余震，王海蘭，余進，胡柯，任豪豪

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北武漢 430081；2.武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北武漢 430081)

0 前言

作為裝備制造業(yè)領域的重要設備之一，橋式起重機在各行各業(yè)具有廣泛應用。隨著作業(yè)環(huán)境以及作業(yè)要求的改變，對起重機精準定位以及防搖要求愈來愈高，抑制起重機的搖擺能有效提高其工作效率，能更好地促進工業(yè)自動化的進程和保證工業(yè)系統(tǒng)的安全運行。

橋式起重機在工作過程中搖擺的一個重要原因是其大、小車運行機構(gòu)和主、副起升機構(gòu)在工作過程中的加減速運動而產(chǎn)生了沖擊，這個原因決定了起重機防搖擺研究的3個方向：人工防搖、機械式防搖、電氣式防搖(如表1所示[1])。隨著控制技術的不斷發(fā)展，現(xiàn)在主流的防搖控制策略是電氣式防搖[2]。

針對橋式起重機防搖擺控制的數(shù)學模型構(gòu)建方面的研究，國內(nèi)外有許多學者取得了相應的成果。文獻[3-4]研究了吊運過程中吊重的擺動現(xiàn)象，將系統(tǒng)簡化成雙擺振動模型，采用分析力學的方法建立系統(tǒng)的拉格朗日方程，得到系統(tǒng)微分方程。文獻[5]考慮負載與吊具的體積，建立了考慮分布式質(zhì)量梁的雙擺起重機動力學模型，設計了4種版本的分層滑模控制方法，又通過仿真與實驗驗證了此方法在解決橋式起重機雙擺問題時的可行性與有效性[6]。

對于起重機防搖擺數(shù)學模型的研究，以上學者都是把整個橋架結(jié)構(gòu)視為剛性體，假定初始負載擺角為零度，實際上由于吊繩為撓性體以及操作等因素，起重機初始擺角會不可避免的存在。文獻[7]推導出在牽連慣性力、相對慣性力、科氏力和離心慣性力的作用下變截面梁受移動質(zhì)量作用的橫向彎曲振動方程，并采用Newmark法進行數(shù)值求解。文獻[8]將小車架設為彈性結(jié)構(gòu)，考慮起重機主梁的橫向變形，建立了門式起重機三質(zhì)量三自由度系統(tǒng)振動模型，得到更準確的門式起重機防搖系統(tǒng)數(shù)學模型。文獻[9]分析了起重機垂直變形對搖擺控制的影響，提出了大車靜止時的小車三維三自由度彈性動態(tài)模型，并用MATLAB驗證了模型的有效性。

本文作者根據(jù)起重機實際作業(yè)循環(huán)進行載荷分析，基于牛頓第二定律建立大車在負載作用下的運動過程動力學微分方程，并充分考慮風擾、軌道缺陷、驅(qū)動力、鋼絲繩彈性形變等因素對擺角的影響，再將現(xiàn)有的標準起重機參數(shù)導入吊重模型進行了MATLAB仿真分析，根據(jù)仿真結(jié)構(gòu)進行模型優(yōu)化，在一定程度上確保起重機在實際工況下的動力學模型的準確性。

表1 部分防搖策略

1 橋式起重機典型工況與載荷分析

1.1 橋式起重機結(jié)構(gòu)

橋式起重機由橋架結(jié)構(gòu)、運行機構(gòu)、起升機構(gòu)、電氣裝置四部分組成(如圖1所示)：

(1)橋架結(jié)構(gòu)承受起重小車的重力，由端梁、主梁、欄桿、走臺、軌道和司機室等構(gòu)成。

(2)運行機構(gòu)細分為大車運行機構(gòu)和小車運行機構(gòu)，驅(qū)動起重機大、小車的車輪分別沿著其各自軌道運行，完成規(guī)定的運動。

圖1 橋式起重機實物

(3)起升機構(gòu)實現(xiàn)物料的升降運動，主要由電機、滑輪組、鋼絲繩、制動裝置和其他相應的安全裝置組成。

(4)橋式起重機的電氣系統(tǒng)包括電氣設備和電器線路。供電裝置、保護箱、照明設備、電器線路、電氣主回路、照明信號回路及控制回路等組成起重機電氣線路。

1.2 橋式起重機工作流程

一般情況下，在一次完整起吊過程中主要的工作流程為：(1)負載起升過程是將吊重提升至指定高度以進行下一步的運輸；(2)通過大車和小車的驅(qū)動將吊重搬運至目標位置前方或者上方；(3)將吊重自目標位置上方垂直落下，結(jié)束此次工作行程。在實際操作過程中，以上3個步驟依次進行。

引起起重機工作過程中搖擺的原因主要有兩方面：一是起重機的大、小車運行機構(gòu)和主、副起升機構(gòu)在工作過程中的加減速運動而引起的吊重擺動；二是在作業(yè)過程中的一些不確定因素引起的擺動，包括起重機在作業(yè)過程中受到的風載荷、操作人員的操作失誤、軌道高低差等。文中從引起擺動的不同因素出發(fā)，分析起重機擺動因素，并構(gòu)建其擺角數(shù)學模型。

1.2.1 起重機取物起升階段載荷分析

一般來說，起重機取物起升過程分為3個階段：第一階段，起升機構(gòu)啟動瞬間，鋼絲繩是松弛狀態(tài)，鋼絲繩由松弛到拉直，忽略鋼絲繩自重，鋼絲繩不受力，等效起升重物靜止不動；第二階段，鋼絲繩狀態(tài)由拉直到拉緊，鋼絲繩受力從0增加到Q，起升鋼絲繩從不受力狀態(tài)到拉力逐漸增大，通過卷筒及其支撐構(gòu)件將力F2(t)作用在橋架上，間接造成橋架受到的作用力由零開始逐漸增大，但仍然沒有離地。圖2所示為負載離地后第三階段，吊重開始離開地面并與結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，此時鋼絲繩受力達到最大，且起升機構(gòu)產(chǎn)生的動載荷最大。由于滑輪組中各個滑輪所受阻力大小不一，因此使得吊重產(chǎn)生的拉力不能均衡分配到每段繩索上，導致繩索張力不統(tǒng)一，使系統(tǒng)成為弱阻尼系統(tǒng)，從而造成負載輕微擺動。由于初始擺動的存在，大小車的加速運動會使擺動更加劇烈，因此模型的最終結(jié)果應該包括這部分產(chǎn)生的振動擺角[10]：

Fjmax-Δl×k×cosθ=Q

(1)

式中：Fjmax為作用在大車的鋼絲繩最大拉力；Δl為鋼絲繩升長量；k為鋼絲繩材料的彈性系數(shù)；θ為鋼絲繩擺動后與豎直方向的夾角；Q為起吊重物重力。

圖2 負載離地后

1.2.2 起重機大車加速階段載荷分析

起升機構(gòu)起升負載后，需將負載吊至目標位置前方或者上方，此時起重機及其車輪等結(jié)構(gòu)受到水平載荷作用。在起重機實際作業(yè)過程中，很少出現(xiàn)大車、小車聯(lián)動的情況，通常情況下大小車單獨運動，即使在聯(lián)動情況下，在聯(lián)動方向上的運動規(guī)律與小車單獨運動規(guī)律相同，因此在載荷分析中單獨考慮大車的運動情況。除了驅(qū)動電機提供的驅(qū)動力外，起重機在沿軌道水平方向還有以下載荷：

(1)移動質(zhì)量水平慣性力Fh

大車移動的水平慣性力是起重機自身重力和負載在大車運行機構(gòu)啟動或者制動時產(chǎn)生的沿軌道方向的水平慣性力，包括整機慣性力Fh2、帶載小車慣性力Fh1：

Fh=Fh2+Fh1

(2)

(2)軌道給車輪的滾動摩擦Fr以及起重機轉(zhuǎn)動機構(gòu)的結(jié)構(gòu)阻力Fc，構(gòu)成了兩側(cè)車輪的總行走阻力：

(3)

式中：c為轉(zhuǎn)動機構(gòu)軸承摩擦因數(shù)；d為大車車輪輪軸樞直徑；D為大車車輪踏面直徑；f為滾動摩擦因數(shù)；∑Fmi為車輪輪壓[11]。

(3)起重機偏斜移動時水平側(cè)向力Fs

由于軌道、車輪等在制造與安裝時存在一定的誤差，以及大小車軌道上表面不平、兩側(cè)驅(qū)動電機的轉(zhuǎn)速或走輪直徑有差異等因素的影響，沿著軌道運行的起重機，在運行過程中將在車輪輪緣與軌道側(cè)面摩擦產(chǎn)生水平側(cè)向推力，此時還會產(chǎn)生附加阻力Fz，從而導致負載產(chǎn)生斷斷續(xù)續(xù)的擺動。

(4)y方向風載Fdy

起重機在室外作業(yè)時會受到風載，風載與風壓和起重機的迎風面積有關，因此在構(gòu)建起重機運動過程中的搖擺模型時，必須考慮因風載作用而產(chǎn)生的負載偏擺影響。

Fdy=S×C×p×Kh

(4)

式中：p為計算風壓；S為迎風面積；Kh為風壓高度變化系數(shù)；C為風力系數(shù)。

2 起重機系統(tǒng)的動力學分析與建模

2.1 起重機在一個工作循環(huán)內(nèi)的運動學分析

圖3所示為起重機大車運行時在水平載荷作用下的負載擺動(坐標系為笛卡爾三維坐標系)，可以看出：當起重機工作時，重物會通過繩索以小車的懸掛點進行擺動，擺動角度為θ。對擺動角度θ沿起重機前進方向與重物在橋梁上面橫向的移動方向上進行分解，分別投影在yoz和xoz平面，得到θx與θy。Fx和Fy分別為驅(qū)動大、小車運動的驅(qū)動力；fx、fy分別為大、小車受到的摩擦阻力；a1、a2分別為大、小車沿運行方向的加速度；y(t)和x(t)表示對應的y與x方向上的移動位移;mt為負載質(zhì)量，m1和m2分別為大車橋架結(jié)構(gòu)(包括走臺、主梁、端梁、小車等結(jié)構(gòu))和小車等效質(zhì)量。因軌道存在高低差，軌道2個上表面不在同一平面，大車車身與水平面呈一夾角α;Fdy、Fdx為施加在負載上的風載。

根據(jù)已有研究[12]得知，當進行起重機完整作業(yè)循環(huán)時(即先進行吊重的起升，隨后大車沿軌道運行，接著小車沿大車軌道運行，最后進行吊重下降的過程)，此時吊重的運動軌跡類似在球面做圓周擺動運動，從宏觀上分析，負載擺角θ可以分解為大、小車在一個二維平面內(nèi)運動而產(chǎn)生的擺角。在構(gòu)建起重機運動過程中搖擺擺角數(shù)學模型時，為簡化模型構(gòu)建，作出如下假設：

(1)大、小車運動過程相互獨立；

(2)忽略橋式起重機系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)的彈性形變；

(3)假設小車車輪與小車軌道的摩擦為理想的滾動摩擦，摩擦因數(shù)恒定；

(4)將鋼繩視為無質(zhì)量吊繩，且忽略它與小車起升機構(gòu)滑輪及卷筒處的摩擦；

(5)假定鋼絲繩理想地纏繞在卷筒槽和滑輪上，并且起升或下降過程中不打滑和滑轉(zhuǎn)；

(6)由雙軌不在同一平面而產(chǎn)生的附加阻力統(tǒng)一納入車輪滾動摩擦中；

(7)假設Fy完全受變頻器輸出的影響，忽略減速器和小車電機等一些非線性因素。

圖3 在一個工作循環(huán)內(nèi)的起重機運動模型

2.2 起重機工作過程中的大車運行方向擺角數(shù)學模型構(gòu)建

(1)吊重起升階段產(chǎn)生的初始擺角

許多學者研究起重機起升機構(gòu)時將鋼絲繩視為剛體，盡管建模時簡化了鋼絲繩的計算，但這不夠嚴謹。實際上，鋼絲繩是一個彈性體，纜繩在負載作用下會產(chǎn)生彈性變形，圖4所示為起重機起吊重物離開地面并且開始加速運動過程中，重物偏離豎直方向的示意?？芍寒?shù)踔嘏c鋼絲繩保持靜止時，此時鋼絲繩受到的合拉力為負載重力Q，設Δl1和Δl2分別為左右兩根鋼絲繩在拉力載荷作用下產(chǎn)生的彈性伸長量(單位為mm)，由虎克定律可知：每根鋼絲繩承擔的載荷值分別為Δl1×k、Δl2×k(k為鋼絲繩的剛度系數(shù)[13])。設穿過該滑輪組有n組鋼絲繩，對吊重進行受力分析，則：

(5)

(6)

圖4 吊重起升階段擺角示意

繩長伸長量與起重力有以下關系[14]：

(7)

式中：Fjmax為繞入卷筒的鋼絲繩最大靜拉力(為便于計算，假設每根鋼絲承受的拉力相同，且都為最大張力)；Q為起升載荷及吊具重力之和；ih為滑輪組倍率；ηh為滑輪組效率；E為鋼絲繩等效彈性模量；l為鋼絲繩的總長度；L為不受力時卷筒以下鋼絲繩的全長；A為鋼絲繩截面積；F為在指定滑輪組倍率下單繩最大拉力。由此可得起升鋼絲繩初始擺角為

(8)

(2)大車運行雙軌不在同一水平面

橋式起重機在安裝以及長時間作業(yè)過程中，不可避免地會發(fā)生沉降、變形、傾斜等情況。依據(jù)《橋式和門式起重機制造及軌道安裝公差》的要求，如軌道間高低差超過±10 mm時，就會因荷載出現(xiàn)橫向滑移，運行機構(gòu)水平受到的力就會發(fā)生改變，從而加劇負載擺動。軌道高度差示意如圖5所示。

圖5 軌道高度差示意

參照圖3所示構(gòu)建其載荷分析圖，由于大車雙軌不在同一平面而會產(chǎn)生一傾斜夾角(如圖6所示)，并將產(chǎn)生的附加阻力Fz統(tǒng)一納入車輪滾動摩擦中，根據(jù)《起重機設計規(guī)范》(GB/T 3811—2008)中規(guī)定，起重機偏斜側(cè)向力的求解經(jīng)驗公式為

(9)

Fz=ζ×Fs

(10)

式中：ζ為附加摩擦阻力系數(shù)；Fmimax為起重機受偏斜側(cè)向力一側(cè)車輪受到的最大總輪壓；λ為偏斜側(cè)向力系數(shù)。

圖6 雙軌高低差示意

(3)當大車沿y方向運動且有風載時

當大車沿y方向運動且有風載時，其工況為：小車位于主梁跨中，吊重離地、滿載懸掛于小車上，起升機構(gòu)和小車運行機構(gòu)靜止，大車完成啟動、加速、勻速運行、制動等運動過程，其載荷分析如圖7所示。

圖7 大車運行機構(gòu)受力

對起重機運動過程進行三維動力學分析，以大車位移方向(向左為正方向)為y方向構(gòu)建坐標系，由此得到大車系統(tǒng)在運動過程中的動力學微分方程為

(11)

式中：m2為大車質(zhì)量；Fy為大車驅(qū)動力；f為大車車輪組與導軌之間的摩擦力；Fdy為y方向風載；Fz為附加阻力。

以起吊重物為研究對象進行分析：

(12)

式中：θy為大車運動過程中起升重物與豎直方向的夾角，由式(10)(11)可解得：

(13)

式中：大車車輪組與導軌之間的摩擦力f可表示為

f=(Flcosθy+m2g)μ

(14)

式中：μ為大車車輪組與軌道之間的動摩擦因數(shù)。則式(13)可計算得：

(15)

根據(jù)起升重物在豎直方向載荷分析可知：

(16)

將式(4)(9)(16)代入式(15)得：

(17)

對式(17)進行整理得：

(18)

綜上可得y方向擺角為

(19)

3 負載擺角三維仿真模型

若要對橋起負載的防搖擺問題進行理論研究并在后文中對防擺效果進行仿真驗證，其結(jié)果則完全依賴于上述所建立的基于拉格朗日方程的非線性動力學方程。通常情況下，對于用數(shù)學表達式所描述的系統(tǒng)模型，用Simulink對數(shù)學微分方程進行仿真，能夠得到更加真實的擺角仿真曲線。

表2 起重機參數(shù)

圖8 Simulink仿真y擺角模型

3.1 驅(qū)動力大小對擺角的影響

如圖9所示，通過改變Signal Builder模塊中驅(qū)動力的波形將驅(qū)動力大小設置3 000 N，0～10 s時，F(xiàn)y呈線性增加趨勢，10～20 s驅(qū)動力保持不變，20～30 s驅(qū)動力大小呈線性減少趨勢。假設沒有風載的干擾，對模型進行仿真分析，得到如圖10所示的同一驅(qū)動力Fy在不同作用時間下的擺角-時間曲線：0～5 s起重機大車是緩慢加速階段，吊重擺動幅度一般;5 s后起重機大車以一定的速度保持繼續(xù)加速，吊重擺角越來越大;20 s后，驅(qū)動力保持不變的情況下，由于慣性，吊重擺角依然在增加，但是擺角增速下降，這就為消擺措施的介入提供了時間差。由此可知增加驅(qū)動力大小對起重機擺動有一定的促進作用，即使驅(qū)動力在減小，由于慣性作用，吊重擺角依然會增大一段時間。

圖9 驅(qū)動力作用波形 圖10 不同驅(qū)動力作用時間下吊重擺角-時間曲線

3.2 風載對擺角的影響

在橋式起重機工作過程中，風載的存在勢必會影響負載擺動。為了研究風載大小對擺角的影響，此實驗在保持其他參數(shù)不變的情況下，仿真起重機在0～14 m/s風速下的擺角-風速的關系，得到如圖11所示的擺角-風速曲線?？芍猴L速為0～4 m/s時，比較增速相對緩慢；4 m/s之后，擺角隨著風速的增長持續(xù)增大,且擺角增速也在上升。這是由于慣性以及風速的雙重影響導致的，擺角達到0.47 rad≈27°，此時對應的風速為12～13 m/s，對應風力約為6級。根據(jù)相關文獻得知：在風力達到6級時，橋式起重機需停止作業(yè)。因此，風載對起重機負載擺動的影響不可忽略。

圖11 起重機擺角與風載速度的關系

3.3 吊重質(zhì)量對吊重擺角影響

針對吊重質(zhì)量對吊重搖擺的影響，仿真條件設置其他參數(shù)不變，驅(qū)動力取3 000 N，風速取4 m/s，對模型進行仿真分析，得到吊重的擺角與和質(zhì)量的關系，如圖12所示?？芍弘S著吊重質(zhì)量的增加，其吊重搖擺角度越小，初始吊重質(zhì)量最小，其擺角幅度最大。這是由于當驅(qū)動力F一定時，吊重質(zhì)量mt越大，則負載加速度a越小，吊重的擺角也越小。由此可得：在一定條件下負載質(zhì)量對負載擺動幅度是有影響的。

圖12 起重機擺角與負載質(zhì)量的關系

4 結(jié)束語

在橋式起重機的一個作業(yè)流程基礎上，建立起重機三維模型，根據(jù)起重機擺角在空間的狀態(tài)，將它分解為大小車2個移動方向的分量，并對分量進行建模分析。采用牛頓第二定律建模方法將驅(qū)動力作用階段、風載及吊重質(zhì)量等因素考慮到模型內(nèi)，仿真分析驅(qū)動力、風載方向?qū)ω撦d擺角的影響并得出相關擺角曲線。研究結(jié)果表明：初始擺角不可忽略，起重機的加減速度會加大負載擺動幅度，同時風載的存在以及方向?qū)Φ踔氐膿u擺產(chǎn)生了一定的影響。該成果可以為后續(xù)進行起重機減搖、防搖研究提供理論依據(jù)，為提高起重機的工作效率和安全性提供理論基礎。