巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

解析幾何問(wèn)題首先要搞明白試題要解決的是什么樣的幾何問(wèn)題，其次要弄清楚解決這個(gè)幾何問(wèn)題是否需要轉(zhuǎn)化至代數(shù)問(wèn)題解決，如果需要，是否需要建立坐標(biāo)系，如果可以借助幾何特征解題，那么借助哪些幾何特征或幾何工具，或者看是否需要數(shù)形結(jié)合，代數(shù)和幾何相互借力，將復(fù)雜問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化至較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題(有時(shí)候這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程不是很直觀，需要把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問(wèn)題后再進(jìn)行代數(shù)化)，利用已知的題設(shè)條件，分析這些條件之間的聯(lián)系，研究并解決轉(zhuǎn)化之后的問(wèn)題，從而解決解析幾何問(wèn)題.

1 利用“幾何”特征，培養(yǎng)直觀想象能力

例1(2019年全國(guó)Ⅰ卷·10)如圖1，已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

圖1

解法1(同角視角法) 由已知設(shè)|F2B|=m，則|AF2|=2m,|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=4m.

則|AF1|=2a-|AF2|=2m.

在△AF1B中，由余弦定理得

解法2(鄰補(bǔ)角法)由解法1可知

|BF1|=|AB|=3m，|AF1|=2m.

則在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理,得

又由圖可知∠AF2F1+∠BF2F1=π.

則cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0.

代入橢圓方程得a2=3,b2=a2-c2=2.

故選B.

評(píng)注本題考查橢圓定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，特別是利用幾何特征解題，形象直觀，解法1把一個(gè)角放在不同的三角形中研究，利用余弦定理建立方程解決問(wèn)題，解法2利用鄰補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)解決問(wèn)題，解法3借助輔助線(xiàn)利用已知線(xiàn)段比建立相似比解決問(wèn)題，很好地考查了直觀想象能力和邏輯推理能力.

根據(jù)橢圓定義可知

即(3m)2+(2a-2m)2=(2a-m)2，

解得a=3m.

在△AF1F2中，直線(xiàn)AB的斜率為

因?yàn)閍=3m，在Rt△AF1F2中，

評(píng)注利用平面幾何解題更加直觀，本題利用圖形的“幾何”特征，在幾何圖形中尋找等量關(guān)系，結(jié)合橢圓定義和解三角形計(jì)算，從而求出直線(xiàn)的斜率和橢圓的離心率，考查推理分析、運(yùn)算和圖形分析能力.

2 代數(shù)幾何相結(jié)合，彼此借力內(nèi)化思維品質(zhì)

圖2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

解析(1)可知F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

因此2a=DF1+DF2=4.

從而a=2.解得b2=3.

因?yàn)锳F2⊥x軸，將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，得y=±4.

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4).

又因?yàn)镋是線(xiàn)段BF2與橢圓的交點(diǎn)，

圖3

從而∠BF1E=∠B.

因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B.

所以∠A=∠BF1E.

從而EF1∥F2A.

因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.

評(píng)注解法1明顯比解法2計(jì)算復(fù)雜，利用平面幾何知識(shí)，從“幾何”特征入手研究題目中的幾何關(guān)系是必要的，在這個(gè)過(guò)程中，要經(jīng)歷文字信息、圖像特點(diǎn)和符號(hào)語(yǔ)言之間的多重轉(zhuǎn)換.

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積.

(2)解法1 (通性通法)設(shè)P,Q在x軸上方，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)M，設(shè)直線(xiàn)x=6與x軸交點(diǎn)為N，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖4.

圖4

因?yàn)閨BP|=|BQ|，BP⊥BQ， ∠PMB=∠QNB=90°，∠PBM+∠QBN=90°， ∠BQN+∠QBN=90°，所以∠PBM=∠BQN.

根據(jù)三角形全等可得△PMB≌△BNQ.

所以|PM|=|BN|=6-5=1.

設(shè)點(diǎn)P為(xP,yP)，可得點(diǎn)P縱坐標(biāo)為yP=1.

解得xP=3或xP=-3.

所以點(diǎn)P為(3,1)或(-3,1).

①當(dāng)點(diǎn)P為(3,1)時(shí)，|MB|=5-3=2.

因?yàn)椤鱌MB≌△BNQ，

所以|MB|=|NQ|=2.

可得點(diǎn)Q為(6,2).

如圖5,因?yàn)锳(-5,0),Q(6,2)，可求得直線(xiàn)AQ的直線(xiàn)方程為2x-11y+10=0.

圖5

可得P到直線(xiàn)AQ的距離為

②當(dāng)點(diǎn)P為(-3,1)時(shí)，|MB|=5+3=8.

因?yàn)椤鱌MB≌△BNQ，所以|MB|=|NQ|=8.

所以點(diǎn)Q為(6,8)

如圖6，,因?yàn)锳(-5,0),Q(6,8)，直線(xiàn)AQ的方程為8x-11y+40=0，可得點(diǎn)P到直線(xiàn)AQ的距離為

圖6

解法2(分割面積法)由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P，Q在x軸上方，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E.設(shè)D(6,0)，由題知，△PEB≌△BDQ.

所以PE=1.所以xp=±3.

圖7

圖8

(1+16k2)x2-160k2x+16×25k2-25=0.

因?yàn)锽P⊥BQ，則直線(xiàn)BQ的方程為

因?yàn)閨BP|=|BQ|，

即256k4-68k2+1=0.

即(64k2-1)(4k2-1)=0.

不妨設(shè)P(x0,y0)在x軸上方.

設(shè)直線(xiàn)AP:y=k(x+5)(k>0),

因?yàn)閨BP|=|BQ|,BP⊥BQ，

所以y0=|BN|=1,yQ=|BM|=5-x0.

由點(diǎn)P在直線(xiàn)AP上得1=k(x0+5).

化簡(jiǎn)得16k2=10k-1.

即Q(6,16k).

所以點(diǎn)Q到直線(xiàn)AP的距離

解法5(面積坐標(biāo)法) 由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P，Q在x軸上方，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，設(shè)D(6,0)，由題知△PCB≌△BDQ.

所以PC=1.

所以xp=±3.

當(dāng)P(3,1),A(-5,0),Q(6,2),則

當(dāng)P(-3,1),A(-5,0),Q(6,8),同理，

評(píng)注對(duì)于第(2)問(wèn)解決視角很多，解法1根據(jù)平面幾何知識(shí)，利用“幾何”特征可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及直線(xiàn)AQ的方程，再根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，也是大多數(shù)人能想到的方法，是為通性通法；解法2同解法1，最后利用圖形面積分割法求△APQ的面積，優(yōu)化處理后計(jì)算有所簡(jiǎn)化；解法2利用代數(shù)法通過(guò)設(shè)直線(xiàn)BP的方程y=k(x-5)與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用等量關(guān)系求出k的值，從而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及直線(xiàn)AQ的方程，最后根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，方法容易想到但計(jì)算量比較大；解法4與解法3類(lèi)似，設(shè)直線(xiàn)AP的方程y=k(x+5)(k>0)，通過(guò)平面知識(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)Q，再根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，計(jì)算量也不??；解法5同解法1最后利用了三角形面積坐標(biāo)法，需要很強(qiáng)的邏輯推理能力利用向量法推出公式，當(dāng)然北師大版必修五第二章第一節(jié)正弦定理例3介紹過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，所以注重課本例題和習(xí)題顯得尤為重要.

解析幾何問(wèn)題中幾何是思考的起點(diǎn)和終點(diǎn)，也是問(wèn)題的緣起和歸宿，代數(shù)化和“幾何”特征是解決幾何問(wèn)題的工具.加深幾何特征和曲線(xiàn)與方程有關(guān)概念的理解，以提升“猜想證明、化歸轉(zhuǎn)化、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理和探索實(shí)踐應(yīng)用”等關(guān)鍵能力為目標(biāo)，內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).