華小強(qiáng)，程永強(qiáng)，王宏強(qiáng)，王勇獻(xiàn)，張理論

(1. 國防科技大學(xué) 氣象海洋學(xué)院， 湖南 長沙 410073； 2. 國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

信號檢測是雷達(dá)、聲吶、通信等領(lǐng)域的基本問題，通常，信號檢測的性能與背景雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)性能緊密相關(guān)，雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)精度越高，檢測性能越好。在實(shí)際應(yīng)用中，檢測背景常呈現(xiàn)較強(qiáng)的非均勻特性，極大地限制了協(xié)方差矩陣的估計(jì)性能，為信號檢測帶來了巨大的挑戰(zhàn)。一方面，能用來估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣的均勻樣本數(shù)較少，研究表明，當(dāng)樣本數(shù)大于等于數(shù)據(jù)維數(shù)的2倍時(shí)，檢測性能損失小于3 dB，而當(dāng)樣本數(shù)小于2倍的數(shù)據(jù)維數(shù)時(shí)，信號檢測性能存在較大的損失；另一方面，用來估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣的樣本中不可避免地存在干擾，使得協(xié)方差矩陣估計(jì)的穩(wěn)健性下降，嚴(yán)重影響了信號檢測的性能。小樣本、非均勻雜波下的信號檢測是一個(gè)難點(diǎn)問題，亟須提升信號檢測的性能。

為了提升小樣本、非均勻雜波下的信號檢測性能，通常有兩類方法：一類是利用背景雜波或結(jié)構(gòu)矩陣的先驗(yàn)信息來提升協(xié)方差矩陣的估計(jì)精度或魯棒性，如文獻(xiàn)[1]假設(shè)干擾服從多通道自回歸(autoregressive, AR)模型，并以此設(shè)計(jì)了兩種檢測器，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了檢測性能在小樣本條件下的優(yōu)勢；文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了一種魯棒的對稱泰勒M估計(jì)器，該估計(jì)器對干擾具有較好的魯棒性；文獻(xiàn)[3]假設(shè)雜波協(xié)方差矩陣具有Kronecker結(jié)構(gòu)，根據(jù)此結(jié)構(gòu)分析了信雜比(signal-to-clutter-noise ratio, SCNR)的損失和檢測性能提升的情況，并依據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢。類似的方法還有假設(shè)矩陣具有托普利茲結(jié)構(gòu)、低秩結(jié)構(gòu)等[4-6]，這類方法能取得性能提升的關(guān)鍵是獲取合適的雜波先驗(yàn)信息，然而，在實(shí)際應(yīng)用中很難獲得雜波環(huán)境的統(tǒng)計(jì)特性等先驗(yàn)信息，極大限制了此類方法的實(shí)用性。另一類方法不需要依據(jù)雜波協(xié)方差矩陣的統(tǒng)計(jì)特性等先驗(yàn)信息，將樣本的相關(guān)性數(shù)據(jù)建模為一個(gè)托普利茲正定矩陣，在矩陣流形上度量目標(biāo)信號與雜波對應(yīng)矩陣間的區(qū)分性，以此實(shí)現(xiàn)信號檢測。這類方法以矩陣信息幾何理論為基礎(chǔ)，利用流形局部幾何結(jié)構(gòu)的差異性來衡量目標(biāo)與雜波間的區(qū)別，因此稱為矩陣信息幾何檢測器，主要有黎曼均值檢測器[7]、信息散度檢測器[8-13]等，該類檢測器已成功應(yīng)用于飛機(jī)尾流檢測[14]、X波段雷達(dá)目標(biāo)檢測[15]以及非高斯雜波下的信號檢測[16-18]，并被證明具有一定的性能優(yōu)勢。該類方法的性能和目標(biāo)與雜波間的區(qū)分性、模型結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)特征等因素有關(guān)。

基于矩陣信息幾何檢測器的思想，本文提出一種流形濾波方法來提升目標(biāo)與雜波間的區(qū)分性，將每一個(gè)樣本的相關(guān)性數(shù)據(jù)建模為一個(gè)正定矩陣，在矩陣流形上，利用樣本矩陣周圍的若干矩陣進(jìn)行流形濾波，去除部分雜波信息。具體地，利用鄰近矩陣的加權(quán)幾何均值來代替矩陣，類似于歐氏空間中的平滑濾波思想，增強(qiáng)目標(biāo)與雜波間的區(qū)分性，提高信雜比。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算輔助樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)矩陣的幾何均值，比較待檢測樣本矩陣與幾何均值間的距離和檢測門限之間的大小，以實(shí)現(xiàn)對是否存在目標(biāo)的判決。仿真實(shí)驗(yàn)證明，相比于自適應(yīng)匹配濾波(adaptive matched filter, AMF)和未進(jìn)行流形濾波的幾何檢測器，該檢測方法在小樣本、非均勻雜波下具有明顯的性能優(yōu)勢。

1 矩陣信息幾何理論的基本知識

矩陣信息幾何[19]是在矩陣流形上采用微分幾何方法來研究矩陣類數(shù)據(jù)的信息處理問題的一門學(xué)科，是信息幾何理論[20-25]在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)展較快的一套理論體系，信息科學(xué)中的許多問題，如分類、參數(shù)估計(jì)等，都可以與矩陣流形的幾何結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系，從而將信息處理問題轉(zhuǎn)化為矩陣流形上的幾何問題來研究，將問題幾何化，通過解決幾何問題來完成信息處理問題。目前，矩陣信息幾何理論一方面正在完善其理論體系，另一方面擴(kuò)展其應(yīng)用，在信息科學(xué)領(lǐng)域取得的一些成果都具有一定的開創(chuàng)性。下面將介紹與本文相關(guān)的一些矩陣信息幾何理論的基本概念，即Hermitian正定矩陣流形、幾何度量及其均值。

1.1 Hermitian正定矩陣流形的幾何

矩陣流形是矩陣信息幾何的研究基礎(chǔ)，對于一個(gè)n階復(fù)矩陣A∈n×n，如果AH=A，則A為Hermitian矩陣，所有的n×n階Hermitian矩陣構(gòu)成集合Hn，即

Hn={A|A=AH}

(1)

對于矩陣A∈n×n，如果?x∈n且x≠0，二次型都滿足xHAx>0，則稱矩陣A為正定矩陣，記為A0。如果矩陣A滿足A∈Hn且A0，則稱矩陣A為Hermitian正定矩陣，所有的n×n階Hermitian正定矩陣構(gòu)成集合即

(2)

(3)

其中，tr(·)表示矩陣的跡。相應(yīng)的范數(shù)可定義為

(4)

[0,1]

(5)

基于式(5)的測地線，可計(jì)算R1和R2間中點(diǎn)，即均值G(R1,R2)：

(6)

G(R1,R2)表示連接R1和R2的測地線的中點(diǎn)，即到點(diǎn)R1和R2的距離相等的點(diǎn)。

1.2 矩陣流形上的度量及其均值

在矩陣流形上，度量兩點(diǎn)間距離的方法很多，不同的度量方法反映了流形不同的幾何結(jié)構(gòu)，所度量出的差異性也不同。常用的度量方法有AIRM、對數(shù)歐幾里得度量(log-Euclidean metric, LEM)、對稱庫爾貝克-萊布勒散度(symmetric Kullback-Leibler divergence, SKLD)以及詹森-布雷格曼洛格德特散度(Jensen-Bregman LogDet divergence, JBLD)，這四種度量均滿足對稱性，即距離函數(shù)滿足δ(A,B)=δ(B,A)。其中，AIRM和LEM是測地線距離，滿足距離的性質(zhì)；AIRM、SKLD和JBLD具有仿射不變性，即對于可逆矩陣M∈n×n，δ(MHAM,MHBM)=δ(A,B)。四種距離度量的定義如下：

(7)

(8)

(9)

其中，I表示單位矩陣。

(10)

不同的幾何度量確定了流形的不同幾何結(jié)構(gòu)，在流形上利用不同的幾何度量所度量出兩點(diǎn)間的差異性不同，選取合適的幾何度量，可以得到較好的區(qū)分性。此外，基于不同的幾何度量，可以得到不同的幾何均值。

對于一組實(shí)數(shù)xi∈,i=1,2,…,K，其均值為K個(gè)數(shù)之和的平均，即實(shí)質(zhì)上，代數(shù)均值是到K個(gè)數(shù)的距離平方和最小的值，可以表示為如下的優(yōu)化問題：

(11)

(12)

其中，αi是第i個(gè)矩陣對應(yīng)的權(quán)值，d(·,·)表示兩矩陣間的幾何距離。

利用不同的幾何距離，可得到不同的幾何均值，四種幾何均值由以下推論給出。

推論1對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應(yīng)的AIRM均值由以下迭代式給出：

(13)

推論2對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應(yīng)的LEM均值由下式給出：

(14)

推論3對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應(yīng)的SKLD均值由下式給出：

(15)

推論4對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應(yīng)的JBLD均值由下式給出：

(16)

上述推論中，下標(biāo)t表示迭代次數(shù)，εt表示迭代步長。

2 基于流形濾波的幾何檢測器

基于流形濾波的幾何檢測器的基本思想是將樣本的相關(guān)性數(shù)據(jù)建模為一個(gè)正定矩陣，在矩陣流形上通過濾波處理去除部分雜波信息，并利用局部幾何結(jié)構(gòu)的差異性來區(qū)分目標(biāo)與雜波，從而實(shí)現(xiàn)信號檢測。下面首先介紹流形濾波的基本原理，然后介紹基于流形濾波的幾何檢測原理。

2.1 流形濾波的基本原理

(17)

(18)

對于不同的幾何距離，濾波后的矩陣都不一樣。 對于權(quán)值wi，通常要求其滿足以下約束：

(19)

權(quán)值wi需考慮兩矩陣在流形上的差異性，本文取指數(shù)函數(shù)來定義相似性權(quán)值，并考慮歸一化，權(quán)值wi可定義為

(20)

在上述的濾波中，m和h是自由參數(shù)，m表示用來濾波的矩陣數(shù)目，m越大，用來濾波的矩陣數(shù)越多，濾波效果越好；h表示濾波控制參數(shù)，h越大，濾波矩陣的權(quán)值差異性越小，濾波效果越接近等權(quán)值的均值，濾波效果越差。

圖1 流形濾波前后雜波與目標(biāo)信號間的區(qū)分性Fig.1 Discrimination between clutter and target signal before and after manifold filter

2.2 基于流形濾波的幾何檢測原理

基于流形濾波的幾何檢測器首先將樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性建模為正定矩陣，在矩陣流形上利用每個(gè)矩陣的鄰近矩陣進(jìn)行加權(quán)濾波以去除部分雜波信息，提升雜波與目標(biāo)間的區(qū)分性；然后，計(jì)算輔助樣本對應(yīng)矩陣集的幾何均值，比較待檢測樣本矩陣與幾何均值間的距離和檢測門限之間的大小，從而實(shí)現(xiàn)信號檢測，其檢測原理如圖2所示。

圖2 基于流形濾波的幾何檢測原理Fig.2 Principle of geometric detectors based on manifold filter

對于樣本數(shù)據(jù)r=[r0,r1,…,rn-1]T，其相關(guān)性可通過建立AR模型來獲取，樣本數(shù)據(jù)r的相關(guān)性矩陣可表示為

(21)

(22)

其中，H0和H1分別表示只有雜波和含有目標(biāo)信號的假設(shè)，γ是檢測門限。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，通過仿真實(shí)驗(yàn)來分析幾何均值的魯棒性、流形濾波前后的區(qū)分性變化以及檢測性能的優(yōu)勢，并與自適應(yīng)檢測器進(jìn)行比較。

3.1 幾何均值的魯棒性分析

為了驗(yàn)證幾何均值對干擾的魯棒性，仿真產(chǎn)生40個(gè)服從均值為0、協(xié)方差矩陣為Σ的高斯分布的樣本數(shù)據(jù)，協(xié)方差矩陣Σ由式(23)計(jì)算得到。

(23)

(24)

圖3給出了不同干擾數(shù)對幾何均值的影響，從結(jié)果可以看出，干擾數(shù)對樣本協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix, SCM)的影響最大，其誤差曲線的斜率最大，而干擾數(shù)對幾何均值的影響較小，其中，干擾數(shù)對JBLD均值的影響最小，AIRM和LEM均值的誤差接近，SKLD均值的誤差最大。這說明，幾何均值對干擾數(shù)的魯棒性強(qiáng)于SCM，在四種幾何均值中，JBLD均值的魯棒性最好，SKLD均值的魯棒性最差，而AIRM和LEM的魯棒性接近。

圖3 不同干擾數(shù)對幾何均值的影響Fig.3 Influence of different number of interferences on geometric means

(25)

圖4給出了不同樣本數(shù)對雜波矩陣估計(jì)性能的影響，從結(jié)果可以看出，在不同樣本數(shù)下，SCM的誤差比幾何均值的誤差大，這說明，利用幾何均值進(jìn)行雜波矩陣估計(jì)，其估計(jì)性能受樣本數(shù)的影響較小。在四種幾何均值中，SKLD均值的誤差最小，而AIRM均值、LEM均值和JBLD均值的誤差比較接近，這說明利用SKLD均值作為雜波矩陣，其估計(jì)性能受樣本數(shù)的影響最小，而AIRM均值、LEM均值和JBLD均值受樣本數(shù)的影響比較接近。

圖4 不同樣本數(shù)對雜波矩陣估計(jì)性能的影響Fig.4 Influence of different number of sample on the performance of clutter matrix estimation

上述實(shí)驗(yàn)分別驗(yàn)證了幾何均值對不同干擾數(shù)的魯棒性以及不同樣本數(shù)對幾何均值的估計(jì)性能影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，幾何均值對干擾數(shù)的魯棒性強(qiáng)于SCM，其中，JBLD均值的魯棒性最好，其次是AIRM和LEM均值，SKLD均值的魯棒性是四種幾何均值中最差的。同時(shí)，利用幾何均值進(jìn)行雜波矩陣估計(jì)的性能受樣本數(shù)的影響小于SCM，其中，SKLD均值受樣本數(shù)的影響最小。這些結(jié)果充分驗(yàn)證了幾何均值對干擾數(shù)和樣本數(shù)的魯棒性。

3.2 目標(biāo)與雜波間的區(qū)分性分析

為了驗(yàn)證流形濾波前后目標(biāo)與雜波間的區(qū)分性變化情況，仿真產(chǎn)生40個(gè)樣本數(shù)據(jù)，在第20個(gè)樣本數(shù)據(jù)中加入信雜比為20 dB的信號，將每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)建模為一個(gè)正定矩陣，對每一個(gè)樣本矩陣，利用其左右各5個(gè)樣本矩陣計(jì)算幾何均值，然后，計(jì)算每個(gè)樣本矩陣與其對應(yīng)幾何均值矩陣之間的幾何距離，并將其歸一化，得到歸一化檢測統(tǒng)計(jì)量。

圖5給出了不同幾何均值檢測器的歸一化統(tǒng)計(jì)量結(jié)果，其中，AIRM、LEM、SKLD、JBLD以及WAIRM、WLEM、WSKLD、WJBLD分別是流形濾波前后的檢測器。從結(jié)果可以看出，濾波后，雜波的歸一化檢測統(tǒng)計(jì)量相對變小，這說明，雜波與雜波之間的距離變得更小。此外，目標(biāo)處的歸一化檢測統(tǒng)計(jì)量為1，相對于雜波的歸一化檢測統(tǒng)計(jì)量來說，濾波后，目標(biāo)與雜波間的距離變得更大。這也說明，濾波后，雜波與雜波相距更近，而目標(biāo)與雜波相距更遠(yuǎn)，目標(biāo)與雜波間的區(qū)分能力變強(qiáng)，信雜比提升。

(a) AIRM均值(a) AIRM mean

為了進(jìn)一步分析目標(biāo)信號與雜波間的區(qū)分性，利用流形上的局部幾何結(jié)構(gòu)描述方法，即各向異性因子。對于流形上的任一點(diǎn)P，其各向異性因子定義為

(26)

各向異性因子A(P)描述了矩陣流形上點(diǎn)P處的局部各向異性，不同位置處的各向異性不同，各向異性因子的大小與所利用的幾何距離度量方法有關(guān)。對于矩陣流形上兩點(diǎn)間的局部幾何結(jié)構(gòu)的差異，考慮到不同度量方法帶來的量綱差異，利用式(27)來定義矩陣流形上兩點(diǎn)P1和P2間的區(qū)分能力描述子：

(27)

式(27)定義的區(qū)分能力通過兩各向異性因子之商，可以消除量綱的影響，同時(shí)，假設(shè)點(diǎn)P1表示含目標(biāo)信號，點(diǎn)P2只包含雜波，則兩點(diǎn)間的區(qū)分能力描述子L(P1,P2)越大，P1和P2之間的區(qū)分性越好。仿真產(chǎn)生了100組樣本數(shù)據(jù)，每組樣本數(shù)據(jù)包含13個(gè)樣本，在第13個(gè)樣本數(shù)據(jù)中加入信雜比為20 dB的目標(biāo)信號，利用前12個(gè)樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩陣計(jì)算幾何均值，計(jì)算兩矩陣間的區(qū)分能力描述子L(P1,P2)，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同幾何度量在濾波前后的區(qū)分能力Fig.6 Discrimination ability of different geometric measures before and after manifold filter

從圖6的結(jié)果可以看出，流形濾波之后，目標(biāo)與雜波間的區(qū)分能力描述子的值變大，這說明，目標(biāo)與雜波間的區(qū)分性變強(qiáng)，這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法的有效性。

3.3 檢測性能分析

為了驗(yàn)證基于流形濾波的幾何檢測器的性能優(yōu)勢，分別在高斯和非高斯雜波下仿真產(chǎn)生1 000組樣本數(shù)據(jù)，每組樣本數(shù)據(jù)中包含K個(gè)僅含雜波的輔助數(shù)據(jù)和1個(gè)含有目標(biāo)信號的樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的維數(shù)為n，在實(shí)驗(yàn)中，取n=8。計(jì)算輔助數(shù)據(jù)對應(yīng)矩陣的幾何均值，然后計(jì)算目標(biāo)樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)矩陣與幾何均值間的幾何距離，并與檢測門限進(jìn)行對比，分別給出K=n和K=1.5n條件下不同幾何檢測器的檢測性能曲線，如圖7～10所示。

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

從圖中結(jié)果可以看出，當(dāng)K=n時(shí)，由于利用SCM進(jìn)行雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)性能較差，AMF算法基本失效，而幾何檢測器的性能較好，濾波后的檢測器性能均優(yōu)于未濾波的幾何檢測器。當(dāng)K=1.5n時(shí)，幾何檢測器的性能同樣優(yōu)于AMF的性能。此外，可以看出，隨著輔助樣本數(shù)K的增加，幾何檢測器的性能變好，并且，高斯雜波下的性能比非高斯雜波下的性能要好，這些結(jié)果充分驗(yàn)證了基于流形濾波的幾何檢測器的性能優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文針對小樣本、非均勻雜波下的信號檢測問題，提出了一種基于流形濾波的矩陣信息幾何檢測器，該檢測器將信號檢測問題轉(zhuǎn)化為矩陣流形上的幾何問題。該檢測方法將樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性建模為一個(gè)正定矩陣，在矩陣流形上通過加權(quán)平滑濾波的方法去除部分雜波信息，增強(qiáng)雜波與目標(biāo)信號檢測的區(qū)分性，從而提升信雜比。此外，通過比較待檢測樣本矩陣與輔助數(shù)據(jù)對應(yīng)矩陣的幾何均值之間的距離與檢測門限的大小以實(shí)現(xiàn)信號檢測。仿真實(shí)驗(yàn)分析表明，幾何均值對干擾數(shù)和樣本數(shù)具有較強(qiáng)的魯棒性，同時(shí)，通過流形濾波可使得雜波間的距離更小，而目標(biāo)信號與雜波間的距離更大，并依據(jù)檢測性能曲線驗(yàn)證了基于流形濾波的幾何檢測器的性能優(yōu)勢。