李 波

(四川省南充高級中學(xué))

2022年高考數(shù)學(xué)試題落實(shí)了立德樹人的根本任務(wù),促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展,試題以?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020 年修訂)?為指導(dǎo),助力“雙減”政策,穩(wěn)中求新,全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),強(qiáng)化基礎(chǔ)性、應(yīng)用性,堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重,突出關(guān)鍵能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,強(qiáng)化思想方法的滲透,考查學(xué)生的關(guān)鍵能力,發(fā)揮高校的選拔功能.如2022年全國乙卷理科第20題(文科第21題)考查了直線、橢圓、向量、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、圖像變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、數(shù)列等知識,要求學(xué)生能夠篩選出有效的題干信息,抓住問題本質(zhì),并利用有限的時間,選擇較優(yōu)的方法進(jìn)行正確地運(yùn)算,突出了對學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的深入考查.本文對這道題進(jìn)行多解探究與分析.

1 試題展示

(1)求E的方程;

圖1

分析 第(1)問主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和分類討論的數(shù)學(xué)思想.通過深入分析第(2)問,不難發(fā)現(xiàn)其主要考查了直線方程的幾種形式、直線與橢圓的位置關(guān)系、三點(diǎn)共線在向量中的坐標(biāo)運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本運(yùn)算(公式)、圖像的平移和伸縮變換、利用直線與橢圓的極坐標(biāo)和參數(shù)方程解決解析幾何綜合問題、等差數(shù)列等知識;考查了特殊到一般、換元、設(shè)而不求等基本方法,以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,入口易、口徑寬、深入緩、出口難;突出對獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)表達(dá)等關(guān)鍵能力的考查;重視概念,回歸教材,對知識的考查由記憶走向理解,由結(jié)果走向過程,由雙基走向核心素養(yǎng),以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的功能價值和學(xué)科特點(diǎn).

2 解法賞析

綜上,直線HN過定點(diǎn)(0,－2).

解法3 當(dāng)直線MN的斜率為0 時,A,M,T,H,N五個點(diǎn)重合,直線HN過點(diǎn)(0,－2).

圖2

當(dāng)直線MN的斜率為0 時,A,M,N,P四 點(diǎn) 重合,直線HN過點(diǎn)(0,0).

綜上,在原坐標(biāo)系下,直線HN過定點(diǎn)(0,－2).

3 解后反思

3.1 通性通法的考查有活度

解題過程中不難發(fā)現(xiàn),試題求解方法具有多樣性,求解時常需要學(xué)生借助相關(guān)數(shù)學(xué)知識或方法建立數(shù)學(xué)模型,檢測了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用水平,尤其在解法優(yōu)劣的評估方面,進(jìn)而在落實(shí)高考數(shù)學(xué)對創(chuàng)新性考查的同時,考查學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用水平.

3.2 傳承創(chuàng)新的延續(xù)有溫度

證明 當(dāng)直線MN的斜率不存在時,證明過程同

解法1,得出直線HN過點(diǎn)A(0,－b).

通過伸縮變換,將“橢圓”變成“圓”,上述結(jié)論仍然成立,體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一美和內(nèi)在美.細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn),2022年高考全國乙卷理科第20題的題目中,直線PA,PB與橢圓E相切,由此,得出推廣5和推廣6.

推廣5 已知圓O:x2＋y2＝r2(r＞0),點(diǎn)P(λ,μ)在圓外,過點(diǎn)P的直線l交圓O于M,N兩點(diǎn),直線PA,PB與圓O相切于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)M分別作直線NA,NB的平行線交NB,NA于點(diǎn)F,E,交直線AB于T2,T1,則T1,T2分別是ME,MF的中點(diǎn).

4 小結(jié)

多解探究既能促進(jìn)教師專業(yè)快速成長,又可以提升學(xué)生的解題能力和對章節(jié)知識的整合水平,促使學(xué)生對試題進(jìn)行深入探究、挖掘試題的深層背景、理解試題的命題立意、把控試題的命題趨勢,提升復(fù)習(xí)的針對性和實(shí)效性.