劉 強(qiáng)，李 婧，張雄偉，賀西平*

(1 陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119;2 中北大學(xué) 先進(jìn)制造技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051)

超聲換能器是完成電能和機(jī)械能轉(zhuǎn)化的裝置，在工業(yè)中使用最廣泛的換能器是磁致伸縮換能器和壓電換能器[1]。超磁致伸縮材料(giant magnetostrictive material, GMM)與壓電陶瓷材料相比，其導(dǎo)熱系數(shù)高，散熱性好，響應(yīng)速度快，負(fù)載力強(qiáng)，且具有磁致伸縮系數(shù)大，能量密度高，無過熱失效。GMM廣泛應(yīng)用于換能器、傳感器、振動(dòng)能量收集等領(lǐng)域[2-6]。

當(dāng)換能器的橫向尺寸小于1/4波長(zhǎng)時(shí)，可忽略橫向振動(dòng)對(duì)縱振頻率的影響，故傳統(tǒng)超磁致伸縮換能器一般根據(jù)一維縱向理論進(jìn)行設(shè)計(jì)。為滿足換能器高功率和高機(jī)械強(qiáng)度的要求，就必須加大其橫向尺寸，由于泊松效應(yīng)，縱向振動(dòng)與徑向振動(dòng)之間產(chǎn)生較強(qiáng)的相互作用，形成耦合振動(dòng)，此時(shí)超磁致伸縮換能器的橫向振動(dòng)不可忽略，一維理論設(shè)計(jì)結(jié)果將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。為此，Mori等[7]提出了解決各向同性實(shí)心圓柱耦合振動(dòng)的表觀彈性方法；任樹初[8-9]對(duì)大尺寸橫向振動(dòng)體的諧振頻率進(jìn)行了計(jì)算研究；Karafi等[10]基于表觀彈性法，設(shè)計(jì)了一個(gè)橫向尺寸大于1/4波長(zhǎng)的夾心式超聲換能器的設(shè)計(jì)程序。

在高頻磁場(chǎng)中工作時(shí)，材料中會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的渦流損耗，渦流的存在會(huì)削弱驅(qū)動(dòng)線圈所提供的磁場(chǎng)，并改變磁場(chǎng)的均勻性。與頻率相關(guān)的磁滯、渦流不僅會(huì)降低超磁致伸縮材料的能量轉(zhuǎn)換效率，還會(huì)改變換能器的溫度分布，而溫升會(huì)引起換能器諧振頻率降低，振幅穩(wěn)定性下降[11]。Meng等[12]研究了TbDyFe/環(huán)氧復(fù)合材料的磁能損耗及其頻率依賴性，發(fā)現(xiàn)主要損耗來自復(fù)合材料的磁滯損耗和整體TbDyFe合金的渦流損耗。黃文美等[13]測(cè)量了TbDyFe合金在不同頻率和磁通密度的動(dòng)態(tài)磁特性曲線，提出了一種變溫條件下磁致伸縮材料的高頻損耗計(jì)算模型。Xu等[14]通過建立GMM的動(dòng)態(tài)損耗模型預(yù)測(cè)交變磁場(chǎng)和預(yù)應(yīng)力下GMM的動(dòng)態(tài)磁致伸縮效應(yīng)。隨著激勵(lì)頻率的增加，渦流損耗逐漸主導(dǎo)能量損失，而異常損失的影響并不明顯。以上研究表明：分析和控制渦流損耗對(duì)于提高超磁致伸縮換能器的工作效率至關(guān)重要。

為降低稀土棒的渦流損耗，減小傳統(tǒng)解析法設(shè)計(jì)超磁致伸縮換能器存在的誤差。本文基于耦合振動(dòng)理論設(shè)計(jì)了超磁致伸縮換能器，由表觀彈性法求出換能器的等效彈性常數(shù)，對(duì)換能器的共振頻率進(jìn)行了計(jì)算。利用有限元軟件對(duì)設(shè)計(jì)的換能器進(jìn)行模態(tài)分析，并對(duì)GMM棒的渦流損耗問題進(jìn)行計(jì)算。進(jìn)一步研制了一種超磁致伸縮換能器的樣機(jī)，對(duì)換能器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，比較分析了換能器共振頻率的理論計(jì)算值、仿真計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的誤差。

1 耦合振動(dòng)理論及換能器設(shè)計(jì)

超磁致伸縮換能器的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。在導(dǎo)磁圓筒與后蓋板上設(shè)置螺紋，導(dǎo)磁圓筒通過螺紋固定在后蓋板上。前蓋板、后蓋板、導(dǎo)磁塊、永磁體、GMM棒通過預(yù)緊螺栓和螺母固定。

1.前蓋板 2.螺母 3.導(dǎo)磁塊 4.永磁體 5.導(dǎo)磁圓筒 6.線圈 7.GMM棒 8.后蓋板 9.螺栓

1.1 耦合振動(dòng)理論

半徑為r、長(zhǎng)為2l的圓柱形彈性振動(dòng)體，在不考慮剪切形變，只考慮伸縮形變的條件下，其振動(dòng)等效為細(xì)圓柱的純縱向振動(dòng)和薄圓盤的純徑向振動(dòng)。在不同方向的振動(dòng)可以用不同的表觀彈性常數(shù)進(jìn)行表征。根據(jù)彈性力學(xué)理論，在柱坐標(biāo)下，振動(dòng)體內(nèi)任一點(diǎn)的正應(yīng)力σr、σθ、σz與正應(yīng)變?chǔ)舝、εθ、εz之間的關(guān)系為

(1)

(2)

(3)

式中，E和v分別為材料的彈性常數(shù)及泊松比。在準(zhǔn)靜態(tài)情況下，σr=σθ，由式(1)～(3)可得

Ez=E/(1+2v/n)，

(4)

Er=E/[1-v2+nv(1+v)]。

(5)

式中：n= ―σz/σr，表示振動(dòng)體內(nèi)縱向振動(dòng)與徑向振動(dòng)之間的耦合系數(shù)，n決定了2個(gè)一維振動(dòng)之間的耦合程度以及相互關(guān)系；Ez=σz/εz、Er=σr/εr分別為振動(dòng)體在z及r方向的表觀彈性常數(shù)。兩端自由的圓柱體縱向頻率方程和徑向頻率方程分別為

sin(2kzl)=0，

(6)

krrJ0(krr)-(1-v)J1(krr)=0。

(7)

式中：kz=ω/Cz，kr=ω/Cr，Cz= (Ez/ρ)1/2，Cr= (Er/ρ)1/2，kz、kr及Cz、Cr分別表示等效的縱向及徑向振動(dòng)的波數(shù)以及聲速，ω為角頻率，ρ為密度;J0及J1分別為零階以及一階貝塞爾函數(shù)。由(6)～(7)式可得

2kzl=iπ，

(8)

krr=R(j)。

(9)

式中：i，j=1,2,3…。

根據(jù)上述各式可得出圓柱體耦合振動(dòng)的耦合系數(shù)

(10)

根據(jù)(10)式求得耦合系數(shù)n，帶入式(4)～(5)，可得到換能器各部分的等效彈性常數(shù)和波數(shù)。

1.2 換能器設(shè)計(jì)

將換能器的前后蓋板、GMM看作桿，假設(shè)其進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)，桿縱向振動(dòng)的波動(dòng)方程為

(11)

式中：ξ(x)為質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)；S(x)為桿的橫截面積；k為波數(shù)。圓錐形截面桿的振速V(x)、彈性力F(x)的通解為

(12)

(13)

式中：A、B為待定系數(shù)；Z=ρcS為超聲振子的特征聲阻抗；α=(D1-D2)/D1l，D1、D2、l分別為圓錐形變截面桿大端直徑、小端直徑以及圓錐形截面桿的長(zhǎng)度；S(x)為任意位置處圓錐形截面桿的橫截面積。

節(jié)面位于換能器的后導(dǎo)磁塊與后蓋板的結(jié)合面，后蓋板的長(zhǎng)度即為1/4波長(zhǎng)。換能器的前端和后端處于自由狀態(tài)，所以F1(0) =F5(l5) = 0。在節(jié)面處的振速為0，即V1(l1) =V2(0) = 0，根據(jù)換能器各界面處的振速及力連續(xù)邊界條件，可得到頻率方程為

(14)

式中，A5和B5為待定系數(shù)。

表1為換能器的材料參數(shù)，根據(jù)換能器的頻率方程與已知參數(shù)，基于一維縱向振動(dòng)理論，求得換能器的共振頻率。并采用表觀彈性法求出換能器各部分的等效彈性常數(shù)和波數(shù)，由頻率方程以及參數(shù)求出修正后換能器的共振頻率。

表1 材料參數(shù)

2 仿真分析和實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證超磁致伸縮換能器理論計(jì)算的結(jié)果，根據(jù)圖1設(shè)定換能器的尺寸為：l1=62.5 mm，l2=6 mm，l3=20 mm，l4=6 mm，D1=62 mm，D2=D3=D4=20 mm，d5=50 mm(變幅桿小端直徑)，D5=62 mm(變幅桿大端直徑)，l5=7 mm。

在Solidworks中建立超磁致伸縮換能器的模型導(dǎo)入ANSYS有限元軟件中，采用壓磁-壓電比擬法對(duì)換能器進(jìn)行模態(tài)分析，圖2為超磁致伸縮換能器的振動(dòng)模態(tài)，換能器的共振頻率為21 021 Hz，換能器后蓋板的振幅最小,前蓋板的振幅最大,說明了換能器結(jié)構(gòu)的合理性。

圖2 換能器的振動(dòng)模態(tài)

在有限元軟件中對(duì)兩種結(jié)構(gòu)GMM棒的渦流損耗進(jìn)行仿真計(jì)算，分別為未處理的GMM棒和切片處理的GMM棒，根據(jù)換能器的工作頻率計(jì)算出切片處理GMM棒中切片厚度為1.3 mm左右[15]。設(shè)置線圈匝數(shù)為350匝，激勵(lì)電壓為45 V，圖3為仿真計(jì)算得到兩種GMM棒的渦流損耗分布圖，未處理GMM棒(圖3a)的渦流損耗主要集中在外徑表面附近，內(nèi)部較?。欢衅幚鞧MM棒(圖3b)外表面的渦流損耗明顯減小。仿真計(jì)算得到未處理GMM棒的渦流損耗為0.484 W，切片處理GMM棒的渦流損耗為0.155 W，切片處理GMM棒的渦流損耗比未處理GMM棒減小了67.98%。

圖3 不同結(jié)構(gòu)GMM棒的渦流損耗分布圖

研制的樣機(jī)如圖4所示，利用阻抗分析儀對(duì)換能器進(jìn)行頻率測(cè)試。

圖4 換能器的樣機(jī)

圖5為頻率測(cè)量得到的超磁致伸縮換能器的阻抗曲線，從圖中可以看出換能器的共振頻率為20.790 kHz。

圖5 換能器的阻抗曲線

表2為超磁致伸縮換能器理論計(jì)算、仿真模擬、實(shí)驗(yàn)測(cè)試的共振頻率，一維縱向振動(dòng)理論求得換能器的共振頻率為fr，表觀彈性法求得換能器的共振頻率為fc，有限元仿真分析求得換能器的共振頻率為fn，實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到換能器的共振頻率為fm，Δfr為一維縱向振動(dòng)理論與實(shí)際測(cè)量求得共振頻率的相對(duì)誤差，Δfc為表觀彈性法與實(shí)際測(cè)量求得共振頻率的相對(duì)誤差，Δfn為有限元仿真模擬與實(shí)際測(cè)量求得共振頻率的相對(duì)誤差。從表2中可以看出一維縱向振動(dòng)理論求出換能器共振頻率與實(shí)測(cè)值的誤差為18.73%，表觀彈性法求得換能器的共振頻率與實(shí)測(cè)值的誤差為0.22%，有限元法求得換能器的共振頻率與實(shí)測(cè)值的誤差為1.1%?；谝痪S縱向振動(dòng)理論求出換能器的共振頻率值與實(shí)際測(cè)量值誤差較大，而表觀彈性法計(jì)算得到換能器的共振頻率與實(shí)際測(cè)量比較接近；這是由于一維振動(dòng)理論要求換能器的橫向尺寸遠(yuǎn)小于其縱波波長(zhǎng)，當(dāng)橫向尺寸較大時(shí)，由于耦合振動(dòng)的存在會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，而表觀彈性法考慮了換能器的橫向振動(dòng)，計(jì)算所得到的結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值更加接近。

表2 換能器的諧振頻率

3 結(jié)論

本文利用有限元軟件對(duì)稀土棒的渦流損耗進(jìn)行分析計(jì)算，并基于解析法設(shè)計(jì)了一種超磁致伸縮換能器，利用表觀彈性法得出換能器的等效彈性常數(shù)，對(duì)換能器的共振頻率進(jìn)行了計(jì)算；并對(duì)換能器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析；研制了超磁致伸縮換能器的樣機(jī)，采用阻抗分析儀對(duì)換能器進(jìn)行頻率測(cè)試。得到以下結(jié)論：

(1)未處理稀土棒的渦流損耗外徑表面大，內(nèi)部??；與未處理棒相比，切片稀土棒的外徑表面渦流損耗明顯減小。切片處理GMM棒的渦流損耗比未處理GMM棒減小67.98%。

(2)基于一維縱向振動(dòng)理論求出換能器共振頻率與實(shí)驗(yàn)測(cè)值的誤差為18.73%，表觀彈性法求得換能器的共振頻率與實(shí)驗(yàn)測(cè)值的誤差為0.22%，根據(jù)表觀彈性法計(jì)算的換能器共振頻率與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值比較符合。