柏素霞 (揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校 225003)

數(shù)學(xué)承載著人類文明中的思想和文化，數(shù)學(xué)教育作為基礎(chǔ)教育的重要組成部分，必然承擔(dān)著提升“文化自信”、落實“立德樹人”的重任．新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)在“課程理念”中提出，課程內(nèi)容選擇要“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿和數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[1]2；在“課程目標(biāo)”中提出，學(xué)生能“對數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價值，欣賞數(shù)學(xué)的美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”[1]11．因此，在新課改及“雙減”背景之下，如何利用數(shù)學(xué)文化素材構(gòu)建有血有肉、充滿人文氣息的數(shù)學(xué)課堂，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價值，培育學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力，從而實現(xiàn)學(xué)科育人目標(biāo)是值得深入研究的課題．

1 當(dāng)前數(shù)學(xué)文化進課堂的現(xiàn)狀及分析

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教育越來越重視“數(shù)學(xué)文化進課堂”的研究和實踐．然而當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理想案例并不多見，常見以下兩種誤區(qū)：一是形式上“標(biāo)簽”化，課堂中大多以閱讀材料、觀看視頻、講述故事等單一形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，數(shù)學(xué)文化元素只是課堂的簡單附加，可有可無，僅限于給課堂貼上文化“標(biāo)簽”；二是內(nèi)容上缺乏“重構(gòu)”，深度融合不夠，以數(shù)學(xué)史的介紹為主，缺少對前人偉大智慧、深邃思想的深度學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟．總而言之，就是數(shù)學(xué)文化和教學(xué)內(nèi)容“兩張皮”，數(shù)學(xué)文化入耳了，但入腦、特別是入心不夠．

汪曉勤等人根據(jù)西方學(xué)者的一些觀點，將課堂上的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分為知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個維度[2].課堂實踐中，對數(shù)學(xué)文化不同維度利用得不均衡，就導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)不能全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值．?dāng)?shù)學(xué)文化進課堂應(yīng)力求多維度呈現(xiàn)，促進數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)的深度融合．

2 數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)深度融合的一個案例

在一次“數(shù)學(xué)文化進課堂”區(qū)域教學(xué)研討活動中，筆者有幸聆聽了華東師范大學(xué)廣陵實驗初級中學(xué)賀天慧老師的“三角形的中位線”一課，令人眼前一亮，感悟頗多.現(xiàn)呈現(xiàn)此教學(xué)案例，與同行交流．

2.1 板塊一：夢回《九章》

問題1如圖1，中國漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中記載了求三角形土地面積的問題：“今有圭田廣十二步，正從二十一步，問為田幾何？”

圖1

從古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中求三角形土地面積問題引入，引導(dǎo)學(xué)生思考三角形面積公式的推導(dǎo)方法，激趣生“疑”，從而引出我國魏晉時期著名數(shù)學(xué)家劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的“出入相補”法．

問題2(播放介紹劉徽“出入相補”法的微視頻)視頻中，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

問題3視頻中的三種方法都有什么共同點？(追問)每一種方法都先在三角形上取了兩個點，這是兩個什么點(圖2)？

圖2

引導(dǎo)學(xué)生感悟“出入相補”法及其蘊含的將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形(包括矩形)去解決問題的“轉(zhuǎn)化”思想，體會古人的智慧，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史長河中前人寶貴的思維經(jīng)驗，通過追問引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到三角形兩邊中點．

2.2 板塊二：發(fā)現(xiàn)問題

問題4連結(jié)三角形兩邊中點的線段是一條特殊的線段，我們能給它起一個名稱嗎？

由數(shù)學(xué)史料中對于三角形面積公式的推導(dǎo)方法，發(fā)現(xiàn)新的研究對象——中位線，揭示課題，并給中位線下定義．

問題5三角形的中位線與中線有何區(qū)別？三角形有幾條中位線？嘗試畫一畫．

通過問題和操作及時鞏固三角形中位線的概念(圖3)．

圖3

問題6我們研究一個新的數(shù)學(xué)對象，一般都是先研究什么，再研究什么？我們可以按照一個什么路徑去研究三角形中位線？

教師調(diào)動學(xué)生過去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，形成研究一個新的數(shù)學(xué)對象的一般思路：定義→性質(zhì)→應(yīng)用，并幫助學(xué)生規(guī)劃三角形中位線的學(xué)習(xí)路徑．

2.3 板塊三：定理探究

問題7三角形的中位線具有怎樣的性質(zhì)？它與第三條邊之間有怎樣的關(guān)系？你是怎么猜想到的？

問題8通過目測和度量得到的結(jié)論有說服力嗎？

問題9如何證明你的猜想？嘗試寫出已知、求證，并尋求證明思路．

問題10你是如何想到證明思路的？可以用劉徽的“出入相補”法證明三角形中位線定理嗎？

先讓學(xué)生獨立思考，再進行小組討論，交流證明方法，最后請各組展示不同的證明思路并交流思路的來源，讓學(xué)生充分感悟劉徽“出入相補”法對證明思路的啟迪作用．最后師生共同完善證明過程，形成三角形中位線定理的文字及符號語言表達．

問題11為什么要在學(xué)習(xí)完平行四邊形后再學(xué)習(xí)三角形的中位線？

啟發(fā)學(xué)生進一步領(lǐng)悟利用旋轉(zhuǎn)變換將三角形問題“轉(zhuǎn)化”為平行四邊形來解決，滲透整體建構(gòu)的、發(fā)展的數(shù)學(xué)觀．

2.4 板塊四：新知應(yīng)用

問題12三角形中位線應(yīng)用的例題或習(xí)題(略)．

問題13在古代兩河流域，有四位兄弟幸福和睦地生活著．父親的去世打破了四兄弟平靜的生活，他們?yōu)榉指罡赣H留下的一塊三角形土地而爭論不休，誰都不肯吃虧……請你想一個分割土地的方法，讓四兄弟都能滿意．

給出古巴比倫泥板書上記錄的一個小故事，先讓學(xué)生自己嘗試不同的分割方法，再展示并比較哪一種方法最好．通過比較發(fā)現(xiàn)，用三條中位線分割的方法(圖4)既能保證土地面積相等，又能使分得的土地形狀相同，借此向?qū)W生滲透中國古代儒家思想中的中庸之道，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的人文精神．

第二階段為依賴階段，企業(yè)己建立較完整的安全條件和紀(jì)律約束，員工需要遵守安全規(guī)范要求，安全管理不只是安全管理人員的職責(zé)，其它員工也有義務(wù)參與。

圖4

2.5 板塊五：反思小結(jié)

問題14今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識？它有哪些應(yīng)用？

問題15今天在我們研究三角形中位線的過程中，你的最大感受是什么？

通過反思交流，讓學(xué)生再次感受我國古代數(shù)學(xué)家的智慧創(chuàng)造，領(lǐng)悟前人思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟迪和幫助，增強民族自豪感．

3 深度融合：數(shù)學(xué)文化進課堂的應(yīng)然要求

3.1 案例分析

M·克萊因指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要問題是動機問題．“三角形的中位線”課例從古代數(shù)學(xué)題入手，引出劉徽的“出入相補”法，讓學(xué)生自然關(guān)注到“連結(jié)三角形兩邊中點”的特殊線段，引發(fā)了學(xué)習(xí)動機，提出了新的研究課題．課中，引導(dǎo)學(xué)生從“出入相補”中直觀猜想三角形中位線的性質(zhì)，并古法今用，運用“出入相補”法對三角形中位線定理進行證明，感悟數(shù)學(xué)知識淵源，觸摸古人的光輝足跡，同時推陳出新，享受創(chuàng)造的快樂．課末，運用三角形中位線的性質(zhì)解決巴比倫泥板書上的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“社會角色”和“多元文化”功能．最后，挖掘問題中的德育因子，促進學(xué)習(xí)品質(zhì)、情感態(tài)度目標(biāo)的達成．

汪曉勤認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化內(nèi)容在課堂中的應(yīng)用，除了附加式，還有復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式等高層次的運用方式[3].僅僅附加式地運用數(shù)學(xué)文化，為了文化而文化，無形中增加課堂負(fù)擔(dān)，不能在數(shù)學(xué)文化素材和數(shù)學(xué)知識之間建立起內(nèi)在的聯(lián)系，不能幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，難以促進學(xué)生對知識的理解．本案例中，對數(shù)學(xué)文化素材的使用做到了幾種方式的有效疊加，如引用巴比倫泥板書上的問題是復(fù)制式；由《九章算術(shù)》上的問題引出三角形面積公式的推導(dǎo)，繼而揭示三角形中位線的概念是順應(yīng)式；運用劉徽的“出入相補”法證明三角形中位線定理是重構(gòu)式．教師對將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史料轉(zhuǎn)化為有價值的教學(xué)材料進行了積極的嘗試，并取得了較好的效果．

深度融合是數(shù)學(xué)文化進課堂的應(yīng)然要求，為了數(shù)學(xué)的教和學(xué)服務(wù)，數(shù)學(xué)文化才能入耳，更能入腦、入心．?dāng)?shù)學(xué)文化素材不僅是課堂的調(diào)味品，更重要的是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，提出研究課題，啟迪研究思路，具有情境載體、思想引領(lǐng)、方法示范、文化熏陶等多重教育功能．?dāng)?shù)學(xué)史料中的問題和方法也可以成為探究新課、知識應(yīng)用的理想素材．

3.2 案例啟示

(1)在數(shù)學(xué)文化中提出新的研究對象，涵育理性思維品質(zhì)

任何一個數(shù)學(xué)研究對象都不是橫空出世，都有它的源頭，都有其學(xué)習(xí)的必要性．研究數(shù)學(xué)史料，挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，是提出新的研究對象的重要途徑．《課標(biāo)2022》中指出，數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要體現(xiàn)為“三會”，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界．其中數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)包括：“能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進行數(shù)學(xué)探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實世界的意識和習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識．”[1]5因此，借鑒或重構(gòu)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，讓數(shù)學(xué)文化轉(zhuǎn)化為充滿教育意蘊的生動素材，將新知置于具體的文化情境中，為所教的數(shù)學(xué)知識提供動機和目的，引導(dǎo)學(xué)生提出新問題，研究新對象，通過數(shù)學(xué)文化“理解數(shù)學(xué)”，涵育思維，這是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的理想選擇．

如上述課例的引入課題環(huán)節(jié)，即是通過“出入相補”法的介紹將歷史意蘊悄無聲息地融入教學(xué)中，實現(xiàn)了概念的引入以及問題的探究，讓新知自然發(fā)生．

再如，南京的杭秉全老師在執(zhí)教一節(jié)“乘法公式”公開課時，課的結(jié)尾處有這樣的片段：

師：“今天我們研究了完全平方公式，你能提出一個值得繼續(xù)研究的問題嗎？”

生：“我在想，有沒有完全立方公式？”

師：“你的問題提得很好！中國南宋的楊輝，他的研究方向和你一樣，他已經(jīng)出成果了，你可以去了解一下……”

教師沒有直接說明“楊輝三角”，而用輕松詼諧的語言創(chuàng)設(shè)理性思維情境，引導(dǎo)學(xué)生以先賢為榜樣，繼完全平方公式后對整式乘法進行深入研究，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)永不滿足的學(xué)習(xí)品質(zhì)和追求新知的科學(xué)態(tài)度．

(2)在數(shù)學(xué)文化中生發(fā)性質(zhì)規(guī)律猜想，發(fā)展邏輯推理能力

數(shù)學(xué)離不開推理．合情推理用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論,演繹推理用于證明結(jié)論，兩者相輔相成，缺一不可[4]6-7很長一段時間內(nèi)，我們的教學(xué)更重視演繹推理而忽視合情推理，這不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展．《課標(biāo)2022》提出：初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)包括“推理能力”和“創(chuàng)新意識”，創(chuàng)新意識的內(nèi)涵具體指向“通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗證”[1]11．因此，發(fā)展合情推理能力，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，有利于樹立學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度．而數(shù)學(xué)文化內(nèi)容可以為形成猜想提供適切、有趣的學(xué)習(xí)情境．

如上述課例中，“出入相補”法啟發(fā)了學(xué)生對三角形中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)；再如，后續(xù)“三角形的中位線”應(yīng)用課上，可以引導(dǎo)學(xué)生通過改變原四邊形的形狀對瓦里尼翁四邊形(中點四邊形)的性質(zhì)進行猜想，并推導(dǎo)證明，同時對“瓦里尼翁四邊形”名稱的由來進行背景介紹；又如，學(xué)習(xí)了“圓”的新知后，設(shè)計學(xué)生通過畫圓繪制“萊洛三角形”的拓展活動[5]，并研究它的性質(zhì)，學(xué)生沿著先人的足跡體會發(fā)現(xiàn)的價值，體驗數(shù)學(xué)之美，同時，合情推理和演繹推理能力協(xié)同發(fā)展，既培養(yǎng)了創(chuàng)新精神，又形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S方式．

(3)在數(shù)學(xué)文化中形成問題解決策略，滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)的發(fā)展承載著學(xué)科底蘊和文化背景，尤其是數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造過程中突發(fā)的靈感、深遂的思想以及因某一問題而頓悟的心境等都是隱性的學(xué)習(xí)資源．個體理解數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過程具有相似性，前人的思想和智慧，前人在解決某個問題時曾經(jīng)出現(xiàn)的錯誤或障礙可以使學(xué)生獲得戰(zhàn)勝困難的勇氣，更重要的是獲得思想方法的啟發(fā)．

如上述課例中，引導(dǎo)學(xué)生從“出入相補”法得到性質(zhì)證明的思路；再如，在教學(xué)“相似三角形”的應(yīng)用時，學(xué)習(xí)公元前600年左右，古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯(Thales)憑借一根細(xì)繩測出了金字塔高度的方法，啟發(fā)學(xué)生探究如何測量旗桿的高度，從而實現(xiàn)智慧傳承、精神超越．

(4)在數(shù)學(xué)文化中感悟數(shù)學(xué)知識應(yīng)用，增強學(xué)以致用意識

數(shù)學(xué)發(fā)展史中流傳已久的歷史名題有著經(jīng)典性、歷史性、趣味性等特點，是數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的重要源泉.這些數(shù)學(xué)問題經(jīng)過歲月的洗禮依舊歷久彌新，對其進行再探索，除了能鞏固知識、激發(fā)興趣，還能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展的洞察力，增強對數(shù)學(xué)“社會角色”和“多元文化”內(nèi)涵的理解，改進學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)應(yīng)用意識．

如上述課例中，古代數(shù)學(xué)文獻中記載的四兄弟等分三角形田地的問題是三角形中位線的典型應(yīng)用；再如，我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“盈不足”問題，可以作為“二元一次方程組的應(yīng)用”的 學(xué)習(xí)載體，融入課堂設(shè)計；又如，教學(xué)“對頂角”時，先介紹《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”[6]，并組織學(xué)生分組進行實驗，感知“對頂角”，進而對“對頂角”進行研究，這種課堂組織不僅加強了數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的聯(lián)系，而且讓學(xué)生體會墨家躬身實踐的學(xué)習(xí)理念，體悟到數(shù)學(xué)與生活實際的關(guān)系，增強學(xué)以致用的意識．

當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)的深度融合需要數(shù)學(xué)教師有深厚的數(shù)學(xué)文化底蘊，對數(shù)學(xué)研究對象的起源、聯(lián)系、推廣、應(yīng)用等方面的歷史、文化素材有全面的了解，在教學(xué)設(shè)計時能既關(guān)注趣味性，又關(guān)注有效性、科學(xué)性和可學(xué)性，使學(xué)生在充滿文化味的課堂中體驗數(shù)學(xué)知識的探究過程，完成知識內(nèi)化、吸收的同時獲得思維的發(fā)展、品格的提升等．在教學(xué)時，如何設(shè)計更加有利于學(xué)生的學(xué)是根本，這還需要我們在將理念落實于實踐的道路上不斷探索．