許家釗

(蘇州大學(xué)附屬中學(xué) 215006)

1 數(shù)學(xué)閱讀試題的教學(xué)現(xiàn)狀

分析近年來的數(shù)學(xué)高考試題不難發(fā)現(xiàn)，情境試題明顯增多，閱讀量增大．這樣設(shè)置的目的是讓學(xué)生通過閱讀提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)．而現(xiàn)實(shí)情況是這一部分試題得分率較低，如2021年新高考Ⅱ卷的“衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”、2021年新高考Ⅰ卷的“民間剪紙藝術(shù)”、2019年全國Ⅰ卷的“斷臂維納斯”等新情境試題讓不少優(yōu)秀學(xué)生折戟，主要有兩方面的原因．

一是教師不重視．教師對數(shù)學(xué)閱讀的理解不夠深刻，沒有形成數(shù)學(xué)也需要閱讀的意識．課堂上，數(shù)學(xué)教師往往只注意邏輯推理的嚴(yán)密性、演算步驟的正確性、解題方法的恰當(dāng)性，而忽略了引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言，缺乏對數(shù)學(xué)語言的推敲琢磨．有些教師甚至認(rèn)為，數(shù)學(xué)閱讀費(fèi)時(shí)費(fèi)力，在提高學(xué)生成績方面效果不明顯，直接把數(shù)學(xué)閱讀砍掉了．即便有部分教師認(rèn)識到數(shù)學(xué)閱讀的重要性，也只是停留在要求學(xué)生讀讀教材，以及對概念、公式和定理的圈圈畫畫上，這種閱讀方式并不能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力．

二是學(xué)生不重視．學(xué)生潛意識里是輕視數(shù)學(xué)閱讀的，他們眼中的閱讀似乎只有語文、英語等學(xué)科才有，對于數(shù)學(xué)只要會做題就行了．對于布置的預(yù)習(xí)作業(yè)，很多學(xué)生一目十行，簡單地過一遍，草草了事，既沒有設(shè)定閱讀任務(wù)，也沒有設(shè)定完成的目標(biāo)，只對教材中重要結(jié)論感興趣，不能領(lǐng)悟其字里行間所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想．

2 數(shù)學(xué)閱讀試題的教學(xué)思考

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)閱讀試題的教學(xué)可分為三個(gè)環(huán)節(jié)，即慢讀、細(xì)讀與回讀．所謂慢讀是指第一遍通讀試題后，理解試題的大意，條件是什么、求什么、涉及數(shù)學(xué)課本里什么章節(jié)、可轉(zhuǎn)化為什么樣的數(shù)學(xué)問題，慢讀可采用“一問一答”的方式進(jìn)行，文章有舉例說明；細(xì)讀是指在慢讀之后，在題中提取關(guān)鍵信息和所需數(shù)據(jù)，明確該數(shù)學(xué)問題的已知條件、所求問題需要哪些條件、采用什么計(jì)算方法、可否優(yōu)化等；回讀是指試題基本得到解決后，再回到試題當(dāng)中，查看有無信息遺漏、有無隱含條件未使用、所求結(jié)果是否符合實(shí)際背景等．

例1(2021年新高考Ⅱ卷第4題)北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36 000 km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離)．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6 400 km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1-cosα)(單位：km2)，則S占地球表面積的百分比約為( ).

A.26% B.34% C.42% D.50%

慢讀 問1：地球上一點(diǎn)A的維度是怎么定義的？試題表明是指線面所成角，是指直線OA與赤道平面的所成角，如圖1，即∠AOB．問2：衛(wèi)星的軌道高度是指什么？記衛(wèi)星中心G與地球球心O的連線段與地球表面交于B點(diǎn)，那么軌道高度指的就是線段BG的長，如圖2．問3：地球上能觀測到衛(wèi)星點(diǎn)的區(qū)域在哪里？過衛(wèi)星點(diǎn)作地球表面的切線束，這些切點(diǎn)連起來形成一個(gè)小圓，這個(gè)小圓所包裹的地球表面都可以觀測到衛(wèi)星．問4：在這些觀測點(diǎn)中維度最大的點(diǎn)在哪里？是小圓包裹的地球表面到赤道面距離最大的地方，如圖3．

圖1 圖2

圖3 圖4

回讀 衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積S=2πr2(1-cosα)是試題直接給出的，它與地球表面積的比值只與α有關(guān)，客觀情況確實(shí)如此，衛(wèi)星覆蓋的地球表面可以類比成直線與圓相切所得的曲線段．

評注 本題涉及交叉學(xué)科，與地理學(xué)科相融合，解開神秘之面紗后，本質(zhì)依然是數(shù)學(xué)中的基本問題，涉及直線與圓相切，直角三角形中的余弦以及球的表面積．借助于衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的實(shí)際背景，考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、繪圖、轉(zhuǎn)化、類比、降維等數(shù)學(xué)基本思想和方法的掌握情況，是一道優(yōu)秀試題．

例2(2020課標(biāo)全國Ⅱ卷第4題)如圖5，北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( ).

圖5

A.3 699塊 B.3 474塊

C.3 402塊 D.3 339塊

慢讀 問1：場所被分為上、中、下三層，每一層的扇面形石板情況如何？上層的第一環(huán)是9塊扇面形石板，第二環(huán)增加9塊，是18塊，這便形成了首項(xiàng)為9、公差為9的等差數(shù)列．問2：項(xiàng)數(shù)是多少？現(xiàn)在并不清楚，可以繼續(xù)分析試題．問3：中層情況如何？也是等差數(shù)列．首項(xiàng)是多少？首項(xiàng)是上層最后一項(xiàng)再加上9塊，說明上、中、下三層整個(gè)恰好構(gòu)成了等差數(shù)列．問4：求什么？三層共有多少塊石板，也就是求所有石板的總和，即求等差數(shù)列所有項(xiàng)的和，首項(xiàng)和公差都是9，現(xiàn)在只缺少項(xiàng)數(shù)．問5：題中還有什么條件？題中后段出現(xiàn)了重要條件“每層環(huán)數(shù)相同，下層比中層多729塊”，使用好這個(gè)條件，便可以解決這個(gè)問題．

回讀 本題實(shí)質(zhì)是將等差數(shù)列27項(xiàng)等距離分成3段，每段9項(xiàng)，揭示的數(shù)學(xué)問題是比較容易的．

評注 本題以實(shí)際背景考查等差數(shù)列求和知識，所需的條件均蘊(yùn)含于試題當(dāng)中，需要考生通過閱讀理解題意，提取重要數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)．

慢讀 問1：每一次對折有幾種方式？兩種方式，可以橫向?qū)φ郏部梢载Q向?qū)φ?，故第一次對折可以得到兩種規(guī)格，學(xué)生有生活常識，容易理解．問2：試題已經(jīng)告知對折兩次，出現(xiàn)三種規(guī)格，為什么？因?yàn)閷⒌谝淮螜M向?qū)φ壑蟮木匦卧龠M(jìn)行縱向?qū)φ?，與將第一次豎向?qū)φ壑蟮木匦卧贆M向?qū)φ鬯脠D形相同，如圖6，故而得到三種規(guī)格，這是一個(gè)非常重要的發(fā)現(xiàn)．問3：第三次對折結(jié)果如何？得到四種規(guī)格，如此，可知一般規(guī)律了.問4：對折4次可以得到幾種規(guī)格？自然就是5了，解決了本題第一空的問題．

圖6

細(xì)讀 第1次對折，得到兩種規(guī)格，分別是 6×20，12×10，所以S1=2×120；

第2次對折，得到三種規(guī)格，分別是3×20，6×10，12×5，所以S2=3×60；

第3次對折，得到四種規(guī)格，分別是1.5×20， 3×10，6×5，12×2.5，所以S3=4×30．

回讀 每一次對折之后，每一種規(guī)格的面積都是原來的一半，規(guī)格的總數(shù)會增加一個(gè)，也就是說每次對折之后得到的所有規(guī)格總面積是一個(gè)等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的形式，如此便恍然大悟，本題原來是用錯(cuò)位相減法．

評注 本題以生活常識為背景，考查對實(shí)際背景的閱讀理解、繪圖、運(yùn)算求解以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力及應(yīng)用意識，試題的本質(zhì)是考查數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法.教學(xué)過程中，教師除加強(qiáng)引導(dǎo)閱讀之外，對不熟悉的數(shù)列問題，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行列舉，逐步摸索規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行一般化處理，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法．

A．8π B．6π C．9π D．5π

圖7 圖8

細(xì)讀1 根據(jù)題目條件畫出的圖形，我們發(fā)現(xiàn)該圖形有明顯的對稱性，故取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO,DO，如圖8．此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)BC⊥平面AOD，所以平面AOD⊥平面BCD，因此，要作出A在平面BCD的射影，只需在平面AOD中作出OD的垂線即可．

主要解題過程1 如圖9，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO,DO，在平面AOD中，過A作AH⊥OD，交OD于點(diǎn)H．

圖9

因?yàn)镺為BC中點(diǎn)，AB=AC，DB=DC，所以O(shè)D⊥BC，OA⊥BC， 又因?yàn)镺D∩OA=O，OD,OA?平面AOD，所以BC⊥平面AOD， 又因?yàn)锳H?平面AOD，所以AH⊥BC．

細(xì)讀2 尋找?guī)缀误w外接球球心的一般方法：確定幾何體兩個(gè)面的外接圓的圓心，并分別過這兩個(gè)圓心作出垂直于這個(gè)面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心．

回讀 事實(shí)上，本題可以總結(jié)為一類特殊的模型——翻折模型，由一個(gè)等腰直角三角形繞著斜邊旋轉(zhuǎn)一定角度得到的三棱錐，其外接球球心位于斜邊的中點(diǎn)．此外，翻折模型的題設(shè)往往會出現(xiàn)兩個(gè)全

圖10

評注 本題屬于三棱錐的外接球問題，這類問題常見的模型有三種：模型一，有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球，通常是把它補(bǔ)成直三棱柱，利用勾股定理就可以輕松求解；模型二，正三棱錐的外接球，通常用兩次勾股定理便可以搞定；模型三，一般三棱錐的外接球，通常需要找球心．而本題，由于兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，它的球心便是斜邊中點(diǎn)，屬于模型三的特殊情形．

3 結(jié)語

閱讀作為數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)之一，是學(xué)生獲取信息和知識的重要途徑，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維、邏輯分析能力的提升，可以促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展．教師重視對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)，不能簡單地表現(xiàn)在增加情境題的數(shù)量上，關(guān)鍵要落實(shí)到課堂．教師應(yīng)根據(jù)高考的要求、教材的特點(diǎn)、學(xué)生的實(shí)際，整合一些本源性、比較性、生成性資源，編寫集知識性、方法性、趣味性于一體的閱讀材料或情境性問題供學(xué)生閱讀和思考，并以此創(chuàng)設(shè)閱讀情境，提煉數(shù)學(xué)問題．每個(gè)學(xué)期，教師都應(yīng)專門開設(shè)幾節(jié)讀題指導(dǎo)課，通過慢讀、細(xì)讀和回讀，引導(dǎo)學(xué)生體會考點(diǎn)，引領(lǐng)本質(zhì)的揭示、方法的遷移和模型的構(gòu)建．