郭雅妮， 侯強(qiáng)

中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051

結(jié)核病是一種慢性傳染病，主要由結(jié)核分枝桿菌感染引起[1].關(guān)于結(jié)核病的傳播機(jī)制和動(dòng)態(tài)，已經(jīng)有了許多研究成果[2-7].其中，文獻(xiàn)[6]考慮結(jié)核病的外源性傳染因素，建立了動(dòng)力學(xué)模型.但該模型將人口輸入設(shè)定為常數(shù)，與實(shí)際情況不吻合.本文在已有研究的基礎(chǔ)上，建立如下模型：

(1)

其中：S(t)，E(t)，I(t)分別表示易感者、潛伏者、染病者的數(shù)量；m為環(huán)境容納量；r為內(nèi)稟增長(zhǎng)率；β為易感人群與感染者的接觸率；k為潛伏者向染病者的轉(zhuǎn)移率；μ為自然死亡率；μd為因病死亡率；p為潛伏者遇到染病者的加速感染率.所有參數(shù)均為正.

本文結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)求模型(1)的基本再生數(shù)，并分析模型平衡點(diǎn)的存在性；第二節(jié)主要研究模型的Hopf分支和尖點(diǎn)分支；第三節(jié)用數(shù)值模擬驗(yàn)證分析結(jié)果；第四節(jié)進(jìn)行總結(jié).

1 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)的存在性

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的方法，模型(1)有正不變集

(2)

正平衡點(diǎn)P*=(S*，E*，I*)滿足：

(3)

且I*滿足

g(I*)=D(I*)f(I*)

(4)

(5)

f(I*)=AI*2+BI*+C=0

(6)

其中

A=pβ3m

B=rpβ(μ+μd)+β2m(k-rp)

C=r(1-R0)(μ+k)(μ+μd)

由于D(I*)=0時(shí)I*的解小于零，所以只需考慮f(I*)=0的情況.因此，有以下定理：

定理1當(dāng)R0>1時(shí)，C<0，模型(1)有一個(gè)正平衡點(diǎn)；當(dāng)R0<1時(shí)，C>0，如果B<0，模型(1)有兩個(gè)正平衡點(diǎn)；當(dāng)R0=1時(shí)，C=0，如果B<0，模型(1)有一個(gè)正平衡點(diǎn).

2 分支分析

當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.根據(jù)Sotomayor’s定理[10]，當(dāng)R0=1且pμr≠μk+k2時(shí)，模型(1)發(fā)生跨臨界分支.由于R0<1時(shí)，模型(1)可能有兩個(gè)正平衡點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]的方法，當(dāng)R0=1且pμr>μk+k2時(shí)，模型經(jīng)歷后向分支.接下來(lái)討論模型的Hopf分支和尖點(diǎn)分支.

2.1 Hopf分支

對(duì)模型(1)作變換(x，y，z)=(S-S*，E-E*，I-I*)，在原點(diǎn)泰勒展開，我們得到

(7)

其中

e=-(pβI*+μ+k)，f=-pβE*+βS*，c0=pβE*I*+kE*-(μ+μd)I*，

j=pβE*-μd-μ，h=pβI*+k，c=-βS*，d=βI*，

此時(shí)，正平衡點(diǎn)P*的特征方程為

λ3+α2λ2+α1λ+α0=0

(8)

其中

α2=-(a+e+j)，α1=-(fh-ae-aj-ej)，α0=-aej+afh-cdh

當(dāng)p=p1時(shí)，我們有α1(p1)>0和α2(p1)α1(p1)-α0(p1)=0，那么特征方程變?yōu)?/p>

(λ+α2(p1))(λ2+α1(p1))=0

(9)

λ1=-α2(p)，λ2=w(p)+iv(p)，λ3=w(p)-iv(p)

將λ2帶入特征方程(8)中，對(duì)p求導(dǎo)，分離實(shí)部和虛部，得到

其中

Z1(p)=3(w2(p)-v2(p))+2α2(p)w(p)+α1(p)

Z2(p)=6w(p)v(p)+2α2(p)v(p)

Z3(p)=α′2(p)(w2(p)-v2(p))+α′1(p)w(p)+α′0(p)

Z4(p)=2α′2(p)w(p)v(p)+α′1(p)v(p)

則有

當(dāng)p穿過(guò)臨界值p1時(shí)，Hopf分支發(fā)生.

通過(guò)變換

(10)

我們得到

(11)

其中Mmns，Nmns和Lmns是依賴于p，β，r，μ，μd和k的系數(shù).P*的局部中心流形有以下形式

其中

模型限制在中心流形

(12)

上，其中

Lyapunov第一系數(shù)可以表示為

基于上述分析，我們有以下定理：

定理2對(duì)于模型(1)，如果l1<0(>0)，那么Hopf分支是超臨界的(亞臨界的)，如果l1=0，那么Hopf分支是退化的.

2.2 尖點(diǎn)分支

(X，Y，Z)T=G(n1，n2，n3)T

(13)

其中G=(U1，U2，U3)，模型變?yōu)?/p>

(14)

其中

根據(jù)文獻(xiàn)[11]的方法，模型(14)存在一個(gè)中心流形，可以局部表示為

Wc={(n1，n2，n3)|n3=G(n1，n2)，|n1|<ε1，|n2|<ε2，G(0，0)=0，DG(0，0)=0}

ε1和ε2足夠小.考慮中心流形

將中心流形帶入模型(14)的第三式，得到

限制在中心流形上的模型為

(15)

通過(guò)變換

得到

(16)

則有以下定理成立：

定理3令R0=1，α1=0，B20≠0且B11+2A20≠0.則正平衡點(diǎn)P*是一個(gè)余維2的尖點(diǎn).

3 數(shù)值模擬

本節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬，分析模型(1)的動(dòng)力學(xué)性態(tài).固定參數(shù)r=4，m=70，p=0.5，μ=0.95，k=0.05，模型隨著d的變化發(fā)生后向分支，R0<1時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)Hopf點(diǎn)(圖1).再選擇p作為分支參數(shù)，固定參數(shù)r=0.04，m=35，β=0.01，μ=0.07，μd=0.01，k=0.1，模型隨著參數(shù)p的變化出現(xiàn)兩個(gè)Hopf點(diǎn)，從第一個(gè)Hopf點(diǎn)出發(fā)到第二個(gè)Hopf點(diǎn)右側(cè)出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，然后變得不穩(wěn)定，最后在第二個(gè)Hopf點(diǎn)消失(圖2).選擇p和k作為分支參數(shù)，隨著參數(shù)p和k的變化模型會(huì)出現(xiàn)B-T分支點(diǎn)，CP分支點(diǎn)和退化的Hopf分支點(diǎn)GH(圖3).隨著參數(shù)p和r的變化，模型在第二個(gè)Hopf分支點(diǎn)右側(cè)出現(xiàn)中性鞍點(diǎn)(圖4).

圖1 后向分支

圖2 Hopf分支

圖3 B-T分支、尖點(diǎn)分支和退化的Hopf分支

圖4 中性鞍點(diǎn)

4 結(jié)論

本文基于結(jié)核病傳播的特點(diǎn)，考慮logistic出生和外源性再感染，建立一個(gè)反映結(jié)核病傳播特點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)模型.利用穩(wěn)定性分析方法，首先確定了模型的基本再生數(shù)，分析了正平衡點(diǎn)的存在性；然后利用規(guī)范型理論研究發(fā)現(xiàn)，模型(1)不僅出現(xiàn)余維1的跨臨界、后向和Hopf分支，還會(huì)出現(xiàn)余維2的尖點(diǎn)和Hopf分支(退化的Hopf分支)；最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證理論結(jié)果，分析給出周期解出現(xiàn)與消失的情況，并發(fā)現(xiàn)模型會(huì)出現(xiàn)B-T分支.這些復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài)說(shuō)明：當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí)，外源性感染也可能導(dǎo)致地方病存在；周期解的存在意味著即使疾病處在低水平也不能說(shuō)明疾病會(huì)逐漸消亡，這給疾病防控措施的制定帶來(lái)很多困難.