何 榮

(江蘇省新沂市高級(jí)中學(xué))

我們通常利用代數(shù)法解決圓錐曲線問題,這在一定程度上忽略了圓錐曲線的幾何性質(zhì).圓錐曲線問題本質(zhì)上是一類幾何問題,即使運(yùn)用代數(shù)法解答也要借助幾何條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.適當(dāng)?shù)貞?yīng)用平面幾何性質(zhì)不僅能簡(jiǎn)化運(yùn)算過程,也有助于學(xué)生深入了解圓錐曲線.本文結(jié)合例題闡述不同幾何性質(zhì)在解題過程中的運(yùn)用,加深學(xué)生對(duì)平面幾何性質(zhì)的理解.

1 三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用

三角形中位線是三角形中較為特殊的一條線段,其包含了一些對(duì)應(yīng)關(guān)系,合理地運(yùn)用這些對(duì)應(yīng)關(guān)系能夠幫助解答圓錐曲線相關(guān)問題.

圖1

運(yùn)用三角形的中位線性質(zhì)可以巧妙地解答圓錐曲線與三角形中位線相關(guān)問題,學(xué)生應(yīng)熟練和把握中位線的幾何意義與關(guān)系等式,使圓錐曲線問題的解答過程更直觀、便捷.

2 三角形內(nèi)切圓性質(zhì)的應(yīng)用

如圖2 所 示,由 題 意 得∠AOF＝∠AOB＝45°,過M,N向x軸作垂線,垂足分別為E,H.

圖2

圖3

當(dāng)圓錐曲線問題涉及角平分線或內(nèi)切圓的相關(guān)條件時(shí),可巧妙地運(yùn)用三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)進(jìn)行解答,簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.

3 相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用

當(dāng)圓錐曲線問題中涉及相等角或等比例線段時(shí),可以考慮運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

(2)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,直線PB交x軸于點(diǎn)N,則y軸上是否存在點(diǎn)Q,使∠OQM＝∠ONQ? 若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.

圖4

運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解題能減少計(jì)算量,但需要注意一些細(xì)節(jié).若問題中只存在一個(gè)三角形,則可以通過延長(zhǎng)、分割的形式構(gòu)造與之相似的三角形.

通過以上例題不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用三角形中位線定理、內(nèi)切圓性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)解題,能在一定程度上減少計(jì)算量,使解答過程更加簡(jiǎn)捷.平面幾何的一些性質(zhì)、定理以及常見重要結(jié)論的應(yīng)用在圓錐曲線問題的解答過程中起著重要的作用.運(yùn)用平面幾何性質(zhì)解題時(shí),需要根據(jù)條件靈活構(gòu)造幾何圖形,這也是重點(diǎn)內(nèi)容,需要學(xué)生加以重視.