陳 龍，陳 明，孫曉強，蔡英鳳，Pak Kin Wong，吳子強

（1.江蘇大學(xué)汽車工程研究院，鎮(zhèn)江 212013；2.澳門大學(xué)機電工程系，澳門 999078；3.揚州市奧特瑞汽車電子科技有限公司，揚州 225299）

前言

客車由于質(zhì)量大、質(zhì)心高、輪距窄等特點，其在高速緊急避撞（高速大轉(zhuǎn)角）和濕滑路面轉(zhuǎn)向等特殊行駛工況下極易產(chǎn)生橫向失穩(wěn)現(xiàn)象［1］。該現(xiàn)象若不能實現(xiàn)準確揭示和預(yù)判，最終將會導(dǎo)致客車發(fā)生側(cè)翻事故。懸架是研究客車橫向運動必須考慮的關(guān)鍵因素之一［2］。隨著客車技術(shù)的快速發(fā)展，裝備空氣懸架已成為主流趨勢。相較于傳統(tǒng)懸架，空氣懸架能夠顯著提升客車綜合性能，但空氣懸架客車的橫向運動演化過程與傳統(tǒng)懸架客車存在明顯差異，系統(tǒng)非線性特征更為明顯，橫向穩(wěn)定性分析難度更大、挑戰(zhàn)更高［3］。

構(gòu)建能夠準確反映空氣懸架客車橫向動力學(xué)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是后續(xù)進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。Gauchia等［4］建立了一種用于估計客車側(cè)翻運動過程中橫向加速度閾值的數(shù)學(xué)模型。Altork等［5］為實現(xiàn)客車橫向穩(wěn)定性控制，建立了考慮橫擺、側(cè)傾和橫向運動的客車3自由度動力學(xué)模型。付翔等［6］以四輪轉(zhuǎn)向2自由度模型為基礎(chǔ)提高了四輪轉(zhuǎn)向車輛在低附路面的穩(wěn)定性。王睿等［7］建立了基于橫向載荷轉(zhuǎn)移率的客車7自由度動力學(xué)模型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)及車速對客車側(cè)翻穩(wěn)定性的影響。然而，針對客車相關(guān)部件在大范圍運行工況下的非線性力學(xué)行為，現(xiàn)有研究仍缺乏有效的建模方式。

當前，無論是客車還是其他類型車輛，關(guān)于橫向穩(wěn)定性分析的內(nèi)容主要集中在橫向失穩(wěn)指標確定。Brennan等［8］提出基于零力矩點的汽車橫向失穩(wěn)指標。Zhang等［9］基于相平面法研究了車輛側(cè)翻穩(wěn)定性，提出了基于載荷轉(zhuǎn)移比等高線的車輛側(cè)翻指標。黃明亮等［10］采用能量法來研究汽車側(cè)翻穩(wěn)定性，提出了新的汽車側(cè)翻能量穩(wěn)定指標。葉慧等［11］通過對質(zhì)心側(cè)偏角的估計和傳感器獲得橫擺角速度的方法，利用一種非光滑控制技術(shù)提升了車輛的橫向穩(wěn)定性。然而，由于特殊行駛工況下的客車橫向運動過程較為復(fù)雜，系統(tǒng)非線性特征明顯，因此單一失穩(wěn)指標因缺乏對車輛全局動態(tài)的綜合考慮，往往無法準確全面地評估客車實際側(cè)翻過程。

針對以上問題，本文在考慮空氣彈簧及輪胎非線性力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，首先建立空氣懸架客車3自由度非線性橫向動力學(xué)模型，進而運用非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析理論，對空氣懸架客車在高速轉(zhuǎn)向等特殊行駛工況下的橫向穩(wěn)定性進行鞍結(jié)分岔分析，獲取空氣懸架客車的橫向動力學(xué)失穩(wěn)演化規(guī)律，最后通過整車動力學(xué)仿真對穩(wěn)定性分析結(jié)果進行驗證。相關(guān)研究能夠為提高客車橫向行駛安全提供一定依據(jù)。

1 客車橫向動力學(xué)模型

1.1 整車橫向動力學(xué)模型

結(jié)合空氣懸架客車的結(jié)構(gòu)特點和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析需求，建立考慮空氣彈簧和輪胎非線性力學(xué)特性的空氣懸架客車3自由度非線性橫向動力學(xué)模型，主要包括車身橫向運動、側(cè)傾運動和橫擺運動，模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 空氣懸架客車3自由度橫向動力學(xué)模型

基于牛頓運動定律，模型具體表達式如下。

（1）橫向運動模型

（2）橫擺運動模型

（3）側(cè)傾運動模型

式中：m為整車質(zhì)量；ms為簧上質(zhì)量；β為車身質(zhì)心側(cè)偏角；φ為車身側(cè)傾角；γ為車身橫擺角；δ為前輪轉(zhuǎn)角；Ix為車身側(cè)傾轉(zhuǎn)動慣量；Iz為車身橫擺轉(zhuǎn)動慣量；a、b、d分別為質(zhì)心到前后輪的距離及輪距；hs為車身側(cè)傾中心高度；Fyi為輪胎側(cè)偏力；Fi為空氣懸架對車身的垂向作用力（i=fl，fr，rl，rr）。Fi的表達式為

式中：ki（t）為空氣彈簧的時變剛度；ci為空氣懸架減振器的阻尼系數(shù)；Δs為懸架相對位移。

1.2 空氣彈簧非線性模型

作為空氣懸架的主要彈性元件，空氣彈簧具有典型的非線性剛度特性，且該剛度特性與彈簧被壓縮或被拉伸的程度直接相關(guān)［12］。本文以膜式空氣彈簧為例，對空氣彈簧動剛度特性進行分析，可得空氣彈簧彈性力的表達式為［13］

式中：F為彈性力；pa為大氣壓力；p為氣囊內(nèi)氣體絕對壓力；pe為氣囊內(nèi)氣體相對壓力；Ae為空氣彈簧有效截面積?？諝鈴椈蓜偠瓤赏ㄟ^彈性力直接對空氣彈簧垂向位移求導(dǎo)得到：

式中：k為空氣彈簧剛度；s為空氣彈簧垂向位移。假設(shè)空氣彈簧氣囊內(nèi)的氣體總質(zhì)量一定，則壓力和容積的關(guān)系可表示為

式中：V為氣囊容積；n為氣體多變指數(shù)，1≤n≤1.4。式（7）兩邊分別對s求導(dǎo)，可得：

那么氣囊內(nèi)氣體相對壓力對s求導(dǎo)可得：

式中負號表示壓力變化趨勢與體積變化趨勢相反，表示剛度時，取其絕對值。

綜合上述各式，空氣彈簧剛度的表達式為

對于活塞座為圓柱形的膜式空氣彈簧，其有效面積在工作行程內(nèi)的變化可忽略不計［14］，則空氣彈簧的非線性剛度特性可進一步簡化為

1.3 輪胎非線性模型

在車輛動力學(xué)分析過程中，大多采用“魔術(shù)公式”或Dugoff等經(jīng)驗輪胎模型反映輪胎力的強非線性特征［15-16］。然而，在解析分析過程中，這些輪胎模型形式較為復(fù)雜，可能導(dǎo)致解析問題無法求解。因此，為便于理論推導(dǎo)和后續(xù)問題解決，同時考慮到高速轉(zhuǎn)向時輪胎側(cè)向力與垂直載荷的非線性關(guān)系，本文選用較為簡潔的多項式平方輪胎模型［17］，其表達式為

式中：i=fl，fr，rl，rr，j=f，r；Fyi為輪胎側(cè)向力；Fzi為輪胎垂向載荷；Ci為輪胎側(cè)偏剛度；Cj1、Cj2為經(jīng)驗常數(shù)；αj為輪胎側(cè)偏角；μ為路面附著系數(shù)。

前后輪胎側(cè)偏角的表達式為

車輛在橫向運動過程中，載荷將發(fā)生橫向轉(zhuǎn)移，輪胎垂直載荷的變化可表示為

其中

式中：Fzfo和Fzro為前后輪垂向靜載荷；ΔFz為表示前后輪的載荷轉(zhuǎn)移量。

2 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 非線性微分動力學(xué)系統(tǒng)的建立

為構(gòu)建空氣懸架客車橫向動力學(xué)系統(tǒng)微分形式，將車輛縱向速度、前輪轉(zhuǎn)角和附著系數(shù)定義為輸入?yún)?shù)ξ，令φ?=η，（β，γ，φ，η）T表示為（x1，x2，x3，x4）T，則式（1）～式（3）可寫成如下非線性動力學(xué)系統(tǒng)的微分形式：

式中：X=（x1，x2，x3，x4）T為系統(tǒng)狀態(tài)變量；ξ=（u，δ，μ）T為系統(tǒng)可變參數(shù)。則上式可表示為其中：

令式（16）等式左端等于零，可求得非線性系統(tǒng)的平衡點，設(shè)此平衡點為Xe=（xe1，xe2，xe3，xe4），同時可得到此系統(tǒng)在平衡點處的雅克比矩陣J為

矩陣J的特征方程為

式中：系數(shù)ci（i=1，2，3，4）與矩陣J的元素有關(guān)，具體數(shù)學(xué)關(guān)系為

根據(jù)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性Hurwitz判據(jù)，若以下條件滿足：

則特征方程的特征根均具有負實部，非線性系統(tǒng)在平衡點時漸近穩(wěn)定的；若式（21）不成立且c4≠0，那么特征方程存在正實部特征根，說明系統(tǒng)的平衡點是不穩(wěn)定的。當c4=0時，特征方程具有含零實部的特征根，此時平衡點鄰域處于一種臨界狀態(tài)，具有非常復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為。此時平衡點附近的線性化系統(tǒng)不一定和原系統(tǒng)拓撲等價，因此，需要對系統(tǒng)進行降維，通過降維后的約化系統(tǒng)分析原系統(tǒng)在平衡點的非線性動力學(xué)行為［18］。

2.2 基于中心流形理論的系統(tǒng)降維

對于存在各種非線性因素的復(fù)雜高維動力學(xué)系統(tǒng)，通過降維進行分岔分析可為其控制設(shè)計提供理論依據(jù)?；谥行牧餍卫碚摰慕稻S方法基本思想是：假設(shè)在平衡點附近的系統(tǒng)存在有限維中心子空間，根據(jù)中心流形定理，可將方程向中心子空間投影，從而達到降維目的［19］。

設(shè)路面附著系數(shù)μ和車速u為定值，隨著前輪轉(zhuǎn)角δ的增加，車輛轉(zhuǎn)向時一定會出現(xiàn)奇異點（X*，δ*），也即式（19）一定會出現(xiàn)c4=0的情形。將奇異點坐標變換轉(zhuǎn)移到原點，令：

則系統(tǒng)可轉(zhuǎn)換為奇異點在（0，0）處的微分方程：

在此奇異點（0，0）處，穩(wěn)定性條件式Δ4=0，則式（22）存在1個零特征根和3個實部為負數(shù)的特征λ1、λ2和λ3。構(gòu)造一個矩陣M，其列為A的零特征根和負實部特征根對應(yīng)的特征向量。取T=M-1，則有：

則式（23）可變換為

式中：Y為變換后的狀態(tài)變量；Λ為由A的特征值組成的對角矩陣。將變量分為臨界狀態(tài)Yc和穩(wěn)定狀態(tài)Ys，其中Yc=y1，Ys=（y2，y3，y4）T，則式（26）可分解為

式中Λc=0，Λs=diag（λ1，λ2，λ3）。

對于式（27），由中心流形定理有，當Λc的所有特征值為零，Λs所有特征值實部為負，那么存在一個可微函數(shù)H，使得Ys=H（Yc），且其為式（26）的中心流形，具體函數(shù)關(guān)系可表示為

其邊界條件為

在此基礎(chǔ)上，中心流形方程為

設(shè)hi（y1，δ），則可展開為如下形式。

將式（31）代入式（26），通過對比可求得ki1、ki2、ki3（i=2，3，4）的具體數(shù)值和中心流形，再將其代入式（27）的第1式可得中心流形上的約化系統(tǒng)。將車輛參數(shù)，如表1所示，進一步代入系統(tǒng)，求其約化系統(tǒng)具體表達式為

表1 整車主要參數(shù)

定理1：在確定系統(tǒng)中心流形條件下，如果降階系統(tǒng)的原點是漸進穩(wěn)定的（或非穩(wěn)定的）則整個系統(tǒng)的原點也是漸進穩(wěn)定的（或非穩(wěn)定的）［19］。

式（32）就是式（26）在奇異點附近的約化系統(tǒng)，由定理1可知其與原方程相比，定性性態(tài)是等價的，因此，求原方程的定性性態(tài)只需對約化后的系統(tǒng)進行定性性態(tài)分析。

2.3 系統(tǒng)鞍結(jié)分岔判定

對于一維含參數(shù)的非線性動力學(xué)系統(tǒng)

式中：x為狀態(tài)變量；θ為分岔參數(shù)。當θ＜0時，系統(tǒng)無平衡點；當θ＞0時，系統(tǒng)有兩個平衡點，x1=θ1∕2，x2=-θ1∕2。平衡點x1=θ1∕2的雅克比矩陣Dxf（x1，θ）=-2θ1∕2＜0，則x1稱為穩(wěn)定平衡點或結(jié)點，平衡點x2=-θ1∕2的雅克比矩陣Dxf（x2，θ）=2θ1∕2＞0，x2稱為不穩(wěn)定平衡點或鞍點。所以x=0，θ=0為系統(tǒng)的分岔點，此分岔現(xiàn)象也叫鞍結(jié)分岔。非線性系統(tǒng)（33）在分岔點（0，0）有：

按此思路可以推出一維含參數(shù)的非線性動力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔的充分必要條件為［20］

那么對基于中心流形定理降維后的約化系統(tǒng)式（32）進行分析可得：

因此，式（16）滿足鞍結(jié)分岔的充分必要條件，系統(tǒng)將會發(fā)生鞍結(jié)分岔。

2.4 平衡點分岔行為分析

考慮到計算繁雜以及篇幅有限，本文僅以典型客車（表1）為對象進行分析，根據(jù)車輛實際運行狀態(tài)，設(shè)計4種工況進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，即掌握空氣懸架客車的橫向穩(wěn)定性演化規(guī)律。工況1和工況2設(shè)置附著系數(shù)μ=0.8的高附路面，車速分別為72和108 km∕h，工況3和工況4設(shè)置附著系數(shù)μ=0.3的低附路面，車速分別為50和80 km∕h。通過分析計算，得到4種工況下車輛橫向穩(wěn)定性鞍-結(jié)分岔相平面圖，如圖2～圖5所示，其描述了系統(tǒng)從初始狀態(tài)到失穩(wěn)的變化過程。

圖2～圖5中結(jié)點為穩(wěn)定平衡點，鞍點為不穩(wěn)定平衡點。結(jié)點附近區(qū)域的相軌跡會收斂至穩(wěn)定的平衡點，因此該區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域，鞍點附近區(qū)域的相軌跡是發(fā)散的，表示為不穩(wěn)定區(qū)域。

圖5 工況4相平面圖

由圖2和圖3可見：圖（a）中前輪轉(zhuǎn)角等于0時，穩(wěn)定平衡點與原點是重合的，表明初始值位于穩(wěn)定區(qū)域時，車輛收斂于直線運動；圖（b）中當前輪轉(zhuǎn)角分別增大到0.05和0.025 rad時，穩(wěn)定的平衡點逐漸靠向一個不穩(wěn)定的平衡點，穩(wěn)定區(qū)域也因此逐漸減??；圖（c）中前輪轉(zhuǎn)角分別增大到0.098和0.052 rad時，兩平衡點無限接近，若轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大，穩(wěn)定平衡點將消失，系統(tǒng)只剩兩個不穩(wěn)定的平衡點，此時系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域消失，處于任意初始值的車輛都將失穩(wěn)。相較而言，速度更高的工況，系統(tǒng)趨向失穩(wěn)的前輪轉(zhuǎn)角閾值較小。

圖2 工況1相平面圖

圖3 工況2相平面圖

由圖4和圖5可見：圖（a）中前輪轉(zhuǎn)角等于0時，穩(wěn)定平衡點與原點是重合的，表明初始值位于穩(wěn)定區(qū)域時，車輛收斂于直線運動；圖（b）中，當前輪轉(zhuǎn)角分別增大到0.03、0.015 rad時，穩(wěn)定的平衡點逐漸靠向一個不穩(wěn)定的平衡點，穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小；圖（c）中，前輪轉(zhuǎn)角分別增大到0.059、0.035 rad時，兩平衡點無限接近，若轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大，穩(wěn)定平衡點將消失，系統(tǒng)只剩兩個不穩(wěn)定的平衡點，此時系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域消失，任意初始值條件下車輛都將失穩(wěn)。通過比較后兩圖和前兩圖，可以發(fā)現(xiàn)，低附路面下，系統(tǒng)趨向失穩(wěn)的前輪轉(zhuǎn)角閾值較小。該結(jié)論也符合實際現(xiàn)象和理論邏輯。

圖4 工況3相平面圖

3 穩(wěn)定性分析結(jié)果仿真驗證

為驗證前述基于解析法的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析結(jié)果的可靠性，進一步開展整車動力學(xué)模型仿真。選取轉(zhuǎn)向盤角階躍輸入工況作為試驗工況，利用Matlab∕Simulink仿真平臺建立包括輪胎模型、空氣懸架模型的整車動力學(xué)模型，設(shè)置Simulink Parameters和終止時間，采用算法類型為變步長，算法為ode45的求解器對模型進行仿真。以橫向載荷轉(zhuǎn)移率（LTR）和橫向加速度為指標，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。一般認為橫向載荷轉(zhuǎn)移率達到1.0，橫向加速度達到0.5g時，車輛將極易發(fā)生側(cè)翻，即系統(tǒng)失穩(wěn)。為節(jié)約篇幅，這里僅選取高附路面車速為72 km∕h的工況1和低附路面車速為50 km∕h的工況3，進行分岔分析結(jié)果的仿真驗證。兩種工況下的客車橫向載荷轉(zhuǎn)移率（LTR）和橫向加速度仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

由圖6和圖7可見，當工況1前輪轉(zhuǎn)角達到0.096 rad，工況3前輪轉(zhuǎn)角達到0.057 rad，車輛的橫向載荷轉(zhuǎn)移率已達到1.0，而橫向加速度也超過0.5g，說明車輛處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)。此外在工況2和工況4的仿真結(jié)果中當臨界轉(zhuǎn)角分別為0.053和0.034 rad時車輛也同樣處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，此時若受到微小干擾將極易發(fā)生側(cè)翻?？紤]到輪胎模型的精度、模型迭算以及系統(tǒng)工作于強非線性區(qū)域，仿真結(jié)果與解析結(jié)果相比雖有些許不同（表2），但誤差較小能夠接受，可認為仿真分析結(jié)果與解析分析結(jié)果一致，證明本文提出的非線性穩(wěn)定性分析方法的有效可行。

表2 臨界轉(zhuǎn)角值對比

圖6 工況1 LTR和橫向加速度仿真結(jié)果

圖7 工況3 LTR和橫向加速度仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文中提出了一種系統(tǒng)非線性動力學(xué)建模方法，考慮了空氣彈簧和輪胎的非線性動力學(xué)特性。對高維復(fù)雜的系統(tǒng)降維得到了等價的約化系統(tǒng)，判斷出系統(tǒng)將會發(fā)生鞍結(jié)分岔。應(yīng)用非線性動力學(xué)系統(tǒng)，通過對4種不同工況下系統(tǒng)在平衡點的分岔行為進行相平面分析，得到在不同路面條件下空氣懸架客車隨車速和前輪轉(zhuǎn)角變化的橫向動力學(xué)失穩(wěn)規(guī)律。

基于整車動力學(xué)仿真對穩(wěn)定性分析結(jié)果進行驗證，結(jié)果表明本研究能為提高客車橫向行駛安全和穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的設(shè)計提供依據(jù)。針對其他影響車輛穩(wěn)定性的因素如整車結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化、更加復(fù)雜的路面條件等進行展開分析，采用更加精確的穩(wěn)定性評價指標和多樣性的仿真工況將是后續(xù)研究的重點。