李俊杰, 劉 澤，趙思澤, 黃文超, 王銘偉

(北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100044)

0 引 言

機(jī)油品質(zhì)的優(yōu)劣程度直接影響發(fā)動機(jī)的穩(wěn)定性和安全性[1]。油品檢測常用方法有介電常數(shù)法[2]、氣相色譜法[3]、近紅外光譜法[4]、顆粒法[5]等，這些方法需要進(jìn)行采樣并送到實(shí)驗(yàn)室后，使用對應(yīng)儀器進(jìn)行分析，存在依賴檢測儀器、步驟繁瑣、效率低、不夠輕量化等不足[6,7]，無法滿足航空、航天等實(shí)時性和準(zhǔn)確性要求高的應(yīng)用場合[8]。

其中，介電常數(shù)法較其他方法雖然有結(jié)構(gòu)簡單，分辨力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但該方法中電容傳感器存在動態(tài)特性差，誤差源多的缺點(diǎn)，而可計算電容在國際上作為標(biāo)定基本單位的阻抗基準(zhǔn)，其不確定度達(dá)到了10-8量級[9],由于可計算電容的容值只與其軸向的有效長度有關(guān)，因此,在結(jié)構(gòu)上只引入了單一誤差源[10]，具有較高的精度和穩(wěn)定度，根據(jù)此特點(diǎn)，電容傳感器可以小型化，從而使介電常數(shù)法輕量化。

2001年，韓國Lee R D等人采用可計算電容測量已知液體的介電常數(shù)(介電常數(shù)范圍為2～4)，并根據(jù)測量結(jié)果擬合了介電常數(shù)表達(dá)式,證明了可計算電容可以用于液體介電常數(shù)的測量[11]，但缺少相應(yīng)定量的描述，除此之外，于航、王穎等人將可計算電容用于燃料液位測量[12,13]，Rehman M等人設(shè)計出高靈敏度的線性微壓力計[14]。

本文旨在從可計算電容理論出發(fā)，建立可計算電容傳感器的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)對應(yīng)介電常數(shù)表達(dá)式，建立有限元仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證，開展機(jī)油配比實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步分析所設(shè)計傳感器的特性。

1 可計算電容介電常數(shù)傳感器設(shè)計

1.1 基本原理與結(jié)構(gòu)

機(jī)油的工作溫度在70～110 ℃之間，為了在機(jī)械接觸面之間可以形成油膜減小磨損，機(jī)油具有一定的粘稠度，針對機(jī)油的工作環(huán)境特點(diǎn)，選用耐熱高溫、表面光滑不易粘連、絕緣性能好的石英晶體管作為可計算電容的支撐材料，可計算電容介電常數(shù)傳感器橫截面如圖1所示。

圖1 可計算電容介電常數(shù)傳感器截面示意

本文設(shè)計的可計算電容介電常數(shù)傳感器基于可計算電容理論[15]，該理論指出對于截面為任意形狀的無限長柱面導(dǎo)體，用4個無限小的絕緣間隙δ1，δ2，δ3，δ4將柱面分為四部分，此時相對面1，3與2，4分別構(gòu)成的電容C1，C2，且滿足式(1)

exp(-πC1/ε0)+exp(-πC2/ε0)=1

(1)

式中ε0=8.854 187 817×10-12F/m為真空介電常數(shù)。

當(dāng)C1≈C2時，定義C1，C2的平均值Cx為計算電容的輸出值，即

(2)

式中C0=(ε0εrln 2)/π，ΔC=C1-C2,εr為電容內(nèi)介質(zhì)的相對介電常數(shù)。當(dāng)計算電容處于真空環(huán)境時C0=1.953 549 043pF/m，從式(2)可知，當(dāng)C1,C2數(shù)值相近時，可計算電容的輸出值Cx與C0的差值為二階及以上小量，意味著可計算電容的容值與其橫截面的大小無關(guān)，當(dāng)有效長度確定且足夠精確時，可計算電容的輸出有較高的穩(wěn)定性。

圖1中，D1,D2分別為石英晶體管內(nèi)徑、外徑，D3為傳感器整體的直徑；在傳感器外部包裹屏蔽層減小外界的電磁干擾。4個極板在石英晶體管表面軸向等間距放置，構(gòu)成可計算電容的基本結(jié)構(gòu)，相對的電極由一個高電位電極和一個低電位電極組成；等位環(huán)放置在傳感器上下兩端，用于減小電容的邊緣效應(yīng)，提高可計算電容介電常數(shù)傳感器的線性度和靈敏度[16]；此外，根據(jù)可計算電容與其橫截面大小無關(guān)的特性，可將該傳感器結(jié)構(gòu)小型化，方便安裝到發(fā)動機(jī)的油路系統(tǒng)中進(jìn)行檢測。

1.2 數(shù)學(xué)模型建立

由于石英晶體管有一定的厚度，所以在建模過程中必須考慮石英晶體管對傳感器輸出的影響，假設(shè)將圖1所示的可計算電容放在真空環(huán)境下，且極板上為單位電勢，建立極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程式(3)

(3)

其解為可計算電容傳感器內(nèi)的電位分布，如式(4)

dmr-m)×(amcosmθ+bmsinmθ)

(4)

根據(jù)圖1，可計算電容介電常數(shù)傳感器在徑向上可以被分成3個區(qū)域:區(qū)域1：2r

(5)

(6)

(7)

根據(jù)區(qū)域1和區(qū)域2的邊界D1處電勢相等，區(qū)域2和區(qū)域3邊界D2處電勢相等，式(7)可整理為

(8)

則電荷量密度為

(9)

當(dāng)r=R3時，對式(8)積分可得到單位長度極板上的電荷量Q，如式(10)所示

(10)

C=

(11)

進(jìn)一步化簡得式(12)

(12)

(13)

式中KR為可計算電容傳感器規(guī)格尺寸有關(guān)的修正系數(shù)，當(dāng)可計算電容傳感器規(guī)格確定后，KR為一確定常數(shù)；將相對介電常數(shù)為εr的物質(zhì)作為長度為l的計算電容的介質(zhì)時，上式可簡化為式(14)

(14)

因?yàn)殡姌O的厚度極薄，所以把R2=R3代入式(13)，則修正系數(shù)

(15)

整理式(14)得

(16)

由式(16)可知，可計算電容介電常數(shù)傳感器的容值C與其中的介質(zhì)的介電常數(shù)εr為二次函數(shù)的關(guān)系。

2 有限元仿真驗(yàn)證

使用在工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的有限元分析法對所設(shè)計的傳感器進(jìn)行建模仿真分析，建立與圖1對應(yīng)的模型。極板1上施加電壓為1 V的激勵，其余3個極板設(shè)置為0 V，在此激勵條件下求解得到傳感器的網(wǎng)格分布如圖2(a)所示，電勢等值云圖如圖2(b)所示、電場矢量分布如圖3所示。

圖2 傳感器的網(wǎng)格分布和電勢等值云圖

圖3 電位矢量圖

由圖2(a)可知，靠近激勵極板的網(wǎng)格劃分密集，遠(yuǎn)離激勵極板的網(wǎng)格劃分稀疏，說明越靠近激勵極板電場強(qiáng)度越強(qiáng)；圖2(b)中，激勵極板電勢最大為1 V，其余極板電勢為0 V，且電勢為波紋狀由最大值到最小值向其余極板擴(kuò)散。圖3中，電場強(qiáng)度的方向由激勵極板指向0電位極板，并且在鄰極板的邊緣處電場強(qiáng)度達(dá)到最大，為3.1 V/mm，此現(xiàn)象是因?yàn)樵谙噜彉O板的邊緣處發(fā)生了邊緣效應(yīng)，極板邊緣處的電荷分布不均勻?qū)е耓17，18]。

發(fā)動機(jī)運(yùn)行狀況復(fù)雜多樣，發(fā)動機(jī)中的機(jī)油狀況也不盡相同，但是隨著機(jī)油中氧化物，金屬碎屑等污染物的增多，機(jī)油的極性變大，介電常數(shù)也會隨之增加，假設(shè)機(jī)油的介電常數(shù)范圍為1.01～1.03，并設(shè)置為有限元仿真模型中介質(zhì)的介電常數(shù)，表1為仿真結(jié)果和通過式(16)解算得到的計算電容傳感器輸出值。

[16]Brian Z. Tamanaha，On the Rule of Law: History, Politics，Cambridge: Cambridge University Press, 2004，p.113.

由表1可以看出，隨著介質(zhì)相對介電常數(shù)的增加，傳感器的電容輸出越大；在介電常數(shù)為單一變量的前提下，實(shí)驗(yàn)值和仿真值存在約0.024 pF的誤差，誤差主要來源為有限元分析法將模型進(jìn)行離散化分析，引入了離散化誤差[19]，但曲線趨勢基本相同,對比理論和仿真的結(jié)果，可以初步驗(yàn)證，可計算電容介電常數(shù)傳感器模型建立的正確性。

3 機(jī)油品質(zhì)檢測系統(tǒng)設(shè)計

基于可計算電容的機(jī)油品質(zhì)檢測系統(tǒng)包括3部分，可計算電容介電常數(shù)傳感器，電容采集模塊以及計算機(jī)。其中，電容采集模塊由PCap01測量模塊和STM32控制模塊組成，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 機(jī)油品質(zhì)檢測系統(tǒng)組成框圖

PCap01是由德國ACAM公司推出的電容數(shù)字轉(zhuǎn)換(capacitive to digital conversion,CDC)芯片，有21位數(shù)據(jù)有效位，在參考電容為10 pF，測量速率為5 Hz時，電容測量的精度為6 aF[20]。

4 機(jī)油配比實(shí)驗(yàn)

選擇比較典型的轎車發(fā)動機(jī)機(jī)油作為實(shí)驗(yàn)樣本，將行駛1萬公里后完全廢棄的機(jī)油按10 %～100 %的體積分?jǐn)?shù)與同一品牌的全新機(jī)油混合并充分混合均勻，模擬機(jī)油在使用過程中的劣化過程，配比油樣作為可計算電容介電常數(shù)傳感器中的介質(zhì)。

在室溫為21℃環(huán)境中，利用機(jī)油品質(zhì)檢測系統(tǒng)對可計算電容介電常數(shù)傳感器進(jìn)行去程和回程的6次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果箱線圖如圖5所示。由圖5可知，隨著廢棄機(jī)油體積分?jǐn)?shù)的增加，可計算電容的容值增加趨勢明顯，與理論計算和有限元仿真分析的結(jié)論一致，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，6次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均后得到滿量程范圍為yFS=2.6×10-4pF。

圖5 去程、回程重復(fù)性實(shí)驗(yàn)箱線圖

正反行程中的最大重復(fù)性誤差ΔRmax=1×10-5pF，則可計算電容介電常數(shù)傳感器的重復(fù)性誤差為γR=±3.85 %。取每組實(shí)驗(yàn)的均值進(jìn)行去程回程對電容值的對比，最大差值為ΔHmax=1×10-5pF,可計算電容介電常數(shù)傳感器的遲滯誤差為γL=±1.92 %。根據(jù)式(16)可計算出實(shí)驗(yàn)中油樣的介電常數(shù)范圍為1.012 76～1.015 48，由于變化范圍較小，可以將該段近似為直線，用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，結(jié)果為

C=0.095 86εr+0.014 34

(17)

實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線的最大非線性誤差為ΔLmax=1.6×10-10pF，則可計算電容介電常數(shù)傳感器的線性度為γL=±4.4×10-4%?？捎嬎汶娙萁殡姵?shù)傳感器以及電容測量平臺的A類測量不確定度為7×10-7。

5 結(jié) 論

本文針對機(jī)油品質(zhì)測量傳統(tǒng)介電常數(shù)法中電容傳感器誤差源多的問題，通過理論分析，推導(dǎo)了可計算電容介電常數(shù)傳感器模型，使用有限元仿真分析初步驗(yàn)證了傳感器模型的合理性；在機(jī)油配比實(shí)驗(yàn)中，對所設(shè)計的可計算電容介電常數(shù)傳感器進(jìn)行誤差特性分析，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果得傳感器的重復(fù)性誤差、遲滯誤差、不確定度，均在合理范圍內(nèi)，并且介質(zhì)的介電常數(shù)在一定范圍內(nèi)，具有較好的線性度。