華南師范大學數學科學學院(510631) 李崇榆

1 問題提出

祖暅原理也稱祖氏原理,是一個涉及幾何體求積且具備微積分思想的著名命題,由我國南北朝時期杰出數學家和天文學家祖沖之的兒子祖暅為推導球的體積而提出.在中學教材中,介紹了應用祖暅原理推導球的體積公式的方法,該方法不僅是構造性證明的典范,也是創(chuàng)造性思維的一個很好的載體.而球體積公式的一些教學實踐,將學生的思維固定在利用祖暅原理構造一個從底面半徑和高都為R的圓柱中,挖掉一個底面半徑和高都為R的倒圓錐得到的幾何體求半球的體積的“軌道”上,學生雖能“看懂”證明,卻不“知其所以然”.這樣的探究有活動無體驗,有經歷無感悟,達不到探究的目的,學生不能感悟到祖暅原理所蘊含的豐富的數學思想以及創(chuàng)造的樂趣,只能感受到其“冰冷的美麗”.鑒于此,筆者對球的體積部分教學進行了如下的設計.

2 利用祖暅原理推導球的體積教學設計呈現

探究(一)利用祖暅原理構造出與半球體積相等的參照幾何體(以下簡稱參照體)

問題1利用祖暅原理構造出的半球的參照體應該滿足什么條件?

預設答案:①高為R;②參照體和半球在等高處被一個平面所截得的截面的面積恒相等.

教師:很棒!第一個條件很容易滿足,怎樣滿足第二個條件呢?

預設答案:先求出半球在高h處的截面面積.

教師:如圖是一個半徑為R的半球,該怎么計算它在高h處的截面面積呢?

圖1

問題2怎樣的截面的面積為πR2?πh2?

預設師生活動:學生前后桌4人為一組,進行分組討論,合作交流;教師巡堂指導學生討論;各小組派代表分享談論結果,教師引導學生將截面進行分類.以下為預設的學生討論的截面:

圖2

圖3

圖4

圖5

教師:隨著高h的改變,截面形狀也會發(fā)生變化.我們選取同學們所設想的其中一個截面,先來看看截面隨高h的變化情況.(由學生指定某一截面進行探究,本文以長為寬為的長方形截面為例)

教師:(啟動動畫h,同時可改變觀察視角觀察截面變化)截面形狀隨h有什么變化?

預設答案:截面從正方形變成長方形再變成一條線段.

圖6

問題3我們知道“點動成線,線動成面,面動成體”,隨著高h的改變,這些截面會構造出什么樣的參照體呢?

預設教師活動:教師啟動動畫h,并改變觀察視角;學生前后桌四人為一組進行觀察,合作交流,教師要引導學生進行合理猜想.

預設答案1:從動畫看,截面的四個頂點像是在做直線運動,形成四條線段運動形成四個平面,連接底面正方形和高R處線段的頂點的話,我猜會是一個多面體.

預設答案2:我也覺得參照體的各個面都是平面.比如,一個h就對應一個長如果分別這兩個量看成自變量和因變量,同時h∈[0,R],那么畫出的函數圖像就是一條選段,這條線段運動的軌跡就是一個平面.

教師:很棒,同學們進行了合理的猜想.那這個參照體是否和大家的預想一樣呢?我們利用GeoGebra跟蹤這個截面的軌跡來驗證一下我們的猜想.

圖7

教師:這個參照體和我們同學的猜想是一致的!我們構造出了一個和半球體積相等的多面體!

探究(二)利用構造出的參照體的體積求球的體積

問題4能不能求出該參照體的體積?

預設學生活動:學生分組討論,交流分享.

教師:通過割補,我們將這個多面體看成是棱柱和棱錐的簡單組合體,就可以利用學過的棱柱和棱錐的體積公式計算它的體積,這體現了轉化與化歸的思想!

問題5球的體積是多少?

預設教師活動:根據課堂時間,教師選擇繼續(xù)引導學生猜想并驗證或是直接呈現由學生所設想的截面所構造出的參照體.

圖8

探究(三)課后拓展題

圖9

圖10

3 教學思考

(1)開展有效的數學探究,提升學生的核心素養(yǎng)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱課標)指出:“數學建?；顒优c數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養(yǎng)的載體.”[2]本文不局限于構造一個從底面半徑和高都為R的圓柱中挖掉一個底面半徑和高都為R的倒圓錐得到的幾何體求半球的體積的思路,而是基于學生現有的知識,設計開放性問題“怎樣的截面的面積會為πR2?πh2”展開探究活動,在教師的引導獨立思考,合作探究,經歷“猜想—驗證”的過程,實現自身的“再創(chuàng)造”,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探究能力,感受祖暅原理構造幾何體的巧妙性,積累求其他復雜幾何體體積的數學活動經驗,提升學生邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).

(2)突出GeoGebra和數學課程融合

課標指出:“運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質建立空間觀念.”[2]雖然學生具備一定的邏輯推理和空間想象能力,但是由于學生沒有系統(tǒng)地學習空間點、直線、平面的位置關系,難以構造參照體和求參照體的體積,很有可能產生畏難情緒,使得探究流于形式.因此,本文一方面利用GeoGebra展現截面隨高度h的改變而改變的生動的動畫,啟發(fā)學生進行猜想,降低抽象程度;另一方面,供學生觀察操作確認參照體的性質以求體積,支持學生在“最近發(fā)展區(qū)”進行合作探索.盡管GeoGebra的功能非常強大,但在學生的空間觀念得以發(fā)展后,應減少GeoGebra的使用,避免學生對信息技術產生依賴,阻礙空間想象能力的進一步發(fā)展.