章勝平 陳 旭 蘭樹偉

(1. 昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 昆明 650504； 2. 昆明學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 昆明 650214)

圓形或環(huán)形混凝土截面具有美觀、風(fēng)阻小、水流阻力小等優(yōu)點(diǎn)，采用離心法、快速抽芯法工藝施工經(jīng)濟(jì)，在現(xiàn)澆或預(yù)制柱墩、管柱、管樁中應(yīng)用日益廣泛[1]．現(xiàn)有規(guī)范圓形或環(huán)形截面壓彎承載力計(jì)算簡(jiǎn)化公式存在一些假定條件[2]，不是精確解．如，圓形或環(huán)形混凝土截面公式假定為均勻配筋，而在實(shí)際工程中，抗滑樁、支護(hù)樁、橋墩等圓形或環(huán)形構(gòu)件具有直徑大、彎曲方向單一并且方向明確的特點(diǎn)，若均勻配筋，受壓區(qū)、中性軸附近鋼筋應(yīng)力小，造成材料浪費(fèi)和經(jīng)濟(jì)損失[3]．混凝土等效矩形應(yīng)力模型是基于矩形截面假定，在等效合力假定條件下圓形或環(huán)形截面合力比矩形截面更靠近中性軸[4]，若再假定相同合力位置則高估了承載力，偏于不安全．另外，規(guī)范簡(jiǎn)化公式是以受壓區(qū)高度對(duì)應(yīng)的圓心角為未知量，簡(jiǎn)化公式不是圓心角的單調(diào)函數(shù)，在迭代法程序中，若假定的圓心角初值不在精確解附近則可能造成難以收斂或不收斂情況．

文獻(xiàn)[5]給出圓形和環(huán)形截面抗滑樁的非均布配筋計(jì)算方法，但沒(méi)有考慮矩形截面假定對(duì)等效矩形應(yīng)力參數(shù)的影響．環(huán)形混凝土截面除了考慮截面寬度非線性，還應(yīng)考慮受壓區(qū)與內(nèi)圓之間的關(guān)系[6-7]．壓彎承載力計(jì)算準(zhǔn)確性取決于混凝土等效應(yīng)力計(jì)算的準(zhǔn)確性，美國(guó)ACI協(xié)會(huì)研究報(bào)告[8]分析了高強(qiáng)混凝土實(shí)驗(yàn)結(jié)果反算得到的等效矩形應(yīng)力參數(shù)，文獻(xiàn)[9]基于理論推導(dǎo)提出了等效三角形應(yīng)力的一套參數(shù)，文獻(xiàn)[10]對(duì)應(yīng)變梯度影響的等效矩形應(yīng)力參數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，文獻(xiàn)[11]對(duì)非矩形截面參數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究．為此，本文按照由應(yīng)變計(jì)算內(nèi)力的逆算法(不需要迭代)，基于數(shù)值條帶逆算法，理論推導(dǎo)了環(huán)形混凝土截面等效矩形應(yīng)力參數(shù)的一套解析解，獲得環(huán)形截面均勻、非均勻、對(duì)稱、非對(duì)稱配筋壓彎承載力計(jì)算的統(tǒng)一電算方法．

1 解析解推導(dǎo)

本文解析解推導(dǎo)基于逆算法[12-13](已知應(yīng)變求內(nèi)力)，在數(shù)值條帶法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程代入積分，解析求解積分，計(jì)算內(nèi)力再反算等效矩形應(yīng)力參數(shù)，獲得解析解．

1.1 正截面承載力計(jì)算逆算法

逆算法不同于數(shù)值迭代法，不需要假定應(yīng)變．?dāng)?shù)值迭代法也稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)分析，當(dāng)截面特性和軸力(N)已知時(shí)，假定應(yīng)變3～5次，鋼筋應(yīng)力按照本構(gòu)關(guān)系曲線，混凝土應(yīng)力按照本構(gòu)曲線或等效矩形應(yīng)力塊，若所假定應(yīng)變滿足軸力平衡方程的允許誤差(δ)，則由應(yīng)變求出彎矩(M)極限值，如圖1(a)所示．?dāng)?shù)值迭代法需要軟件操作人員知曉如何假定應(yīng)變，理解允許誤差，能根據(jù)承載力合理調(diào)整允許誤差大小，對(duì)結(jié)果具有一定的判斷能力．雖然該法比現(xiàn)有規(guī)范簡(jiǎn)化方法更精確，但用于實(shí)際工程不方便．

圖1 正截面承載力計(jì)算

逆算法是已知截面特性，按照極限狀態(tài)所有可能的應(yīng)變，按照本構(gòu)曲線，得到所有可能的彎矩-軸力極限值．利用插入法函數(shù)，獲得已知軸力對(duì)應(yīng)的彎矩極限值，如圖1(b)所示．計(jì)算過(guò)程中積分求解能用數(shù)值積分(1.2節(jié))，也能用解析法(1.3節(jié))．解析法用普通計(jì)算機(jī)程序計(jì)算僅需1～2 s．?dāng)?shù)值法電算時(shí)間略多于解析法，與條帶劃分?jǐn)?shù)量有關(guān)，條帶劃分?jǐn)?shù)量對(duì)結(jié)果的精度也有影響．?dāng)?shù)值法能用于迭代算法，也能用于不迭代算法，本文數(shù)值法指基于逆算法的數(shù)值積分條帶法(不需要迭代)．

1.2 等效矩形應(yīng)力參數(shù)的積分公式

分別以環(huán)形截面外圓圓周和內(nèi)圓圓周幾何坐標(biāo)為變量(見(jiàn)圖2(a))，建立圓心角與應(yīng)變之間的關(guān)系

(1)

式中：ε為圓心角θ對(duì)應(yīng)的外圓應(yīng)變；εi為圓心角θ對(duì)應(yīng)的內(nèi)圓應(yīng)變；εc1為下緣應(yīng)變；εc為上緣應(yīng)變；r為無(wú)量綱化外圓半徑；ri為無(wú)量綱化內(nèi)圓半徑；R為外圓半徑；Ri為內(nèi)圓半徑，下標(biāo)i表示內(nèi)圓．

圖2(b)五個(gè)應(yīng)變區(qū)域表示了極限狀態(tài)所有可能的應(yīng)變，從區(qū)域①變化至區(qū)域⑤，混凝土受壓邊緣應(yīng)變?chǔ)與可能小于極限值，鋼筋(受拉)也可能未屈服．按照?qǐng)D2(b)五個(gè)應(yīng)變區(qū)域，確定式(1)應(yīng)變?chǔ)與1和εc的取值，可得正截面承載力所有可能的彎矩-軸力極限值[14]．這五個(gè)區(qū)域按照應(yīng)變變化規(guī)律劃分，從軸心受拉開(kāi)始，最終到達(dá)軸心受壓．區(qū)域①中εs固定為極限應(yīng)變(1%)，εc由1%變化至0；區(qū)域②εs固定為極限應(yīng)變(1%)，εc由0至極限應(yīng)變(εcu)；區(qū)域③εc固定為εcu，εs由1%至εy；區(qū)域④εc固定為εcu，由εs為1%至εc1為0；區(qū)域⑤εr固定為ε0，εc由εcu至ε0．區(qū)域①全部受拉，屬于小偏心受拉的范圍；區(qū)域①、②界限為大、小偏拉臨界；區(qū)域②、③屬于大偏心受拉、純彎、大偏心受壓；區(qū)域③、④界限為大、小偏壓臨界；區(qū)域④、⑤屬于小偏心受壓；區(qū)域⑤全部受壓．

圖2 應(yīng)變圖

(2)

式中：ε0為混凝土軸壓應(yīng)變極限；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度．

則，混凝土應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可表示為

(3)

式中：εcu為混凝土壓彎應(yīng)變極限．

需要說(shuō)明的是，式(3)第1式表示混凝土受拉時(shí)應(yīng)力為0，這是較多混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范對(duì)正截面承載力計(jì)算所采用的基本假定．由此假定可知當(dāng)應(yīng)變位于圖2區(qū)域①時(shí)(小偏心受拉區(qū))，混凝土應(yīng)力為零，拉力完全由鋼筋承擔(dān)，因此本文的混凝土等效矩形應(yīng)力參數(shù)對(duì)此區(qū)域不做分析．

假想環(huán)形截面內(nèi)圓充滿同樣的材料，則環(huán)形截面內(nèi)力等效于外圓內(nèi)力減去內(nèi)圓內(nèi)力，如圖3所示．

圖3 內(nèi)力計(jì)算

沿高度方向?qū)⒔孛鎰澐譃槿舾蓚€(gè)條帶，條帶寬度、高度和偏心距如圖3所示，則外、內(nèi)圓軸力(N)與彎矩(M)分別為

(4)

(5)

無(wú)量綱化軸力(n)和彎矩(m)分別為

(6)

(7)

已知軸力和彎矩，可以反算設(shè)計(jì)參數(shù)．環(huán)形與矩形截面不同，混凝土合力位置不在矩形應(yīng)力塊高度中點(diǎn)，有受壓區(qū)高度系數(shù)還需再計(jì)算合力位置．因此本文參考德國(guó)規(guī)范[15]，假定受壓區(qū)高度系數(shù)β1=1，即虛擬應(yīng)力塊高度=真實(shí)受壓區(qū)高度．等效矩形應(yīng)力參數(shù)選擇應(yīng)力參數(shù)α和力臂參數(shù)k，其優(yōu)點(diǎn)是按照力臂參數(shù)可以直接建立彎矩方程，這對(duì)非矩形受壓區(qū)設(shè)計(jì)使用更方便．α和k計(jì)算式為

(8)

式中：S和Si分別為外圓受壓區(qū)面積和內(nèi)圓受壓區(qū)面積；X為受壓區(qū)高度；s、si和x分別是這3個(gè)變量的無(wú)量綱化．

(9)

內(nèi)圓圓心角與受壓區(qū)的位置有關(guān)，受壓區(qū)高度可能在內(nèi)圓上部、內(nèi)圓范圍或者包括整個(gè)內(nèi)圓，因此內(nèi)圓圓心角有3種情況(如圖4所示)．內(nèi)圓圓心角計(jì)算公式為

(10)

圖4 3種受壓區(qū)

將式(6)、(7)數(shù)值積分，代入式(8)得到設(shè)計(jì)參數(shù)的數(shù)值解．?dāng)?shù)值積分是一種相對(duì)精確計(jì)算方法，如圖5所示．

圖5 數(shù)值法計(jì)算框圖

為了分析數(shù)值法計(jì)算的特點(diǎn)，計(jì)算分析了條帶劃分?jǐn)?shù)量對(duì)參數(shù)的影響，結(jié)果如圖6所示．計(jì)算中采用了如下假定條件．

1)ri=0.7，ε0=-2‰，εcu=-3.3‰，εy=2.175‰．

2)下緣鋼筋與截面近邊緣距離as=0.2R．

圖6 條帶數(shù)量的影響

從圖6可以看出，隨著條帶數(shù)量增加，α和k在收斂，說(shuō)明編程正確．對(duì)于α，30個(gè)條帶和100個(gè)條帶兩條曲線幾乎重疊(如圖6(a)所示)，說(shuō)明α對(duì)條帶劃分?jǐn)?shù)量不太敏感．對(duì)于k，30個(gè)條帶曲線數(shù)據(jù)波動(dòng)大，100個(gè)條帶曲線數(shù)據(jù)波動(dòng)較小(如圖6(b)所示)，說(shuō)明k對(duì)條帶劃分?jǐn)?shù)量敏感．由此可見(jiàn)，數(shù)值法在軟件應(yīng)用時(shí)，使用者需要知曉什么變量對(duì)結(jié)果影響大．另外，在設(shè)計(jì)中提供多種方法，還能用于結(jié)果的相互驗(yàn)證．

1.3 等效矩形應(yīng)力參數(shù)的解析解

數(shù)值法是采用數(shù)值積分(如梯形法)計(jì)算內(nèi)力公式的積分，解析法則是將應(yīng)力本構(gòu)方程代入積分，解析求解，獲得解析解．在數(shù)值法基礎(chǔ)上，解析法還須進(jìn)一步考慮應(yīng)力分段函數(shù)、受壓區(qū)范圍等情況，根據(jù)不同情況推導(dǎo)相應(yīng)的解析解．環(huán)形截面解析解推導(dǎo)，建立在圓形截面基礎(chǔ)上，圓形截面應(yīng)力圖分為圖7所示的3種情況．

圖7 3種應(yīng)力圖

對(duì)3種應(yīng)力圖，假設(shè)參數(shù)α1和k1表示拋物線應(yīng)力情況解析解，α2和k2表示拋物線-矩形應(yīng)力情況，α3和k3表示全部壓應(yīng)力情況．將式(3)代入式(6)、(7)，化簡(jiǎn)、整理，得到圓形截面等效矩形應(yīng)力參數(shù)的解析解

立體幾何的學(xué)習(xí)，一般體現(xiàn)為“直觀感知——操作確認(rèn)——思辨論證——度量計(jì)算”這樣一個(gè)認(rèn)知過(guò)程．本題給出圖形便于學(xué)生感知，第一問(wèn)要求學(xué)生進(jìn)行論證，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行度量計(jì)算，考查學(xué)生的觀察、想象、分析、判斷及推理能力．立體幾何的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備必要的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力，這對(duì)于學(xué)生后繼學(xué)習(xí)具有重要意義，更是相關(guān)技術(shù)職業(yè)工作必不可少的基礎(chǔ)能力．

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：θ0為圖7(b)、(c)所示應(yīng)變?chǔ)?對(duì)應(yīng)的圓心角．

利用外圓、內(nèi)圓參數(shù)解析解，得到環(huán)形混凝土截面等效矩形應(yīng)力參數(shù)解析解

(17)

解析法計(jì)算框圖是在數(shù)值法框圖基礎(chǔ)上，利用解析解計(jì)算彎矩、軸力和參數(shù)．在選擇公式時(shí)，解析法設(shè)置條件語(yǔ)句，如上緣應(yīng)力未塑化選擇公式(11)、(14)，上緣應(yīng)力塑化選擇公式(12)、(15)．從計(jì)算公式看，解析解公式冗長(zhǎng)復(fù)雜，推導(dǎo)或程序編制過(guò)程，可能出錯(cuò)，因此需要與數(shù)值解不斷地對(duì)比、校正，以獲得最終正確的解析解．另外，相比規(guī)范簡(jiǎn)化方法，解析解是精確解．解析解能用于軟件設(shè)計(jì)，也能用于簡(jiǎn)化方法推導(dǎo)與驗(yàn)證．

1.4 解析解驗(yàn)證

按照?qǐng)D6假定條件，采用解析法計(jì)算等效矩形應(yīng)力參數(shù)，結(jié)果如圖8所示．從圖8可見(jiàn)，數(shù)值解收斂于解析解，由此解析解獲得驗(yàn)證．

圖8 解析解的驗(yàn)證

另外，從圖8曲線數(shù)值分析還可以看出：

1)應(yīng)力參數(shù)α曲線變化幅度較大，從0變化至1，力臂參數(shù)k曲線變化幅度小，數(shù)值在0.4左右．

2)當(dāng)混凝土上緣應(yīng)變達(dá)到極限值(εc=-3.3‰)，純彎、大偏壓和小偏壓破壞的區(qū)域③和④，α曲線數(shù)值為0.76至0.845，k曲線數(shù)值為0.37至0.465．

3)小偏壓破壞的區(qū)域⑤，隨著偏心距減小趨近于軸心受壓，α曲線數(shù)值從0.78逐漸增加趨近于1，k曲線數(shù)值從0.4逐漸增加趨近于0.5．

2 解析解算例

基于1.3節(jié)等效矩形應(yīng)力參數(shù)解析解，鋼筋按照應(yīng)變計(jì)算應(yīng)力，能夠?qū)崿F(xiàn)均勻、非均勻、對(duì)稱、非對(duì)稱配筋壓彎承載力計(jì)算的統(tǒng)一公式，即

(18)

式中：Asi、σsi和zsi分別表示第i根鋼筋的截面面積、應(yīng)力和高度坐標(biāo)，高度坐標(biāo)以形心軸為原點(diǎn)，向下為正．

需要說(shuō)明的是，通常簡(jiǎn)化方法將受力鋼筋等效為鋼環(huán)，這存在一定程度的簡(jiǎn)化，而實(shí)際上在應(yīng)變已知的條件下對(duì)每根鋼筋單獨(dú)計(jì)算應(yīng)力、內(nèi)力在程序?qū)崿F(xiàn)上沒(méi)有難度，因此式(18)對(duì)鋼筋內(nèi)力采用直接疊加法．

已知非對(duì)稱配筋環(huán)形混凝土截面受彎構(gòu)件(如圖9所示)，僅在受拉區(qū)120°角范圍內(nèi)均勻布置7根Φ22鋼筋(受拉鋼筋截面面積As=2 661 mm2)，其它部分配置構(gòu)造鋼筋，鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fy=360 N/mm2，鋼筋受拉屈服應(yīng)變?chǔ)舮=1.8‰，混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fc=14.3 N/mm2．

圖9 壓彎承載力算例

假設(shè)截面為區(qū)域④的小偏壓狀態(tài)，εs=-1.05‰，εc=-3.3‰，按照自編程序進(jìn)行壓彎承載力計(jì)算，則應(yīng)力參數(shù)α=0.832，力臂參數(shù)k=0.366，應(yīng)變和應(yīng)力結(jié)果如圖9所示，軸力Nu=-145 kN(受壓)，彎矩Mu=150 kN·m．

3 結(jié) 論

按照正截面承載力計(jì)算的逆算法，不需要迭代，推導(dǎo)了環(huán)形混凝土截面混凝土應(yīng)力設(shè)計(jì)參數(shù)解析解，建立了均勻、非均勻、對(duì)稱、非對(duì)稱配筋壓彎承載力計(jì)算的統(tǒng)一公式，可以獲得下列結(jié)論：

1)解析法公式雖然復(fù)雜，但解析解是精確解，數(shù)值解收斂于解析解，本文推導(dǎo)的解析法提供了一種工程實(shí)用設(shè)計(jì)的電算方法．

2)非矩形受壓區(qū)截面等效應(yīng)力模型，合力位置不在受壓區(qū)高度中點(diǎn)，假定受壓區(qū)高度系數(shù)=1，設(shè)計(jì)參數(shù)選擇應(yīng)力和力臂參數(shù)，設(shè)計(jì)使用更直觀．按照不同受力的可能應(yīng)變計(jì)算，設(shè)計(jì)參數(shù)不是常量，應(yīng)力參數(shù)從0變化至1，力臂參數(shù)約為0.4．

3)以應(yīng)變?yōu)橐阎?，單?dú)計(jì)算鋼筋內(nèi)力再疊加，不需要轉(zhuǎn)化為等效鋼環(huán)．