,博采沈奧,唐篇夏典,莫不揆量,周正漢朔,咸加該驗(yàn).罄策籌之思,究疏密之辨.至若立圓舊誤,張衡述而弗改;漢時(shí)斛銘,劉歆詭謬其數(shù),此則算氏之劇疵也.《乾象》之弦望定數(shù),《景初》之交度周日,匪謂測候不精,遂乃乘除翻謬,斯又歷家之甚失也.及鄭玄、闞澤、王蕃、劉徽,并綜數(shù)藝,而每多疏舛.臣昔以暇日,撰正眾謬,理據(jù)炳然,易可詳密,此臣以俯信偏識,不虛推古人者也.”[11]306祖沖之就是一個(gè)偉大實(shí)踐主義數(shù)學(xué)家,在實(shí)踐的基礎(chǔ)上,他開始反思、質(zhì)疑和批判之前的數(shù)學(xué)家，包括劉徽都被他批判.南宋數(shù)學(xué)家楊輝對《九章算術(shù)》很崇敬的,把它稱為“黃帝九章”又說它是“圣賢之書”,但是楊輝仍然敢于批判《九章算術(shù)》,他認(rèn)為《九章算術(shù)》的章節(jié)安排不合理,所以重新調(diào)整了九章的內(nèi)容,使它更合理一些[12]53.另一個(gè)喜歡批判別人的數(shù)學(xué)家是李冶,在他的讀書筆記《敬齋古今黈》中,他對前秦以來三十多位名家觀點(diǎn)提出了自己的不同認(rèn)識.這種對前人的反思、質(zhì)疑、批判的精神就是一種科學(xué)精神.哲學(xué)在某種程度上說就是反思的學(xué)問、質(zhì)疑的學(xué)問和批判的學(xué)問,從這點(diǎn)來說,中國古代數(shù)學(xué)家的這種精神也是哲學(xué)精神的重要體現(xiàn).哲學(xué)的這種精神是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)必不可少的優(yōu)秀品質(zhì).

3 如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系

3.1 數(shù)學(xué)哲學(xué)思想滲入數(shù)學(xué)教材

前面講到了數(shù)學(xué)與哲學(xué)的密切聯(lián)系,但是擺在我們面前的一個(gè)問題是,如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系.數(shù)學(xué)、哲學(xué)都是龐大的學(xué)科分支,其實(shí)說加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,并非加強(qiáng)所有的哲學(xué)分支都與數(shù)學(xué)所有分支的聯(lián)系.在這里強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系主要指數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系,而不是也不可能是整個(gè)哲學(xué)與所有的數(shù)學(xué)學(xué)科的聯(lián)系,而僅僅主要指中小學(xué)數(shù)學(xué).整個(gè)哲學(xué)中與數(shù)學(xué)無關(guān)的理論也是存在的,但是我們沒有必要也不能強(qiáng)調(diào)所有哲學(xué)理論與所有數(shù)學(xué)的聯(lián)系,我們只需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)的聯(lián)系基本上就可以了.之所以要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)的聯(lián)系,就是因?yàn)榇髮W(xué)生,尤其是師范類數(shù)學(xué)專業(yè)或數(shù)學(xué)教育專業(yè)的大學(xué)生將來要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作,這就需要對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一個(gè)認(rèn)識或者說有一個(gè)了解,這就涉及到數(shù)學(xué)哲學(xué)的內(nèi)容.就像鄭毓信所說,學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)很多年,對“數(shù)學(xué)是什么”或數(shù)學(xué)的本質(zhì)并不一定能掌握[11]1,但是數(shù)學(xué)哲學(xué)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識和對數(shù)學(xué)教育又具有很重要的理論和實(shí)踐指導(dǎo)意義.章建躍強(qiáng)調(diào)理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[12],因此加強(qiáng)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)的聯(lián)系是理解數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).加強(qiáng)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)的聯(lián)系這是最基本的,但是也是具有可行性的.在這其中有很多的數(shù)學(xué)哲學(xué)內(nèi)容是可以寫入到中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的.例如數(shù)學(xué)是演繹的科學(xué)還是經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)?數(shù)學(xué)是發(fā)明的科學(xué)還是發(fā)現(xiàn)的科學(xué)?數(shù)學(xué)是關(guān)系的科學(xué)還是結(jié)構(gòu)的科學(xué)?數(shù)學(xué)是約定的科學(xué)還是客觀的真理?很多的數(shù)學(xué)哲學(xué)上的問題其實(shí)就可以作為數(shù)學(xué)與哲學(xué)二者的共同點(diǎn)來加深聯(lián)系和理解的.數(shù)學(xué)哲學(xué)的一些內(nèi)容可以寫入中小學(xué)生的數(shù)學(xué)課本至少作為選修課的內(nèi)容,當(dāng)然也可以把數(shù)學(xué)哲學(xué)的相關(guān)內(nèi)容寫入中學(xué)哲學(xué)的課本.要加強(qiáng)抽象與抽象的聯(lián)系,就是加數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系.再例如“一日之棰,日取其半,萬世不竭”,這句話不僅含有哲學(xué)的思想還含有數(shù)學(xué)極限的思想,但是如果從現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的視角來講,“日取”到一定程度,這個(gè)木棍就無法再分割下去了,也就是說物質(zhì)分割到一定程度或小到一定程度就不能再分割了[12]4.這就像古希臘哲學(xué)家德謨克利特提出的“原子論”一樣,強(qiáng)調(diào)原子是最小的不可再分的單位,所以說現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)展也證明了這一點(diǎn)的正確性,這就反映了哲學(xué)與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系.在數(shù)學(xué)教育中或哲學(xué)教育中加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系的紐帶是數(shù)學(xué)哲學(xué),筆者認(rèn)為最好的一部分教材是張景中院士編寫的科普讀物《數(shù)學(xué)哲學(xué)》,書中有很多的內(nèi)容可以移植到中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中或中學(xué)哲學(xué)教材中去.例如人類歷史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”[13]1,“羅素悖論”[13]74、“伽利略的困惑”[13]52等等是可以寫入中小學(xué)數(shù)學(xué)教材和中學(xué)哲學(xué)教材的.在數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育哲學(xué)方面還有很多著作對我們今天的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育乃至哲學(xué)教育都有積極的影響和重要的參考價(jià)值,例如鄭毓信編著的《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》,林夏水也有數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的專著[4][14],這些數(shù)學(xué)哲學(xué)類的專著也是很通俗易懂的.

3.2 從教材中提煉數(shù)學(xué)哲學(xué)思想

其實(shí)有數(shù)學(xué)就有數(shù)學(xué)哲學(xué).在中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中有相當(dāng)多的具有數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的內(nèi)容.在數(shù)學(xué)課本中也需要數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的指導(dǎo).例如2011年版義務(wù)教育階段《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)增強(qiáng)學(xué)生符號意識對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性[15]5,這就是向?qū)W生滲透抽象的數(shù)學(xué)符號語言,這就反映了數(shù)學(xué)是符號語言的科學(xué).再例如在學(xué)數(shù)學(xué)解應(yīng)用題中,最關(guān)鍵的是尋找已知量與未知量之間的關(guān)系.數(shù)量關(guān)系搞清楚是解題的關(guān)鍵,理清數(shù)量關(guān)系是如此的重要,這也說明了數(shù)學(xué)是關(guān)系的科學(xué).數(shù)量關(guān)系是什么?在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)該說是加加減減乘乘除除,加減乘除就是關(guān)系,表達(dá)兩個(gè)或更多個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系.比例尺也是一種關(guān)系,一種圖上距離與實(shí)際距離的比率,反比例或正比例也是一種關(guān)系,方程也是一種關(guān)系,表示兩個(gè)量是相等的;不等式也是一種關(guān)系,表現(xiàn)兩個(gè)量是不等的.數(shù)的大小其實(shí)也是一種關(guān)系,倍數(shù)也是一種關(guān)系,整除或不能整除也是反映了兩個(gè)整數(shù)之間的關(guān)系等等.這就說明義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)是關(guān)系的科學(xué).再例如線段是人類發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念,但是直線是人類發(fā)明的數(shù)學(xué)概念,因?yàn)榫€段在現(xiàn)實(shí)生活中是有其模型的,但是直線在現(xiàn)實(shí)生活中是沒有其模型的,是人為的假設(shè)存在的,是觀念之物,是想象之物,而線段是現(xiàn)實(shí)客觀之物.從這個(gè)意義上講,在小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)概念,既有發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念,也有發(fā)明的數(shù)學(xué)概念,必須承認(rèn)在現(xiàn)實(shí)生活中存在模型的數(shù)學(xué)概念應(yīng)該說都是比較容易理解的數(shù)學(xué)概念,但是也必須承認(rèn)在現(xiàn)實(shí)生活中不存在模型的抽象數(shù)學(xué)概念應(yīng)該說不太容易理解,例如直線就不是一個(gè)很容易理解的數(shù)學(xué)概念,因?yàn)橹本€是抽象的,是生活中沒有原型的,是人觀念的產(chǎn)物,是人類的發(fā)明而不是人類的發(fā)現(xiàn),所以說這個(gè)概念是不容易理解的.也就說義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)既有發(fā)現(xiàn)的學(xué)問,也有數(shù)學(xué)是發(fā)明的學(xué)問.中小學(xué)數(shù)學(xué)同樣秉承了古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的觀念,一方面是與現(xiàn)實(shí)生活依靠的比較近,或者說就在現(xiàn)實(shí)生活之中,再加上中小學(xué)數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)符號還是比較少,大多數(shù)都不是抽象的數(shù)字,還不是脫離現(xiàn)實(shí)生活中的純粹數(shù)學(xué).從這點(diǎn)來講,小學(xué)數(shù)學(xué)真是“萬物皆數(shù)”的數(shù)學(xué).生活中有數(shù)學(xué)問題,可以用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題.

在中學(xué)數(shù)學(xué)課本中仍然能找到數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想,例如“無理數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念就是在第一次數(shù)學(xué)危機(jī)中產(chǎn)生的,第一次數(shù)學(xué)危機(jī)重要意義是擺脫了直觀經(jīng)驗(yàn)的束縛,直接訴諸于演繹推理,這是人類在數(shù)學(xué)史上認(rèn)識論的一大轉(zhuǎn)折,在此以前的古希臘數(shù)學(xué)有很多的成分是經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué),但是經(jīng)驗(yàn)不等于知識,要獲取真正的知識還要經(jīng)過理性精神的審判,也就是演繹證明的驗(yàn)證.在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中就有一種把運(yùn)動(dòng)的思想引入數(shù)學(xué),在中學(xué)繼續(xù)把這思想引入數(shù)學(xué),讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)與變化的科學(xué),尤其是到了高中的解析幾何和初步微積分,就是用函數(shù)來刻畫物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)概念.當(dāng)然中學(xué)數(shù)學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù),數(shù)學(xué)是符號的科學(xué),數(shù)學(xué)是關(guān)系的科學(xué)和數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)的科學(xué)等等數(shù)學(xué)哲學(xué)觀念在中學(xué)繼續(xù)有效,中學(xué)數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)更多的涉及到了觀念之物和無限之物,展示了數(shù)學(xué)的魅力.以上僅僅從教材的角度強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切的聯(lián)系起來,但是還是需要有配套的措施的,例如作為將來的中小學(xué)數(shù)學(xué)老師——師范生們也要學(xué)習(xí)一點(diǎn)數(shù)學(xué)哲學(xué),這也是一個(gè)系統(tǒng)的工程.筆者拋磚引玉,希望更多的學(xué)者為進(jìn)一步加強(qiáng)在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育與哲學(xué)更為密切的聯(lián)系而出謀劃策.

4 結(jié)語

古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)有著密切的天然聯(lián)系,中國古代數(shù)學(xué)與哲學(xué)也是有著密切的天然聯(lián)系,因此這種天然的密切聯(lián)系應(yīng)該繼續(xù)的保持下去.而且數(shù)學(xué)與哲學(xué)的研究對象都是抽象的觀念之物,二者在人類歷史的發(fā)展中也有著十分密切的聯(lián)系.數(shù)學(xué)需要反思、質(zhì)疑和批判的精神,而哲學(xué)就具有反思、質(zhì)疑和批判的精神.哲學(xué)與數(shù)學(xué)的交集主要在于數(shù)學(xué)哲學(xué),數(shù)學(xué)哲學(xué)有一些內(nèi)容就可以作為加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系的紐帶寫入中小學(xué)數(shù)學(xué)教材.這就要求我們把數(shù)學(xué)哲學(xué)的部分內(nèi)容經(jīng)過合適妥當(dāng)?shù)姆绞揭浦驳街行W(xué)數(shù)學(xué)課本或高中哲學(xué)課本中去,充分發(fā)揮1+1＞2的作用,這對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和思辨能力具有積極的意義與影響.本文雖然強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)教育要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,是從數(shù)學(xué)教育的視角,其實(shí)也可以從哲學(xué)的視角來分析問題,但是分析的結(jié)果也是強(qiáng)調(diào)需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系,也就是說哲學(xué)教育也需要加強(qiáng)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.一些哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家,至少與數(shù)學(xué)與千絲萬縷的聯(lián)系,前文講過了一些哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家的例子,在這里不再重述,需要講的是即使不是數(shù)學(xué)家的哲學(xué)家,他們在數(shù)學(xué)上的造詣還是很深的,例如現(xiàn)象學(xué)的創(chuàng)始人德國哲學(xué)家胡塞爾是數(shù)學(xué)博士,曾經(jīng)當(dāng)過著名數(shù)學(xué)家“分析學(xué)之父”維爾斯特拉斯的助手,德國大哲學(xué)家伽達(dá)默爾都至少講授過大學(xué)的數(shù)學(xué)課[16]620.