焦 岑，孫唯唯，聶家升

（蘇州大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215325）

概率統(tǒng)計是學(xué)生在中小學(xué)階段就已經(jīng)接觸過的內(nèi)容，其中的事件之間的關(guān)系與運算、古典概型、事件的獨立性、二項分布、正態(tài)分布、數(shù)學(xué)期望、方差、列聯(lián)表檢驗等知識學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課之前已略知一二，這就使得學(xué)生在初始學(xué)習(xí)階段，很容易對這門課的重要知識點掉以輕心，從而導(dǎo)致其在后續(xù)的其他知識點的學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)成績一落千丈，學(xué)習(xí)效果一塌糊涂。

1 隨機事件的概念

概率統(tǒng)計第一節(jié)的知識點是隨機事件，隨機事件的定義非常簡單——樣本空間的子集，而樣本空間表示的是隨機試驗的所有可能結(jié)果，在概率統(tǒng)計里學(xué)生接觸的大多數(shù)試驗都屬于隨機試驗，隨機試驗的條件是：（1）試驗在相同的條件下可以重復(fù)進行，（2）試驗的所有可能結(jié)果不止一個，且在試驗前都能明確其所有可能結(jié)果，（3）試驗開始前不知道會出現(xiàn)哪種結(jié)果。我們將滿足以上三個條件的試驗稱為是隨機試驗。隨機試驗的定義非常簡單，其試驗的所有可能結(jié)果也非常容易找出來，故樣本空間是學(xué)生可以明確的，而樣本空間的子集——隨機事件，學(xué)生很容易忽略其為集合的要求，隨意地寫出樣本空間及隨機事件。

例如：拋擲三枚硬幣，正面向上記為H，反面向上記為T，寫出試驗的樣本空間和事件A={恰有一枚正面向上}。像這樣一道簡單的問題，大部分學(xué)生的答案都是

而正確的答案是

這雖然是不起眼的小細(xì)節(jié)，但也側(cè)面反映出學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度不端正，繼而對后續(xù)知識點的學(xué)習(xí)效果大打折扣。故這就需要任課教師在該課程的教學(xué)伊始，了解到學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，在授課的過程中，有的放矢地提醒以及嚴(yán)格要求學(xué)生注意該知識點，附加在布置的作業(yè)中有所體現(xiàn)，從而強化學(xué)生對該知識點的理解與掌握，規(guī)范他們的解題過程，端正他們的學(xué)習(xí)態(tài)度。

2 事件間的關(guān)系及運算

由于隨機事件貫穿整個概率統(tǒng)計課程的第一章，所以對于隨機事件的學(xué)習(xí)與講解還有其他額外需要注意的地方。在講完隨機事件的定義后，知識點來到了事件間的關(guān)系及運算。該部分內(nèi)容主要講的是事件的包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系、和事件、積事件、差事件、對立事件。

事件間的關(guān)系及運算是我們后續(xù)學(xué)習(xí)與計算隨機事件的概率的一個重要方面，所以在學(xué)完了隨機試驗、樣本空間與隨機事件這三個知識點的定義后，隨機事件與隨機事件之間的關(guān)系及運算，在多個不同的隨機事件之間如何尋求某一事件的發(fā)生就顯得極為重要。

2.1 包含關(guān)系、相等關(guān)系

在這些事件的關(guān)系及運算當(dāng)中，包含關(guān)系、相等關(guān)系是兩個較為簡單的關(guān)系，學(xué)生學(xué)起來并不復(fù)雜，記住關(guān)鍵詞就可以了。積事件呢，由于表示的是所有事件同時發(fā)生的一個事件，所以學(xué)生理解起來亦不復(fù)雜，只需要注意積事件的符號即可，不要跟和事件的符號混淆。

2.2 和事件

和事件主要是學(xué)生無法理解“至少有一個事件發(fā)生”的含義，更別提“至少有多個事件發(fā)生”的含義了。大家都明白，“至少有一個事件發(fā)生”即是在若干個事件中，發(fā)生的事件個數(shù)大于等于1即為這個事件發(fā)生了，或者說，在若干個事件中，只要有一個事件發(fā)生了，那么這個事件就發(fā)生了，這個事件本身表示的是若干個事件中的一種“或”的關(guān)系。例如，A∪B表示的是要么A發(fā)生，要么B發(fā)生，要么A、B都發(fā)生，只要有其中一種情況出現(xiàn)，那么A∪B這個事件就發(fā)生了。所以和事件 A∪B表示的是并符號左右兩端的事件至少發(fā)生一個，就可以認(rèn)定為該事件發(fā)生了。理解好了和事件，對于后續(xù)做加法公式之類的題目，也會方便很多。

更加復(fù)雜的和事件是，每一個并符號兩端又涉及多個積事件，例如等等，這又變相增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，以及教師若未做足功課前，教學(xué)過程中的困難。因此，和事件其實更準(zhǔn)確的來說應(yīng)該是若干個并符號的兩端至少有一端的情況會出現(xiàn)，即至少有并符號左右所寫出來的這些事件中的某一個事件會出現(xiàn)，而每一個寫出來的事件也很有可能是多個事件的積事件。

2.3 差事件

差事件就是一個事件發(fā)生，另一個事件不發(fā)生，類似于學(xué)生小學(xué)階段學(xué)過的減法，被減數(shù)減去減數(shù)，減數(shù)要從被減數(shù)中挖除。所以差事件也是，不發(fā)生的事件要從發(fā)生的事件中挖除。如事件A={1,2,3}，B={2,3}則A B={1}。但差事件比較復(fù)雜的地方在于其又可以表示成發(fā)生的事件與不發(fā)生的事件其逆事件的積事件，即A-B=A，這從韋恩圖中可以看出。

此外，差事件是一個事件減去另一個事件，但是前者事件和后者事件之間不一定是前大后小的，也可能前小后大。這亦跟減法運算一致，學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)減法運算時，被減數(shù)一定是大于等于減數(shù)的，但是在引入負(fù)數(shù)的概念后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)被減數(shù)可以小于減數(shù)，只不過結(jié)果是一個負(fù)數(shù)而已。但是集合與集合之間的相減則不會出現(xiàn)負(fù)集合了。集合與集合相減，一方面，從減號前面的集合里找出與減號后面集合中所相同的元素，然后兩者相消；另一方面，從減號前面的集合里找出與減號后面集合中所不同的元素，保留減號前面的集合里的不同元素下來成為結(jié)果。

例如，在下面兩個集合處于不同的關(guān)系中，集合與集合之差的結(jié)果是不同的：

由此可見：無論前者集合有多小，后者集合有多大，也不會出現(xiàn)負(fù)的情況，這是一點。其次要注意的是，差事件減去的究竟是什么呢？我們從前面的例子中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個集合之間有相同元素，最后相同元素會從結(jié)果中消失；若沒有相同元素，則保留減號前面的集合中的所有元素。所以，一個事件減去另一個事件本質(zhì)上是這個事件減去了另一個事件與自身的積事件，因為積事件中包含的就是這兩個事件中的相同元素，即A-B=B-A。這對于后續(xù)求解差事件的概率是非常重要的一個知識點，學(xué)生務(wù)必得先理解概念，否則后續(xù)的學(xué)習(xí)也將問題百出。

2.4 對立事件和互不相容關(guān)系

對立事件和互不相容關(guān)系是比較容易混淆的兩個知識點，對立事件也稱兩個事件互為逆事件，簡稱互逆；互不相容事件也稱互斥事件。在這樣的別名也有點相似的地方，學(xué)生更容易混淆兩個概念。因此，教師如何幫助學(xué)生梳理這兩個知識點的異同就顯得格外重要。我們先簡單來看一下這兩個知識點的定義，了解了定義之后，再有的放矢地想辦法幫學(xué)生區(qū)分、辨別這兩個知識點。因為在本人若干年講授概率統(tǒng)計課程的過程中，越來越意識到從定義出發(fā)的重要性，概率統(tǒng)計中基本所有的知識點都可以從定義本身去理解，去做題。定義是知識點的初衷，所以學(xué)生如若能做到將所有知識點的定義都掌握，后續(xù)的學(xué)習(xí)，也不會有太大的困難了。

那么，對立事件的數(shù)學(xué)化定義是什么呢？不妨記互為逆事件的這兩個事件為A、B。對立事件的定義是事件A、B在每一次試驗中有且僅有一個發(fā)生。這個定義可以拆分為兩方面的含義。一方面，事件A、B在每一次試驗中得有一個事件發(fā)生，要么是A，要么是B，不能再出現(xiàn)第三個事件，所以A與B構(gòu)成了整個樣本空間，用數(shù)學(xué)語言寫出來即是A∪B=S。另一方面，事件A、B在每一次試驗中只能有一個事件發(fā)生，就是說，如果A發(fā)生了，那么B一定不發(fā)生；而如果B發(fā)生了，那么A也一定不發(fā)生，而這樣的兩個A、B是什么狀態(tài)呢？就是A、B不能同時發(fā)生，而A、B不能同時發(fā)生，也就是事件的互不相容關(guān)系。因為兩個事件不能同時發(fā)生，則稱這兩個事件互不相容，這就是互不相容的定義。不妨記兩個互不相容的事件也是A和B，因為A和B不能同時發(fā)生，故使得A和B同時發(fā)生的元素不存在，用數(shù)學(xué)語言表示出來就是A∩B=。至此，對立事件的數(shù)學(xué)化定義則出現(xiàn)了：且A∩B=。而事件互不相容的數(shù)學(xué)化定義僅有一個A∩B=。故經(jīng)常放入考試中的一道題是，互不相容和互逆，兩者的關(guān)系是，充分必要？充分不必要？必要不充分？還是既不充分也不必要呢？所以學(xué)生需要從定義法去理解知識點，教師也最好從定義法去講授知識點，畢竟，某知識點的定義才是該知識點一切后續(xù)定理或者考點的開始。

其次，如何幫助學(xué)生更好地分辨這兩個概念本身呢？因為如果學(xué)生從看到文字后便對這兩個知識點產(chǎn)生了混淆，那么即使是記準(zhǔn)了每一個知識點具體的定義，最終的結(jié)果仍然是南轅北轍。關(guān)于該問題，本人一些的想法是，可以從文字本身出發(fā)，畢竟題設(shè)也是文字。那么對立、互逆、互不相容、互斥，如何辨別呢？首先，對立相對而言可能是比較容易的，因為對立就表示兩者站在對立面，兩者站在對立面的話，就是非你即我、非我即你的狀態(tài)了，有點類似于比賽中的1V1。同樣，互不相容是另一個相對比較容易理解的概念，因為互不相容就是兩者不能共存，互相不能容納下對方，也就意味著兩者不會同時發(fā)生。但該概念又與對立不同，只表示兩者之間互不相容，不代表沒有第三方的出現(xiàn)。有點類似于比賽中的1VN?；ツ婧突コ馐菍W(xué)生最容易混淆的地方了，因為這兩個詞語之間，共用了一個“互”字，僅在于互后面的那個字不同。而“逆”字，意為取其否，即為相反面，且“逆”字本身也有相反的釋義，故可以理解為對立的意思。所以，兩個事件互逆本身就是這兩個事件是對立事件的含義。另一方面呢，互斥中的斥，我們給它組詞，就是排斥，互相排斥，而排斥本身并沒有任何對立面的含義在其中，只是說排斥對方，因而不會和對方同時發(fā)生，至于會不會和其他的事件同時發(fā)生就不得而知了，至少字面意思無法窺探到。中華文化博大精深，在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)亦如是。較為容易混淆的兩個數(shù)學(xué)術(shù)語，使用語文中的組詞一法，兩者的區(qū)別或差異，高下立現(xiàn)。所以，學(xué)生在學(xué)好數(shù)學(xué)的同時，也不能丟棄漢語言文學(xué)的學(xué)習(xí)，畢竟知識點都是相互貫通的?；畹嚼蠈W(xué)到老，果真如是！

3 隨機事件的表達(dá)

隨機事件的表達(dá)也是隨機事件這個概念本身最復(fù)雜的一個知識點，準(zhǔn)確無誤地表達(dá)隨機事件，對于后續(xù)求解隨機事件的概率可以做到事半功倍的效果；而錯誤地表達(dá)隨機事件，不僅可能造成概率計算的偏差，也可能導(dǎo)致解題過程中錯失很多得分點。畢竟，有了隨機事件，我們才可以去計算隨機事件的概率，這是很多學(xué)生意識不到的地方，任課教師需要不斷點播，尤其是到了全概率公式和貝葉斯公式部分，很多學(xué)生知道概率如何計算，可由于沒有寫出隨機事件，沒有表示出每一個事件，導(dǎo)致其計算結(jié)果即使對了，也得不到幾分，因為沒有體現(xiàn)全概率公式和貝葉斯公式，沒有體現(xiàn)概率的精髓，只是將無意義的數(shù)字做加減乘除，這完全不能稱上是概率論的學(xué)習(xí)。故隨機事件的概念跟后面其他的概念相比雖然是一個比較小的知識點，教材將其放在第一節(jié)，也是因為該知識點非常簡單，但是如果任課教師在課前沒有做好充足的準(zhǔn)備，沒有對可能出現(xiàn)的情況進行一定的預(yù)判，那對于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)來說，或者對于教師后續(xù)的授課來說，都極為痛苦，也極為困難。

關(guān)于隨機事件的表達(dá)，一方面是為了后續(xù)計算概率的方便，可以自由地使用加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式等；另一方面也是課程本身的需要。既然學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了事件間的關(guān)系及運算了，那么多個事件的表示，若干個事件的發(fā)生情況都屬于該知識點的一個后續(xù)，自然也會隨之而來。

誠如上面所說，學(xué)生不僅要學(xué)會如何用數(shù)學(xué)語言表示事件，還要學(xué)會理解被表示出來的事件的含義。而顯然是，理解被表示出的事件于學(xué)生而言更加容易，而這方面的例題，在很多的教材中卻不曾體現(xiàn)。所以，任課教師在授課的過程中可以穿插理解事件含義的例題，如 A={甲來上課}，B={乙來上課}，則AB={甲、乙至少有一人來上課}，∪={甲、乙至少有一人來上課}等等。這樣學(xué)生在之后去主動地表示事件時，更易發(fā)現(xiàn)自己用數(shù)學(xué)語言表示的事件是否與事件本身的含義相同。

如此下來，第一節(jié)隨機事件的概念就差不多完全講透了。但課后習(xí)題的布置也不能馬虎，這也是考驗學(xué)生是否學(xué)明白的一個標(biāo)準(zhǔn)。任課教師可將隨機事件的表示這部分知識點的課業(yè)布置得稍多一點，一方面旁敲側(cè)擊地讓學(xué)生意識到該知識點的重要性；另一方面可以讓學(xué)生花費更長的時間去理解該知識點，消化該知識點。

隨機事件這一知識點看似簡單，實則復(fù)雜，因為該知識點不僅只涉及其本身，還會引申出后續(xù)其他知識點的學(xué)習(xí)，如若學(xué)得不夠透徹，后續(xù)的學(xué)習(xí)情況則會更加糟糕。希望各位老師多多加以重視，也希望各位同學(xué)多多加以關(guān)注。將概率統(tǒng)計課程學(xué)好，后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)也一定會增光溢彩。