萬濤 趙齊猛

【摘 要】 開展“綜合與實踐”活動是發(fā)展學生知識應用、實踐能力和創(chuàng)新意識的重要手段，是學生積累數學活動經驗，系統(tǒng)化、整體化和結構化地理解數學知識的重要方式，是實現立德樹人、提升學科育人水平的重要途徑．學生在“測量旗桿的高度”綜合與實踐活動中思考“如果”，體驗“真果”，表達“成果”，經歷觀察與操作、思考與推理、表達與解釋;教師通過教學方式的改變、活動方法的改進、體驗模式的建構達到學科育人的目的．

【關鍵詞】 立德樹人；綜合與實踐;體驗；學科育人

1 現狀分析

“綜合與實踐”活動的教學一直是初中數學教學中的薄弱點.究其原因，第一是準備時間不充足．“綜合與實踐”活動的開展需要課前縝密構思，有時需要幾天甚至更長的時間去準備，需要團隊合作才能開展，有時還需要跨學科知識才能解決問題，教師在有限的教學時間內，很難給學生充足的時間去準備；第二是教學效果不明顯．受初中學業(yè)水平考試評價的影響，很多教師認為“綜合與實踐”活動就是帶學生去玩，一節(jié)課就能上完的內容，非要讓學生花大量時間去操作，不但效果不明顯，還會感覺到“綜合與實踐”活動不像數學課的樣子，而且學生要升學，與其開展“綜合與實踐”活動，不如多復習一些知識點，多探索一些題型，從而導致“綜合與實踐”活動很難真正地開展和落實；第三是教學方式不改善．很多教師的教學方式沒有改善，認為數學課帶學生到操場上去，會影響其他班級的學生上課，不好管理等等．出于種種考慮，很多教師便沒有給學生真正體驗的機會，教師在教室進行“紙上談兵”，學生只能被動地接受，參與和展示機會很少，學生操作和實踐的機會也很少，長期下去，數學學科就達不到育人的效果．

2 備課思考

本節(jié)課是針對九年級下學期的學生開設的一節(jié)“綜合與實踐”活動，學生剛學完相似和銳角三角函數的有關知識.這學期學生也面臨著初中學業(yè)水平考試和升學，如何在這樣有限的時間開展“測量旗桿的高度”這節(jié)課，需要教師提前做好充分的準備.筆者課前給學生思考測量方案、準備測量工具和填寫測量方案的時間為3天．

這節(jié)課可以作為一節(jié)中考復習課或者章節(jié)整合課來上．因為測量旗桿的高度，可以用很多數學的知識來解決，比如：全等、勾股定理、相似、三角函數等等.如何對這節(jié)課進行合理架構，讓學生去深入思考，教師在備課時如果直接讓學生分好組，然后進行測量，結果必然達不到預期的效果.筆者在分組后，并沒有急于讓學生去測量并匯總小組上交的測量方案，而是在每組成員有了初步的測量方案的情況下，通過改變測量工具或者測量條件，設置幾個“如果”，讓學生深入思考和體驗，然后通過操作體驗得到“真果”，最后讓每組成員表達“成果”，達到“綜合與實踐”活動所預期的效果．

數學學科育人需要教師思考并挖掘每節(jié)課或者每個單元的育人價值，把育人目標不斷積累和發(fā)展起來，不斷發(fā)展學生的“三會”，不斷增長學生的“四基”，不斷培養(yǎng)學生的“四能”，教師要逐漸改善教學方式，關注學生的知識應用、實踐能力和創(chuàng)新意識，以及學生對事物的觀察與分析、思考與體驗、表達與解釋．數學課要教會學生如何思考、體驗和表達，培養(yǎng)“愛思考、重體驗和善表達”的學生［1］．

3 具體做法

為了能在上課前給足學生準備和思考的時間，提前三天對全班同學進行分組，每個組安排組長負責制，確?；顒影察o有序；然后由組長召集組員，利用課間時間商討方案，根據方案準備測量所需要的工具；每組商討好，填寫實驗方案（如表1所示）并上交，根據每組交上來的方案，進行活動設計．

3.1 思考“如果”

方案1 借助“繩子”來求旗桿的高度.

已有方案：把繩子松開（如圖1），系在旗桿頂端的繩子會沿著旗桿垂到地面，從繩子接觸地面的C處（如圖2）開始慢慢拉動繩子把紅旗降下來，采用把線段BC的長度分成幾小段來測量的方法，然后把每小段的長度加起來，得到的總長度就是旗桿的高度．

思考：如果不通過拉動繩子，保持國旗不動，能通過測量得到旗桿的高度嗎？

學生經過思考，想到了平時遇到過的題目，從中得到啟發(fā)，得到如下方案：

改進方案：把系在旗桿頂端的繩子沿著旗桿垂到地面（如圖2），并多出了一段AC，測出AC的長度，然后將繩子拉直，讓繩子的底端剛好接觸到地面（如圖3），測出繩子底端與旗桿底部的距離DC，由勾股定理BC2+DC2=DB2，得到BC2+DC2=（BC+AC）2，即旗桿的高度BC=DC2-AC22AC.

方案2 借助“太陽光”來求旗桿的高度.

已有方案：如圖4，同時測量旗桿的影長AC和一名學生的影長AE，然后測量這個學生的身高DE，利用相似來求旗桿BC的高度．

思考：如果陰天或者雨天，沒有太陽光，或者太陽光落在了草叢里，或者旗桿的影子被旁邊一棵大樹的影子擋住了，該如何測量得到旗桿的高度呢？

學生經過思考，把太陽光換成了激光筆或者手電筒發(fā)出的光，得到如下方案：

改進方案：如圖5，把激光筆或者手電筒放在地面上A處，打開光，慢慢移動角度，使得發(fā)出的光線正好到達B處，然后一學生從C處沿著CA的方向慢慢走，恰好頭部擋住光線后停止，測出AC，AE和DE的長度，由△AED∽△ACB，得到AEAC=DEBC，即旗桿的高度BC=AC·DEAE．

方案3 借助“標桿”來求旗桿的高度.

已有方案：如圖6，一學生手中拿著短的標桿DE，保持胳膊EF水平，標桿DE垂直地面，在操場調整合適位置，通過選擇合適的位置，使得旗桿BC恰好被標桿DE擋住，然后測量出標桿DE、胳膊EF、學生到旗桿的距離GC的長，根據平行線截線段成比例，由DE∥BC，FE∥GC得到DEBC＝AEAC＝FEGC，即旗桿的高度BC=GC·DEFE．

思考：如果標桿很長，找不到旗桿BC恰好被標桿DE擋住的位置，又該如何測量呢？

學生經過思考，采用把長標桿固定在操場上的某一處，讓長標桿與地面垂直，通過一位學生的位置調整，得到如下方案：

改進方案：如圖7，把標桿EG垂直地面固定不動，然后一學生通過移動位置來確定眼睛A、標桿頂端E和旗桿頂端B恰好在同一條直線上，然后測量這位學生的眼睛與地面的高度AM、標桿EG的長、學生到標桿的距離MG（即AF）和學生到旗桿的距離MC（即AD），由△AFE∽△ADB，得到AFAD＝EFBD，即BD=EF·ADAF，得到旗桿的高度BC=BD+CD=EF·ADAF+AM．

方案4 借助“平面鏡”來求旗桿的高度.

已有方案：如圖8，把平面鏡水平放置在操場上，一學生慢慢靠近平面鏡（點E的位置），直到恰好觀察到旗桿頂端B在鏡中的像為止，然后測量學生的眼睛與地面的高度AD，學生到平面鏡的距離DE，旗桿底部C到平面鏡的距離CE，由△ADE∽△BCE，得到ADBC＝DECE，即旗桿BC的高度BC=CE·ADDE．

思考：如果在夜晚，使用平面鏡該怎么測量？

改進方案：一學生手持激光筆或手電筒，慢慢靠近平面鏡，直到光線通過平面鏡照射到旗桿頂端B點為止.

方案5 借助“三角尺”或“測角儀”來求旗桿的高度.

已有方案：如圖9，一個學生手持三角尺，保持直角邊AF與地面平行，當旗桿頂端（點B）恰好在直線AE上，測量學生到旗桿的水平距離GC（即AD）的長度和學生的眼睛到地面的高度AG（即CD的長度），然后利用銳角三角函數tan∠BAD＝BDAD，得出BD＝ADtan∠BAD，得到BC＝BD+CD＝ADtan∠BAD+AG．

思考：如果學生到旗桿的水平距離不可測量，利用“三角尺”或“測角儀”如何測量旗桿的高度？

改進方案：學生經過思考，采用如圖10所示的方法，學生首先在點F處，測出這個學生的眼睛到地面的高度AF，接著用“三角尺”或“測角儀”測出∠1的度數，然后沿著FC的方向，向前走到G處，測得∠2的度數和FG的長度.

在Rt△ADB中，tan∠1＝BDAD，即AD＝BDtan∠1，

在Rt△EDB中，tan∠2＝BDED，即ED＝BDtan∠2，

因為AD－ED＝AE，所以

BDtan∠1-BDtan∠2＝AE．

所以BD＝AEtan∠1tan∠2tan∠2－tan∠1，

所以BC＝BD＋CD＝AEtan∠1tan∠2tan∠2－tan∠1＋CD．

3.2 體驗“真果”

在實際測量中，學生遇到了一定的麻煩，感受到理想和現實之間的差距，體驗到現實中的困難，經過思考，克服困難，最終得到真實的測量方法和結果．

采用方案1的組員發(fā)現繩子松開后，繩子不夠長，沒有接觸到地面，學生只能采用方案1中的已有方案，把每小段測量的長度加起來，然后再加上繩子底端到地面的距離，后來有學生找來了一個長繩，接在原來繩子的底部，才轉化為圖3，利用改進方案進行測量．

采用方案2的組員發(fā)現在太陽光的照射下，旗桿的影子都落在墻上，并且還被旁邊的樹擋住了，無法測量，只能采用激光筆，按照圖5的方法進行測量．

采用方案3的組員發(fā)現標桿如論在哪，都無法按照圖6的方法做到，最后采用圖7的方法才完成測量．

采用方案4的組員剛開始發(fā)現平面鏡太小，無法準確測量，后來換了一個稍大一點的鏡子才完成測量，還發(fā)現改用激光筆進行測量，測量結果更加準確．

采用方案5的組員發(fā)現，如圖9，如果用測角儀測量，是學生不動，通過調整角的大小來完成，很容易測量，但是求正切值不太方便；如果用三角板測量，是角不動，通過不斷調整學生的位置來完成，因為是特殊角，求正切值比較方便．

當然，還有組員采用全等的方式，完成測量，測量方法很有新意，也有學生買了激光測距儀和測角儀，測量距離和角度很準確也很方便，測量工具很先進.

3.3 表達“成果”

測量結束后，每組整理數據，進行計算，每個小組把本次活動的得與失進行分析，最后每組通過表達“成果”的形式，分享本次活動的收獲．

成果展示以小組代表的形式進行，每組代表通過畫圖，推理等展示設計方案，表達本組在測量中遇到的問題和所獲得的成果，筆者對學生出色的表達給予贊揚，對方案存在的不足之處，采用組內其他成員補充說明的方式，實現自我修正．

通過小組代表對成果的表達和全班學生熱烈地討論、反思和對方案的評價，可以看出，學生對此次活動參與度非常高，對此次活動也非常重視，對此次活動的結果也非常滿意．

最后，筆者綜合全班學生的方案作出總結：

（1）把測量旗桿高度的問題轉化為數學模型，就是用數學的知識來解決實際問題.如果構造直角三角形，要求一邊，就要知道其它的兩邊長或者這三邊長的關系；如果構造全等三角形，就需要找到判定全等的三個條件；如果構造相似三角形，就需要構造相似的模型，尤其是“A”型、“X”型等基本模型．

（2）方案4用到了物理光學的知識，體現了數學和物理學科知識之間的相互滲透，也體現了跨學科知識之間的融合．

（3）本次活動是一個合作學習的過程，以活動為載體，學生通過自主探索，互相探討，合作交流的方法，得到測量方案，通過思考“如果”，經歷了“發(fā)現”與“再發(fā)現”的過程．

（4）將生活問題與所學的數學知識相結合，既讓學生對知識的應用能力得到訓練，又激發(fā)了學生學習的積極性．讓學生感悟到生活中處處用到數學，讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，讓每個學生對數學的學習產生更加濃厚的興趣．

（5）本節(jié)課在測量前，針對每組的方案，都設置了“如果”，學生在思考“如果”中不斷完善測量方案，在測量中，發(fā)現理想的方案和現實條件之間存在的差距．學生將平時所做的題目、所學的知識和本次活動相結合，體現了數學知識的學有所用，學以致用和活學活用．

4 教學思考

2022年4月，義務教育課程方案和數學課程標準［2］的頒布，很多專家對其進行了詳細解讀，目的是把立德樹人和學科育人落實到位，在深化課程改革的大背景下，教師應該如何進行數學教學，成為目前數學課堂教學亟待解決的問題．以學生為本，把促進學生健康成長和全面發(fā)展作為改革的出發(fā)點和落腳點，培養(yǎng)學生適應未來發(fā)展的正確價值觀、必備品格和關鍵能力，讓每個學生都能成為有用之才．

4.1 教學生積極思考，培養(yǎng)“愛思考”的學生

蘇霍姆林斯基曾說過：“要培養(yǎng)自己孩子的智力，那你就得教給他思考．”很多教育家和科學家都強調學生“思考”的重要性，學生只有通過“思考”才能真正理解和掌握知識．“愛思考”就是學生會用數學的思維思考現實世界，學會“想數學”，從中提升學生的數學思維水平．

本節(jié)課在學生已有的測量方案的基礎上，思考教師設置的“如果”，引領學生積極進行深層次地思考，這樣有助于發(fā)展學生的思維能力，培養(yǎng)學生勇于探索的學習品質，使學生學會用數學的思維思考現實世界［3］．

4.2 教學生自主體驗，培養(yǎng)“重體驗”的學生

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾說過：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的．因此，數學活動經驗需要學生主動去探究、去操作、去思考、去積累、去反思，這樣的過程是不能缺少的．”“重體驗”就是學生會用數學的眼光觀察現實世界，學會“做數學”，從中獲得基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗．

本節(jié)課筆者在學生測量前，讓學生先進行思考，在已有方案的基礎上，思考“如果”，得到改進方案，然后再去測量，學生親身經歷測量活動，在體驗活動中，激發(fā)學生濃厚的學習興趣，學生在體驗中去感悟、去反思，學生在活動中逐漸形成動手實踐、積極探索、合作交流的學習方式，發(fā)展學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生學會用數學的眼光觀察現實世界．

4.3 教學生學會表達，培養(yǎng)“善表達”的學生

法國作家莫里哀曾說過：“語言是賜于人類表達思想、傳遞信息的工具．”“善表達”就是學生會用數學的語言表達現實世界，學會“說數學”，從表達和交流中加深思考．

本節(jié)課，當學生測量后，學生開始表達“成果”，把自己在整個活動中對測量方案的所思所想表達出來，分享本次活動的收獲．并且表達本組在測量中遇到的問題，大家?guī)兔鉀Q．一節(jié)課可能看不出明顯的育人效果，綜合實踐活動的開展需要長期堅持下去，學生才能熟練掌握用數學的語言表達現實世界．

5 幾點希望（1）

希望通過評價來引導教學轉變，將學生經歷“綜合與實踐”活動所發(fā)展的素養(yǎng)在新的評價體系中反映出來;反之，如果沒有學業(yè)水平考試評價的改革，那么“綜合與實踐”活動就很難真正地開展和落實．（2）

希望通過中考命題改革，在考試評價中直接或間接地體現對“綜合與實踐”活動所獲得的素養(yǎng)和能力的考查［4］;通過改變傳統(tǒng)考試題型，加強對生活中應用數學的考查，更多地涉及跨學科知識有機結合；通過設置開放性問題，考查學生基于現實情境發(fā)現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力．（3）希望“綜合與實踐”活動以用數學方法解決現實問題為主，以問題解決為導向，引導學生發(fā)現解決現實問題的關鍵要素，讓學生用數學的思維分析要素之間的關系并發(fā)現規(guī)律，經歷發(fā)現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，引導學生形成模型觀念，感受數學與地理、物理等學科領域的融合，不斷積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高學生發(fā)現與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展學生知識應用、實踐能力和創(chuàng)新意識，讓數學學習通過“綜合與實踐”活動的開展真正實現學科育人的價值．

參考文獻

［1］嚴虹，游泰杰，呂傳漢．對數學教學中“教思考教體驗教表達”的認識去思考［J］．數學教育學報，2017（10）：26-30．

［2］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：5-6．

［3］嚴虹，呂傳漢，宋運明．關于核心素養(yǎng)培育的再思考［J］．教育研究與評論，2021（11）：14-16．

［4］曹一鳴，廖輝輝．《義務教育數學課程標準（2022年版）》的變化及教學啟示［J］．福建教育，2022（19）：21-24．

作者簡介 萬濤（1984—），男，安徽臨泉人，中學高級教師;南京市鼓樓區(qū)初中數學學科教學帶頭人，多次獲得南京市教育案例一等獎和鼓樓區(qū)青年教師基本功大賽一等獎;主要從事初中數學體驗教學和模式研究．

趙齊猛（1966—），男，江蘇省特級教師，中學正高級教師;獲全國中學數學教育教學論文一等獎、江蘇省教師優(yōu)質課評比、江蘇省教學基本功比賽和省論文評比一等獎;發(fā)表論文近60篇，主持多項江蘇省重點資助課題，數學體驗教學研究成果曾獲得江蘇省第五屆教育科學優(yōu)秀成果獎一等獎．