陸貝貝 張維忠

【摘 要】 基于STEAM教育理念，以我國初中不同版本數(shù)學(xué)教科書中的黃金分割為載體，整合已有分析框架，從呈現(xiàn)位置、學(xué)科來源、整合類型、問題情境與問題類型的維度分析教科書中與黃金分割相關(guān)的跨學(xué)科內(nèi)容.研究發(fā)現(xiàn)：不同版本教科書對黃金分割的編排存在差異；學(xué)科來源以工程和藝術(shù)為主；各版本教科書中缺乏“連接型”跨學(xué)科內(nèi)容；基于真實(shí)情境的跨學(xué)科內(nèi)容存在問題封閉的現(xiàn)象.建議教科書編寫在相似圖形后學(xué)習(xí)黃金分割，增加黃金分割在科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用，適當(dāng)增加“連接型”跨學(xué)科內(nèi)容，增加問題情境的真實(shí)性與問題的開放性等.

【關(guān)鍵詞】 跨學(xué)科；數(shù)學(xué)教科書；黃金分割

在課程與教學(xué)中運(yùn)用好跨學(xué)科思維是強(qiáng)化學(xué)科育人的重要途徑［1］.重視學(xué)科的交叉、融合不僅是教育發(fā)展的必然趨勢，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)代特點(diǎn).我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出“設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動(dòng)課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求”［2］.其中多次強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的重要性.課程是跨學(xué)科教育落地的核心載體，而教科書是最基本、最重要的課程資源，因此，對教科書中跨學(xué)科內(nèi)容的研究就顯得十分重要與迫切.黃金分割是一個(gè)不可窮盡、永不重復(fù)的數(shù)字：0.6180339887…這個(gè)數(shù)字自古代發(fā)現(xiàn)以來就不斷觸動(dòng)人們的好奇心.黃金分割一直被古希臘乃至于歷代偉大的建筑家、藝術(shù)家和雕塑家們所推崇，它還是人體科學(xué)的一個(gè)重要規(guī)律，在人體解剖學(xué)、生理學(xué)和中醫(yī)理論中有一系列突出表現(xiàn)，甚至在萬物生長有規(guī)律的自然界中被廣泛地發(fā)現(xiàn)［3］.可以說，黃金分割是數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)中不可多得的素材.已有研究為教科書里的跨學(xué)科內(nèi)容比較提供了研究框架［4］，但運(yùn)用內(nèi)容分析法，對國內(nèi)現(xiàn)行教科書中具體的跨學(xué)科內(nèi)容實(shí)施橫向比較的研究較少.筆者將從跨學(xué)科的角度對不同版本教科書中與黃金分割相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行比較研究，以期為我國數(shù)學(xué)教科書編寫者合理設(shè)置跨學(xué)科內(nèi)容及數(shù)學(xué)教師利用跨學(xué)科內(nèi)容實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)提供啟示與借鑒.

1 研究對象與研究框架

1.1 研究對象

以人教版、北師大版、蘇教版、浙教版和滬教版初中數(shù)學(xué)教科書中與黃金分割有關(guān)的內(nèi)容為主要研究對象，它們?nèi)炕凇读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》編寫而成.

1.2 研究框架

從呈現(xiàn)位置、學(xué)科來源、整合類型、問題情境與問題類型這5個(gè)維度，對不同版本教科書中的跨學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行比較分析.

（1）呈現(xiàn)位置.內(nèi)容在教科書編排體系中的位置，包括內(nèi)容所在章、節(jié)及欄目（包括非正文、正文、例題、習(xí)題、專欄5種類型）

（2）學(xué)科來源.數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，我國數(shù)學(xué)教科書滲透著數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，故借鑒STEAM教育框架——ST∑@M金字塔.

（3）整合類型.類型維度借鑒羅賓·福格蒂（Robin Fogarty）［5］提出的跨學(xué)科整合類型，包括并列型、共享型、蜘蛛網(wǎng)型、連接型和統(tǒng)合型.澳大利亞教科書中沒有統(tǒng)合型的跨學(xué)科內(nèi)容，因此在分析我國初中教科書時(shí)將它刪去，并添加“無跨學(xué)科”一欄來統(tǒng)計(jì)黃金分割的跨學(xué)科占比.

（4）情境類型與問題類型.根據(jù)STEAM教育基于真實(shí)情境的問題解決且鼓勵(lì)答案多樣化的特點(diǎn)，將跨學(xué)科內(nèi)容的情境類型分為真實(shí)情境與非真實(shí)情境，將跨學(xué)科內(nèi)容的問題類型分為封閉、結(jié)果開放和問題開放［6］.

2 研究結(jié)果與分析

2.1 呈現(xiàn)位置

由表1知黃金分割是九年級學(xué)習(xí)的內(nèi)容，除人教版在“一元二次方程”章的“解一元二次方程”一節(jié)的“閱讀與思考”專欄用方程思想將人體雕塑問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程的根，從而引出黃金分割的概念，其余4版教科書均是在“相似圖形”的章節(jié)中學(xué)習(xí).其中北師大版、蘇教版和浙教版是在“正文”中安排了相應(yīng)的內(nèi)容，滬教版在“閱讀與欣賞”專欄介紹黃金分割的作圖、黃金矩形、黃金三角形等數(shù)學(xué)知識，并拓展了黃金分割在建筑、藝術(shù)、自然界中的應(yīng)用.

2.2 學(xué)科來源

由表2可知，黃金分割涉及科學(xué)、技術(shù)、工程與藝術(shù)中的每一個(gè)領(lǐng)域.在科學(xué)領(lǐng)域，人教版介紹了一棵樹的生長過程中，n年后的樹枝數(shù)目與n+1年后的樹枝數(shù)目之比約是黃金數(shù)；浙教版呈現(xiàn)了蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比接近黃金分割比及植物莖上相鄰兩片葉子成137°28′的角，會(huì)使植物通風(fēng)和采光效果最佳的生物知識；滬教版指出古希臘人認(rèn)為一個(gè)人有完美的體形是因?yàn)樯眢w的很多部位都符合黃金分割的緣故.在技術(shù)領(lǐng)域，僅浙教版中呈現(xiàn)：一本書的寬與長之比為黃金比，已知它的寬為14cm，問它的長為多少厘米？在工程領(lǐng)域，古希臘時(shí)期的巴臺農(nóng)神廟的設(shè)計(jì)、上海東方明珠電視塔的設(shè)計(jì)及建筑物中窗戶的設(shè)計(jì)都與黃金分割有關(guān).藝術(shù)領(lǐng)域中與跨學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的內(nèi)容占比最多，在音樂、雕塑、繪畫、歷史等方面都有呈現(xiàn)：達(dá)·芬奇的名畫《蒙娜麗莎》、雕像中的黃金比、用黃金比構(gòu)思音樂作品及介紹歷史上數(shù)學(xué)家華羅庚對“選優(yōu)法”的重要貢獻(xiàn)等.

2.3 整合類型

將黃金分割與其他學(xué)科的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)、融合程度與方式進(jìn)行分類，并列型即在其他學(xué)科中存在黃金分割的概念及運(yùn)算；共享型即通過其他學(xué)科可以進(jìn)一步加深對黃金分割的理解；蜘蛛網(wǎng)型即從兩門以上的學(xué)科同時(shí)展現(xiàn)黃金分割的主題；連接型即綜合運(yùn)用與黃金分割有關(guān)的知識，解決真實(shí)的問題.

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表3.黃金分割中涉及跨學(xué)科內(nèi)容占比較大，以“并列型”和“共享型”為主，無“連接型”.

2.3.1 無跨學(xué)科

無跨學(xué)科的數(shù)量多少與黃金分割的欄目是否出現(xiàn)在正文有關(guān)，人教版和滬教版在非正文介紹其他學(xué)科中的黃金分割，很少有純數(shù)學(xué)問題.而北師大版、蘇教版和浙教版都有大量純數(shù)學(xué)問題，如一元二次方程x2+x-1=0的求解、線段與幾何圖形（黃金三角形、黃金矩形、五角星）中黃金分割的計(jì)算、尺規(guī)作圖畫黃金分割點(diǎn)等.

2.3.2 并列型

并列型在5版數(shù)學(xué)教科書中的使用率最高，這符合教科書的基本特點(diǎn)，它能保證數(shù)學(xué)教科書的常規(guī)性.5版教科書中都含有并列型的跨學(xué)科內(nèi)容，展現(xiàn)了黃金分割的廣泛應(yīng)用性和歷史悠久性，它存在于音樂作品、日常建筑、生物結(jié)構(gòu)……但并列型的跨學(xué)科內(nèi)容僅以背景的形式呈現(xiàn)，拋開這層外殼并不會(huì)對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響.以蘇教版“某建筑師設(shè)計(jì)的窗戶為矩形，如果它的一邊長3.24m，那么當(dāng)它的鄰邊為多少時(shí)，這個(gè)矩形為黃金矩形？”的習(xí)題為例，若去除建筑設(shè)計(jì)的背景無實(shí)質(zhì)性影響，故并列型的跨學(xué)科內(nèi)容對學(xué)生的影響是較小的.

2.3.3 共享型

除蘇教版外，其余教科書中都有共享型的跨學(xué)科內(nèi)容.共享型可以促進(jìn)學(xué)生思維模式的創(chuàng)新，為學(xué)生提供進(jìn)一步理解黃金分割的機(jī)會(huì).人們會(huì)覺得一個(gè)矩形如果切掉一個(gè)正方形后，剩下的小矩形與原來的矩形相似時(shí)看起來較美觀.在達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》中（圖1），臉部被圍在矩形中，而五官落在一個(gè)正方形中.藝術(shù)與數(shù)學(xué)共享了“黃金矩形”的思想，學(xué)生從其他學(xué)科中感受到了黃金分割的美.

2.3.4 蜘蛛網(wǎng)型

蜘蛛網(wǎng)型涉及兩個(gè)以上的學(xué)科，蘇教版以上海東方明珠電視塔的設(shè)計(jì)、芭蕾舞演員身體的比例和“最喜歡的矩形”的調(diào)查活動(dòng)為跨學(xué)科背景，通過度量和計(jì)算發(fā)現(xiàn)黃金分割，提供了查看整體內(nèi)容的廣闊視角，使用主題來提取“黃金分割”的概念.浙教版中雖然有2處蜘蛛網(wǎng)型的跨學(xué)科內(nèi)容，但存在相同跨學(xué)科背景重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象.教科書中關(guān)于蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比為0.618的例子共出現(xiàn)3次.單一的背景雖有利于知識點(diǎn)的鞏固，但學(xué)生難以多角度認(rèn)識到黃金分割的價(jià)值與意義.

2.3.5 連接型

連接型是對跨學(xué)科內(nèi)容的高水平運(yùn)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的綜合能力，但5版教科書的黃金分割中均沒有該類型的跨學(xué)科內(nèi)容.這與初中階段對黃金分割的學(xué)習(xí)目標(biāo)有關(guān)，學(xué)生僅需認(rèn)識黃金分割與實(shí)際生活存在密切聯(lián)系，感受黃金分割的文化價(jià)值.但黃金分割是跨學(xué)科領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它是“代數(shù)”與“幾何”的紐帶.因此教科書中有必要設(shè)置相應(yīng)的連接型跨學(xué)科內(nèi)容，讓學(xué)生不僅能從數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，而且可以在數(shù)學(xué)推理中思考現(xiàn)實(shí)世界并建立數(shù)學(xué)模型表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

2.4 情境類型與問題類型

各版教科書中與黃金分割相關(guān)的跨學(xué)科內(nèi)容大多是基于真實(shí)情境，卻存在雖情境真實(shí)但應(yīng)用性低的問題.如在建筑中的上海東方明珠電視塔、巴臺農(nóng)神廟、藝術(shù)中的作品、數(shù)學(xué)家的歷史、生物中的蝴蝶與植物中的葉莖都提供了真實(shí)情境，但它們大多以并列型和共享型出現(xiàn)且問題類型封閉，這難以培養(yǎng)學(xué)生分析與解決實(shí)際問題的能力.

3 教科書修訂與教學(xué)建議

3.1 教科書修訂建議

教科書要選取數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的良好素材，合理設(shè)置跨學(xué)科內(nèi)容.筆者將從呈現(xiàn)位置、學(xué)科來源、整合類型、問題情境和問題類型的維度為教科書中黃金分割內(nèi)容的編寫提供建議.

3.1.1 呈現(xiàn)位置

黃金分割是九年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容，適宜安排在實(shí)數(shù)、分式、二次根式、一元二次方程、圖形的全等與相似等基礎(chǔ)知識后.從數(shù)學(xué)史看，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是在研究正五角星的作圖過程中發(fā)現(xiàn)的這個(gè)特殊比值，若在相似及其性質(zhì)之前學(xué)習(xí)黃金分割，學(xué)生無法感受黃金分割的來源［7］.

黃金分割是進(jìn)行數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的重要素材，若僅在專欄部分介紹黃金分割在其他學(xué)科中的呈現(xiàn)，難以對黃金分割有更進(jìn)一步的認(rèn)識，因此從數(shù)學(xué)角度探究黃金分割是有必要的.從數(shù)形結(jié)合的角度發(fā)現(xiàn)，幾何中黃金矩形以較短邊為邊長做正方形，可以無限得到更小的黃金矩形；而在代數(shù)中，根據(jù)一元二次方程x2+x-1=0發(fā)現(xiàn)x= 1-x= 1- 1-x= 1- 1- 1-x= 1- 1-… 1-x.同時(shí)黃金分割也可以和斐波那契數(shù)列結(jié)合，黃金分割的無限性為它在數(shù)學(xué)上帶來了巨大的探究價(jià)值.

青島版教科書在九年級將“黃金分割與五角星”作為綜合與實(shí)踐活動(dòng)，綜合運(yùn)用幾何與代數(shù)的知識，從數(shù)學(xué)的角度體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，通過活動(dòng)加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識，感悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，提高邏輯推理、問題解決的能力，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力.

3.1.2 學(xué)科來源

增加黃金分割在科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的跨學(xué)科內(nèi)容，這不僅可以幫助學(xué)生從多學(xué)科更全面地認(rèn)識黃金分割，而且可以改善同一學(xué)科情境反復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象.事實(shí)上，科學(xué)可以幫助人們認(rèn)識世界的規(guī)律；工程與技術(shù)可以幫助人們根據(jù)社會(huì)需求改造世界；藝術(shù)可以幫助人們以美好的形式豐富世界；數(shù)學(xué)則為人們發(fā)展和應(yīng)用科學(xué)、工程、藝術(shù)和技術(shù)提供思維方法和分析工具.學(xué)生對黃金分割的認(rèn)識與跨學(xué)科內(nèi)容學(xué)科來源廣度有關(guān).蘇教版教科書僅從工程與藝術(shù)的角度介紹黃金分割，這造成學(xué)生對黃金分割的認(rèn)識僅是兩線段比為0.618，且工程和藝術(shù)中的黃金分割都是人類創(chuàng)造的，學(xué)生難以產(chǎn)生共鳴承認(rèn)黃金分割的美.若從科學(xué)角度介紹花瓣數(shù)目、向日葵的排列，甚至人臉比例中的黃金分割，學(xué)生就自然感受到黃金分割在生物中體現(xiàn)出的自然美與和諧美.

3.1.3 整合類型

適當(dāng)增加連接型的跨學(xué)科內(nèi)容.無連接型跨學(xué)科內(nèi)容會(huì)導(dǎo)致學(xué)生雖能在學(xué)習(xí)過程中感受到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科有聯(lián)系，但難以在其他學(xué)科中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題.人教版中“一棵樹的生長過程中，n年后的樹枝數(shù)目與n+1年后的樹枝數(shù)目之比約是黃金分割數(shù)”的背景，可從“共享型”拓展為一個(gè)“連接型”探究活動(dòng)：給出前幾年的樹枝數(shù)目1，1，2，3，5，8，13，21，…學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列，介紹“兔子”問題.斐波那契數(shù)列不僅可以解釋生命中的黃金分割，還可以構(gòu)造藝術(shù)和建筑中所用的黃金矩形（如圖2）.斐波那契數(shù)列為黃金分割在不同學(xué)科中的應(yīng)用提供了腳手架.

3.1.4 問題情境與問題類型

加強(qiáng)問題情境的真實(shí)性.在科學(xué)領(lǐng)域提供真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行探究，在技術(shù)領(lǐng)域可以結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件對黃金分割的無限性進(jìn)行探究，在工程與藝術(shù)領(lǐng)域，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用黃金分割的知識進(jìn)行創(chuàng)作與設(shè)計(jì).讓學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的聯(lián)系與規(guī)律，用跨學(xué)科思維解決實(shí)際問題.

增加問題的開放性.STEAM教育鼓勵(lì)答案多樣化，封閉的過程與答案不利于學(xué)生拓寬思維，多版教科書都呈現(xiàn)了在線段中作黃金分割的方法：如圖3，設(shè)AB是已知線段，過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12AB；連接DA，在DA上截取DE=DB；在BA上截取AC=AE.點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的構(gòu)造方法遠(yuǎn)不止這一種，僅給出這一種方法不僅限制住學(xué)生的思考，也讓過程開放的黃金分割構(gòu)造問題變得封閉.

3.2 教學(xué)建議

教師作為教科書教學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐者，要樹立正確的STEAM教育理念，根據(jù)跨學(xué)科內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識的整合程度，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，在課堂中滲透跨學(xué)科觀念.黃金分割可以是一節(jié)簡單的、放在相似圖形章節(jié)中的數(shù)學(xué)課，也可以是一節(jié)與科學(xué)、技術(shù)、工程和藝術(shù)融合的、能跨學(xué)科解釋黃金分割為什么美的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng).同時(shí)要把握好跨學(xué)科的“界”，不是任何知識都要跨學(xué)科，數(shù)學(xué)教育中的跨學(xué)科終究是為了幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué).

教師要學(xué)會(huì)比較不同版本教科書橫向的差異，理解不同版本教科書的設(shè)計(jì)意圖.人教版將黃金分割放在一元二次方程章節(jié)介紹，對黃金分割的探究不夠深入；北師大版從五角星的線段比例開始探究，符合歷史相似性原理；蘇教版僅從工程與藝術(shù)的角度探究黃金分割，對黃金分割的認(rèn)識僅停留在線段比例是0.618；浙教版中存在跨學(xué)科內(nèi)容重復(fù)的現(xiàn)象；青島版的“黃金分割與五角星”板塊有豐富的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，但跨學(xué)科內(nèi)容與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是分離的.教師要運(yùn)用自己對課程和教科書的判斷力進(jìn)行教學(xué)決策，以便更好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

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［7］章飛.教材理解的幾個(gè)視角——從黃金分割的教材調(diào)整談開去［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（04）：27-29.

作者簡介 陸貝貝（1999—），女，浙江臺州人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，博士，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.