王君玲，李子昂，陳 偉，高玉芝，郭彩玲

(1.唐山學(xué)院 河北省智能裝備數(shù)字化設(shè)計(jì)及過(guò)程仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.北京理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100018；3.盛田印刷包裝機(jī)械有限公司，河北 玉田 064100)

0 引言

模切機(jī)是印后包裝加工成型的重要設(shè)備，其工作原理是利用鋼刀、五金模具、鋼線(或鋼板雕刻成的模版)，通過(guò)壓印版施加一定的壓力，將印品或紙板軋切成一定形狀。網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的流行和物流行業(yè)的發(fā)展，帶動(dòng)了紙質(zhì)包裝印刷行業(yè)的興起，紙質(zhì)包裝需求量不斷提升，市場(chǎng)對(duì)高效率、高質(zhì)量模切機(jī)的需求量也隨之與日俱增。模切機(jī)構(gòu)是模切機(jī)的核心，目前主流模切機(jī)的模切機(jī)構(gòu)主要為平面雙肘桿機(jī)構(gòu)，是單自由度復(fù)雜Ⅲ級(jí)機(jī)構(gòu)。此機(jī)構(gòu)依據(jù)曲柄中心與二肘桿鉸接中心是否存在高度差，分為對(duì)稱式和偏置式；依據(jù)肘桿兩側(cè)曲柄的夾角是否為180°，分為夾角式和非夾角式；依據(jù)曲柄位置的不同，又分為內(nèi)置式和外置式[1]。此外，還有凸輪式[2]和雙滑塊式[3]，以及便于數(shù)字控制的氣液增壓式[4]等創(chuàng)新型肘桿模切機(jī)構(gòu)，而且它們都保留了增力倍數(shù)高的肘桿機(jī)械結(jié)構(gòu)。模切機(jī)構(gòu)的工作性能直接影響印刷產(chǎn)品的質(zhì)量，因此，對(duì)模切機(jī)構(gòu)各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行科學(xué)分析有助于對(duì)此裝置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高其性能。

劉尊義、羅勇等利用外罰函數(shù)法和BFGS變尺度法、轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)法等對(duì)模切機(jī)的雙肘桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)分析[5-6]。張?zhí)燔?、宋榮、李發(fā)展、趙小剛等利用三維分析軟件建立的模切機(jī)肘桿機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)進(jìn)行了仿真分析，得出了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性曲線和桿件受力曲線[7-10]。秦培亮等采用對(duì)稱布局的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種基于肘桿機(jī)構(gòu)的雙輸出軸電機(jī)驅(qū)動(dòng)的數(shù)控雙工位臥式?jīng)_壓機(jī)，并對(duì)其進(jìn)行了仿真分析[11]。余光莉等基于封閉矢量法對(duì)雙自由度平面混合輸入機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真研究，為平面混合輸入機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析提供了新思路和新方法[12]。上述研究從不同角度探討了雙肘桿模切機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，但大多是針對(duì)一個(gè)具體結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行分析，未能給出該機(jī)構(gòu)各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的顯式表達(dá)，也未分析主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響。因此，本文擬采用矢量復(fù)數(shù)法和桿長(zhǎng)逼近約束條件法建立偏置式雙肘桿模切機(jī)構(gòu)的位移分析模型，從滿足位移要求角度進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 雙肘桿機(jī)構(gòu)位移求解

圖1為平壓偏置式雙肘桿模切機(jī)構(gòu)示意圖。此機(jī)構(gòu)由曲柄1，連桿2和8，肘桿3，4，6，7以及動(dòng)平臺(tái)5，導(dǎo)向塊9和機(jī)架組成。其工作原理為曲柄1轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿2和8帶動(dòng)肘桿3，4，6，7擺動(dòng)，進(jìn)而使與上肘桿鉸接的動(dòng)平臺(tái)5在導(dǎo)向塊9的引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)模切運(yùn)動(dòng)。

圖1 平壓偏置式雙肘桿模切機(jī)構(gòu)示意圖

不失一般性，取曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于下肘桿的轉(zhuǎn)動(dòng)中心連線，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)L1為曲柄1的長(zhǎng)度，L2，L8分別為連桿2和8的長(zhǎng)度，L3，L7分別為下肘桿3和7的長(zhǎng)度，L4，L6分別為上肘桿4和6的長(zhǎng)度，2L5為動(dòng)平臺(tái)兩鉸接副之間的長(zhǎng)度，E為DH的中心點(diǎn)，S為動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于導(dǎo)向擺塊的位移，θi分別為各個(gè)構(gòu)件的角位移，α為兩曲柄夾角，β為動(dòng)平臺(tái)DH與移動(dòng)導(dǎo)路中心的夾角，并規(guī)定各矢量與x軸正向夾角逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)為正值。

整個(gè)機(jī)構(gòu)由兩個(gè)Ⅱ級(jí)桿組和一個(gè)Ⅲ級(jí)桿組組成。依據(jù)基本桿組拆分和對(duì)稱性原則，建立四個(gè)封閉矢量圖，對(duì)每個(gè)矢量圖分別列出矢量方程，可求解相應(yīng)角位移參數(shù)。

1.1 連桿和下肘桿角位移求解

連桿與下肘桿組成簡(jiǎn)單Ⅱ級(jí)桿組，與機(jī)架和曲柄分別組成矢量圖OA1BCO和矢量圖OA2JKO，可直接求得正解。

由矢量圖OA1BCO列矢量方程(1)，將其展開(kāi)得方程組(2)，可求解θ2和θ3。

(1)

(2)

令A(yù)=(-Lx1+L1cosθ1)2+(Ly+L1sinθ1)2+L22-L32，

B=2L2(-Lx1+L1cosθ1)，

C=2L2(Ly+L1sinθ1)，

可得：

將其帶入方程組(2)，可求得θ3。

同理，由矢量圖OA2JKO可列出矢量方程(3)，將其展開(kāi)得方程組(4)，可求解θ8和θ7。

(3)

(4)

令A(yù)A=[-Lx2+L1cos(θ1+α)]2+[(Ly+L1sin(θ1+α)]2+L82-L72，

BB=2L8[Lx2+L1cos(θ1+α)]，

CC=2L8[Ly+L1sin(θ1+α)]，

可得：

將其帶入方程組(4)，可求得θ7。

1.2 上肘桿角位移和動(dòng)平臺(tái)位移求解

上肘桿與動(dòng)平臺(tái)、導(dǎo)向塊組成復(fù)雜的Ⅲ級(jí)桿組，其解析式為含三角函數(shù)的非線性方程組，需建立約束條件，用迭代法求解。對(duì)于高級(jí)機(jī)構(gòu)的求解，主要有回路法、型轉(zhuǎn)換法、逼近約束條件法等。本文采用虛擬原動(dòng)件與桿長(zhǎng)逼近約束條件法進(jìn)行求解。首先在鉸接點(diǎn)B和J位置已經(jīng)確定的條件下，假設(shè)導(dǎo)向塊為原動(dòng)件(即認(rèn)為其轉(zhuǎn)角已知)，將含有三副構(gòu)件的動(dòng)平臺(tái)拆分成兩部分，分別與原動(dòng)件、上肘桿和機(jī)架建立兩個(gè)封閉矢量圖，按照Ⅱ級(jí)桿組方法得到上肘桿角位移與動(dòng)平臺(tái)位移的求解表達(dá)式，然后初給一個(gè)導(dǎo)向塊轉(zhuǎn)角值，則可分別得到D點(diǎn)和H點(diǎn)的坐標(biāo)值。實(shí)際機(jī)構(gòu)中D點(diǎn)和H點(diǎn)距離始終保持不變，因此按照‖DH-2L5‖<ε1(誤差精度)的約束條件(桿長(zhǎng)逼近)進(jìn)行迭代求解，同時(shí)還需要滿足兩個(gè)矢量圖求解得到的兩個(gè)相對(duì)位移S理論上相等的約束條件，即‖SD-SH‖<ε2(誤差精度)。

由矢量圖OA1BDEGO可列矢量方程(5)，將其展開(kāi)得方程組(6)，在假設(shè)θ5已知情況下求解θ4和SD。

(5)

(6)

令Y=L1sinθ1+L2sinθ2+L5sin(θ5+π)-h，

X=L1cosθ1+L2cosθ2+L5cos(θ5+π)，

c=-L4，

可得：

D點(diǎn)的坐標(biāo)為：

令M=X2+Y2-L42，

N=Xcos(θ5+β)+Ysin(θ5+β)，則D點(diǎn)相對(duì)位移為：

而事實(shí)上，絲綢具有在醫(yī)療、美容、保健等方面的獨(dú)特功效和在審美、收藏等方面的文化魅力。在新的科學(xué)技術(shù)蓬勃發(fā)展的背景下，絲綢企業(yè)應(yīng)重視絲綢產(chǎn)品的創(chuàng)新，切實(shí)推進(jìn)桑蠶繭絲綢的綜合利用開(kāi)發(fā)。此外，結(jié)合當(dāng)下興盛的“工業(yè)旅游”，絲綢企業(yè)借鑒“前店后廠”的模式，完善絲綢體驗(yàn)區(qū)的建設(shè)，全方位展示絲綢多功能的形象，打破思維僵局，向世界傳遞絲綢新的消費(fèi)觀念。

同理，由矢量圖OA2JHEGO可列出矢量方程(7)，將其展開(kāi)得方程組(8)，可求解θ6和SH。

L1ei(θ1+α)+L8eiθ8+L6eiθ6+L5eiθ5+

(7)

(8)

令YY=L1sin(θ1+α)+L8sinθ8+

L5sinθ5-h，

XX=L1cos(θ1+α)+L8cosθ8+L5cosθ5，

cc=-L6，

可得：

H點(diǎn)的坐標(biāo)為：

令MM=XX2+YY2-L62，

NN=XXcos(θ5+β)+YYsin(θ5+β)，則H點(diǎn)相對(duì)位移為：

約束條件為：

‖DH-2L5‖<ε1，

‖SD-SH‖<ε2。

2 約束條件建立

兩曲柄夾角ɑ<180°的夾角式雙肘桿模切機(jī)構(gòu)在工作過(guò)程中，D點(diǎn)與H點(diǎn)有一個(gè)高度差ΔD，動(dòng)平臺(tái)有一定的傾斜角度，自前至后，對(duì)紙板進(jìn)行剪切式施力模切，此類型機(jī)構(gòu)可有效克服機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置，避免“悶車”，適用于對(duì)大幅面厚紙、瓦楞紙軋切的模切機(jī)機(jī)型[1]。本設(shè)計(jì)應(yīng)企業(yè)需求，采用此類型模切機(jī)構(gòu)。為減少動(dòng)平臺(tái)“上下起伏、左右搖擺”的幅度，一般需限定動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，為此，以雙肘桿模切機(jī)構(gòu)一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)角θ5和D點(diǎn)沿y軸方向最大行程無(wú)限接近理想值為目標(biāo)函數(shù)，定義目標(biāo)函數(shù)為：

雙肘桿機(jī)構(gòu)左右兩部分的構(gòu)件尺寸是對(duì)稱的，即圖1中L2=L8，L3=L7，L4=L6，Lx1=Lx2，選擇曲柄長(zhǎng)度L1，連桿長(zhǎng)度L2，下肘桿長(zhǎng)度L3，上肘桿長(zhǎng)度L4，動(dòng)平臺(tái)長(zhǎng)度的一半L5，即X=(L1，L2，L3，L4，L5)T作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

如果曲柄夾角過(guò)小，則機(jī)構(gòu)振動(dòng)穩(wěn)定性能差，影響模切質(zhì)量，不利于高速模切。優(yōu)化設(shè)計(jì)依據(jù)企業(yè)需求，限定165π/180<α<π，此時(shí)θ1=θ2，α=π-2πθ1，可作為一個(gè)判斷語(yǔ)句加入程序中。

為了使機(jī)構(gòu)增力達(dá)到最大，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)處于上限位置時(shí)上肘桿和下肘桿應(yīng)處于近似鉛垂位置，曲柄與連桿處于近似水平位置，為此限定θ3>π/2，-15π/180<θ2<15π/180。在動(dòng)平臺(tái)擺角小的情況下，取β=π/2，再依據(jù)曲柄存在條件，列約束函數(shù)如下：

g1(X)=L1-L2<0，

g2(X)=L1-L3<0，

g7(X)=Ly-L3<0，

3 實(shí)例驗(yàn)證

依據(jù)企業(yè)生產(chǎn)對(duì)模切機(jī)構(gòu)基座尺寸的需求，給定Lx1=Lx2=405 mm，Ly=230 mm，h=300 mm，β=90°，-0.45°<θ5<0.45°，使用Matlab雙層for循環(huán)語(yǔ)句和if判斷語(yǔ)句等編制運(yùn)算程序，進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，得到L1=60 mm，L2=323 mm，L3=265 mm，L4=212.25 mm，L5=384 mm，α=170°。動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)角變化規(guī)律如圖2所示，其最大擺角為0.366°；垂直位移變化規(guī)律如圖3所示，最大行程為78 mm。圖4和圖5分別是上肘桿和下肘桿的角位移變化曲線。

圖2 動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)角變化曲線

圖3 動(dòng)平臺(tái)垂直位移變化曲線

圖4 上肘桿角位移變化曲線

圖5 下肘桿角位移變化曲線

圖2-5的橫坐標(biāo)均為曲柄的轉(zhuǎn)角，0°對(duì)應(yīng)曲柄與x軸正向重合位置。當(dāng)曲柄OA1轉(zhuǎn)角為5°時(shí)，動(dòng)平臺(tái)處于最高位置，其轉(zhuǎn)角為零，上肘桿角度分別為89.33°和90.69°，下肘桿角度分別為95.09°和84.91°，連桿的轉(zhuǎn)角位置分別為5.05°和174.95°，均滿足工作要求。

根據(jù)優(yōu)化后的構(gòu)件尺寸，得到Solidworks實(shí)體模型及實(shí)物，分別如圖6和圖7所示。動(dòng)平臺(tái)建模后運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果如圖8和圖9所示，與理論計(jì)算結(jié)果圖2和圖3基本一致。用優(yōu)化后的構(gòu)件尺寸做成的實(shí)際產(chǎn)品性能指標(biāo)能達(dá)到預(yù)期要求。

圖6 三維模型

圖7 實(shí)物圖

圖8 動(dòng)平臺(tái)實(shí)體建模的仿真轉(zhuǎn)角變化曲線

圖9 動(dòng)平臺(tái)實(shí)體建模的仿真垂直位移變化曲線

4 結(jié)論

本文結(jié)合企業(yè)實(shí)際需求，運(yùn)用矢量復(fù)數(shù)法和桿長(zhǎng)逼近約束條件法建立了偏置式雙肘桿模切機(jī)構(gòu)各構(gòu)件位移的顯式表達(dá)，以一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)角和D點(diǎn)沿y軸方向最大行程無(wú)限接近理想值為目標(biāo)函數(shù)，從曲柄存在條件、機(jī)構(gòu)在工作過(guò)程中對(duì)肘桿和工作臺(tái)位置要求的角度出發(fā)建立約束函數(shù)，運(yùn)用Matlab編程求解，得到符合要求的各構(gòu)件尺寸。依據(jù)優(yōu)化后的尺寸進(jìn)行實(shí)體建模和運(yùn)動(dòng)仿真，仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果基本一致，由此驗(yàn)證了所建函數(shù)與計(jì)算程序的正確性。研究成果可為此機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析提供理論基礎(chǔ)。